一道填空题的高失分率引发的思考

☉江苏省如皋市搬经镇高明学校 孙小星

一道填空题的高失分率引发的思考

☉江苏省如皋市搬经镇高明学校 孙小星

在笔者所在学校八年级数学期中测试的试卷上有一道填空题，试题难度中等，主要考查学生对数形结合思想和分类讨论思想的运用能力.应该说本题八年级的学生基本都会做，但结果却出乎我们的预料，本题全班的实际得分率不足10%，几乎所有错误的答案都是漏解，只考虑了锐角三角形的情况，而没有考虑钝角三角形腰上的高在三角形的外部的情况.为了弄清失分原因，笔者对学生进行了调查，并将调查结果进行分析和归纳，由此进行一些反思.

题目：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则该等腰三角形的底角的度数为_________.

一、失分原因

1.受思维定势的影响

图1

图2

定势是指重复先前的心理操作所引起的对活动的准备状态，它对解题的影响有积极的也有消极的.失分的同学中有近80%是受到了定势的影响.由于笔者平常在黑板上画等腰三角形时习惯于画成锐角的等腰三角形，所以受教师的影响，学生在画等腰三角形时也习惯于画出锐角的等腰三角形，长此以往，就形成了画图的定势，所以只画出了如图1所示的情况.

2.画图基本功不扎实

还有一小部分同学想到了高还可以在三角形的外部的情况，但是笔者在教学过程中过度关注了学生的计算与推理证明的能力，忽视了对学生的画图能力的培养，除了书本上必要的作图内容，其他要求学生画图的习题较少，由于缺乏必要的练习，所以学生画图的基本功不扎实，从而导致图形画不出来，出现了画图的典型错误，如图2所示.

3.分类讨论的意识不够

对于题目中没有给出图形的几何题，通常要自己画图，而对这类没有提供图形的题目在多数情况下都要分类讨论.学生平常在练习中完成单解的情况占多数，所以分类讨论的意识不强.

二、教学反思与改进措施

结合上述问题，笔者做了深刻的分析，感触颇深，现将感受总结如下.

1.让学生认识到画图的重要性

初中阶段是学生的形象思维能力向抽象思维能力发展过渡的重要时期，但学生的抽象思维能力的发展还是不够成熟，所以借助于画图能够让学生理解得更深刻，能帮助学生进一步提高分析问题和解决问题的能力.要使学生体会到画图的价值和作用，教学时教师应把握好引导的时机，当学生一时不能解决问题时，不要急于去讲解，而是要引导其通过画图整理信息、理解题意、找到方法、解决问题.

例1某商业集团新进了40台空调机和60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店.两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表所示.

空调机电冰箱甲连锁店200170乙连锁店160150

设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y（元）.求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围.

分析：对刚刚接触一次函数的学生来说，解决本题有一定的困难.由于涉及的条件比较多，好多同学不知所措，这时，教师千万不要急于讲解，否则学生不能学会分析解决此类问题的方法，下次碰到类似的习题还是不会.这时教师要引导学生仿照题目给出的表格自己列出分析表格，如下表所示.（k＜0）的图像经过点A（1，a）、B（3，b）、C（-2，c），试比较a、b、c的大小.

空调机（总数40台）电冰箱（总数60台）甲连锁店（共需70台）x70-x乙连锁店（共需30台）40-xx-10

分析：由于本题中k的确切的值未知，所以通过代入计算比较a、b、c的大小的方法不可取，而本题中的三个点又不在同一象限，所以不通过画图想要来比较它们的大小是比较困难的.通过画草图（如图3），我们很容易比较a、b、c的大小.

3.强化学生的分类讨论思想

分类讨论思想是初中数学教学中最重要的思想之一.需要运用分类讨论思想解决的数学问题有很多，概括起来有以下几类.

（1）与数学概念有关的分类讨论.

例3一个等腰三角形的一个内角为70°，则它一腰上的高与底边所夹的角的度数为_________.

分析：从等腰三角形的内角这一概念，就要想到分为顶角和底角，因此，就要分两类来画图.（1）当顶角为70°时，画图解答；（2）当底角为70°时，画图解答.

（2）与公式有关的分类讨论.

例4若多项式4x2-kxy+16y2是一个完全平方式，则k=_________.

本题的分类讨论源于完全平方公式有两个：a2± 2ab+b2=（a±b）2，所以-kxy=±16xy⇒k=±16.

通过完成表格，学生基本可以顺利解题.同时，通过此题的解答，帮助学生小结遇到条件比较多的应用题时不要凭空想象，要通过画图表来帮助自己分析题意、理解题意.

2.加强对学生的画图训练

在设计练习题时，不能仅设计有图形的习题，要提高学生的数形结合能力，不仅要培养学生的读图能力，更要培养学生自己画图的能力.画图不仅在几何题中用到，在代数的函数部分同样用到的很多.

例2已知反比例函数y=

图3

图4

（3）由运动问题引起的分类讨论.

例5在△ABC中，AB=AC，点O是线段BC上的任意一点，OE、OF分别与AB、AC所在的直线垂直，过点B作BG⊥AC，垂足为G.

（1）猜想并证明OE+OF与BG的数量关系.

（2）若点O是直线BC上的任意一点，（1）中的猜想还成立吗？如果成立，请证明你的猜想；如果不成立，请说明理由.

本题的第二问既考查分类讨论思想的运用，又考查学生的画图能力，是一道较好的综合题.

（4）由条件的不确定引起的分类讨论.

分类讨论的过程，可培养学生思考的严谨性、条理性，能促进学生的思维品质的提升.

例6在一次数学课上，王老师在黑板上画出一幅图（如图4），并写下了四个等式：

①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAE=∠CDE.

（1）上述四个条件中，由哪两个条件可以判定△AED是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）

（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程.

分析：解决本题首先要分类讨论两两组合有哪些可能，分别是①②、①③、①④、②③、②④、③④，然后分别判断它们的正确性.

4.归纳整理易错题，构建知识网络

我们经常会碰到这样一种情况，有些习题反复讲解过很多遍，但只要将题目稍作修改，学生便束手无策，究其原因，是学生没有将知识整理归纳形成网络，一个不善于归纳总结的学生，他在课堂上只能学到知识，不能形成知识的迁移能力.这样只能培养出死学习的书呆子，不能使学生成为有创意的人.

作为数学教师，随时都会碰到学生做错的习题，对于错误率很高的习题要多留心，找出学生出错的原因，反思自己的教学过程，适时调整自己的教学方向，这样才能提高教学质量.

1.沈灿江.对一道试题失分的归因和反思［J］.中国数学教育，2010（4）.

2.莘义成.对一道中考试题失分的思考［J］.中国数学教育，2014（3）.

3.喻莹莹.基于几何复习课的研究［J］.中国数学教育，2014（7）.WG