加强数学史的引入有效提升教学效率——苏科版八年级《数学》上册“勾股定理的逆定理”解读及教学实录片段与感悟

☉江苏省苏州市立达中学 汪健

加强数学史的引入有效提升教学效率
——苏科版八年级《数学》上册“勾股定理的逆定理”解读及教学实录片段与感悟

☉江苏省苏州市立达中学 汪健

一、教材理解

勾股定理的逆定理是上节勾股定理的继续和深化，是对直角三角形的再认识，是判定一个三角形是直角三角形的一种重要方法，在以后的解题中，它将有十分广泛的应用；同时它还是向学生渗透数形结合思想的很好素材，其中渗透的利用代数计算方法证明几何问题的思想，还为将来学习解析几何埋下伏笔，所以本节是本章的重要内容之一.

《标准》关于“勾股定理的逆定理”的要求是：会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

基于以上理解，本节课的教学目标确定为：

（1）会阐述直角三角形的判定条件（勾股定理的逆定理）.

（2）会应用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形.

（3）经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理的能力，体会“形”与“数”的内在联系.

学生虽然已经学习了勾股定理，并在先前学习其他内容中已经积累了一定的逆向思维和逆向研究的经验，因而，由勾股定理出发逆向思考获得逆命题，学生应该已经具备这样的意识，但具体研究中，可能要用到“同一法”，这对现阶段学生而言可能还具有一定困难，需要教师适时地引导.教科书把此单元设计为1个课时，是在介绍古巴比伦泥板上神秘的数组的基础上，引导学生通过自己画图，并尝试验证，从而获得勾股定理的逆定理.

勾股定理的逆定理是初中几何中的重要内容之一，为了更好地体现了它的文化价值，教科书提供了较为丰富的历史和现实的例子来展示它们的应用，因此理解并掌握勾股定理的逆定理，并会应用就成为本节课的教学重点；尽管初二上学期学生的知识增多，能力增强，但思维的局限性还很大，而勾股定理的逆定理的证明方法学生第一次见到，它要求学生按已知数据画出三角形，并通过量角器进行测量三角形三个内角的度数来获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件，或让学生根据已知条件构造一个直角三角形，然后进行全等证明.根据学生的现有智能状况，学生不容易想到，因此勾股定理的逆定理的验证就成为本节课的教学难点.

二、设计思路

（一）勾股定理的逆定理引入

1.设计方案1

（1）情境创设.

美国哥伦比亚大学图书馆收藏着一块编号为“普林顿322”（plinmpton322）的古巴比伦泥板，上面密密麻麻的写着一些神秘符号，引起世界上许多学者的兴趣.经过专家的研究发现泥板上的一些神秘符号实际上是一些数组（如图1）.

问题：古巴比伦泥板上的数组揭示了什么奥秘呢？你们想知道吗？

（2）引出课题.

2.设计方案2

（1）情境创设.

很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成如图2所示的一个三角形.

问题：你知道这个三角形的形状吗？为什么？

（2）引出课题.

图2

设计意图：一堂课的开始引入如果能从数学史中选取素材，让学生体验到在数学的发展进程中数学来源于实践；同时所提问题如果能激起学生已有知识与待研究知识的认知冲突，创造出“我要学”的气氛，从而让学生能全身心地投入到探索新知识中来.方案1以“古巴比伦泥板上的数组揭示了什么奥秘”引入直角三角形的判定条件的探究，这样容易激发学生探索问题的兴趣；方案2的设计是创设了古埃及人利用结绳的方法得到直角的情境，展现勾股定理的逆定理在解决问题中的作用，认识到现实世界中蕴含着丰富的数学信息.这两种设计方案都对数学教学素材进行历史挖掘，让学生感受数学文化的渊源.

（二）勾股定理的逆定理探索

1.设计方案1

以古巴比伦泥板上的一组数组60、45、75为例.

（1）算一算：通过计算发现数组60、45、75之间的数量关系为602+452=752.

（2）画一画：画△ABC，使△ABC的三边长为60cm、45cm、75cm.

（3）量一量：用量角器量所画三角形的3个内角，看有无直角.

（4）议一议：三角形三边的数量关系与三角形的形状特征有什么关系？

（5）练一练：再画两个三角形，使它们的三边长分别为3cm、4cm、5cm和5cm、12cm、13cm，用量角器量一量所画三角形的3个内角，看有无直角.

（6）猜一猜：由此你能得到什么结论？

（7）想一想：你得到的结论与勾股定理有怎样的关系？

2.设计方案2

（1）画一画：同桌2人一组，分别进行画图练习：1人画一个三角形，使三角形的三边长为3cm、4cm、5cm；另1人画一个直角三角形，使两直角边长为3cm、4cm.

（2）做一做：同桌2人各自剪下所画三角形，看两个三角形能否重合，是否全等.

（3）算一算：通过计算发现数组3、4、5之间的数量关系为32+42=52.

（4）议一议：三角形三边的数量关系与三角形的形状特征有什么关系？

（5）练一练：同桌2人一组，分别再画一个三角形：1人画一个三角形，使三角形的三边长为5cm、12cm、13cm；另1人画一个直角三角形，使两直角边长为5cm、12cm.画好后各自剪下所画三角形，看两个三角形能否重合，是否全等.接着通过计算找出此时数组5、12、13之间的数量关系.

（6）猜一猜：由此你能得到什么结论？

（7）议一议：你能运用三角形的全等对你的猜想进行证明吗？

（8）想一想：你得到的结论与勾股定理有怎样的关系？

设计意图：八年级学生对几何图形的观察和对几何图形的分析已有一定的基础和能力，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，形成解决问题的思路.方案1是让学生自己操作实践，通过一系列的活动：算一算、画一画、量一量、议一议、练一练、猜一猜、想一想，步步深入探讨问题，但这种研究问题的方法还是实验几何法；而方案2的设计则重在操作、猜想、验证，是推理几何的研究方法，在说明所画三角形是直角三角形时，是通过证明全等三角形来说明的，这样学生比较容易理解和信服.

三、教学片段

师：同学们，今天我们一起做一个游戏：老师这里有一根用13个等距的结把它分成等长的12段的绳子，请一组3个同学上台，按老师的要求操作：一人同时握住绳子的第1个结和第13个结，另两人分别握住其中的其他一个结，拉紧绳子构成三角形.请说出你们所构成的三角形的三边长，并指出三角形的形状？

生：我们组第2个人握住第5个结，第3个人握住第9个结，此时三角形的三边长分别为4、4、4，这时构成的三角形是等边三角形.

师：好！这是其中一种类型，还有吗？

……

生：我们组第2个人握住第4个结，第3个人握住第8个结，此时三角形的三边长分别为3、4、5，这时构成的三角形不知是什么形状.

师：好！这是一种什么类型的三角形呢？大家可以猜想一下！

工程法律风险是产生于项目实施过程中，由于行为人的具体行为不规范而导致的，与企业或项目预期目标相违背的法律不利后果发生的可能性。法律风险发生于工程运作过程中，法律风险控制是工程项目管理的重要手段，是全面风险管理的重要支撑。加强工程法律风险管理具有重要的现实意义和经济效益，是油田企业工程项目的内在要求，是企业适应内外部环境变化的必然选择，是提升管理水平、实现跨越式发展的迫切需要。

生：好像是直角三角形.

师：为了验证同学们的猜想是否正确，下面我们再进行一组画图练习，要求同桌2人一组，分别画图：1人画一个三角形，使三角形的三边长为3cm、4cm、5cm；另1人画一个直角三角形，使两直角边长为3cm、4cm.

……

师：画好第1个三角形的同学可先用量角器量一量，看它是否是直角三角形，2人都画好后，各自剪下所画三角形，与同桌所画的三角形进行比较，看两个三角形能否重合，是否全等.

……

师：由此你有什么想法？

生：以3、4、5为边长的三角形是直角三角形.

……

师：由此你能得到什么结论？

生：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.

师：这个猜想是否正确呢？下面我们一起来证明.

如图3，已知：△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且a2＋b2=c2，求证：∠C=90°.

证明：作△A1B1C1，如图4，使∠C1=90°，B1C1=a，C1A1=b，由勾股定理得A1B12=a2＋b2.

因为a2＋b2=c2，所以A1B1=c.

在△ABC和△A1B1C1中，因为BC=a= B1C1，CA=b=C1A1，AB=c=A1B1，所以△ABC≌△A1B1C1.所以∠C=∠C1=90°.

师：现在证明了你们的猜想是正确的，那么我们今天得到的这个真命题与前面学习的勾股定理有什么不同呢？

生：……

师：勾股定理的逆定理与勾股定理之间有什么联系和区别吗？

生：……

师：说的都很好！勾股定理是通过“形”的状态来反映“数”的关系，而勾股定理的逆定理是通过“数”的关系来反映“形”的状态.二者关系可列表如下：

图3

图4

定理勾股定理勾股定理的逆定理内容如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形题设直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2结论a2＋b2＝c2这个三角形是直角三角形用途是直角三角形的一个性质是直角三角形的一种判定方法

师：我们把满足a2＋b2＝c2的3个正整数a，b，c称为勾股数.例如，3、4、5和5、12、13都是勾股数，利用勾股数可以构造直角三角形.

师：美国哥伦比亚大学图书馆收藏着一块编号为“普林顿322”（plinmpton322）的古巴比伦泥板，上面密密麻麻地写着一些神秘符号，经专家研究发现泥板上的一些神秘符号是一些数组，只要再添加一列数就和其中两列数字组成一组组勾股数（图略）.

……

四、教学感悟

本节课的课题引入是通过把古埃及人用长绳打结得直角的方法改编成游戏，让学生在做游戏中不知不觉地进入新课题的学习，接着让学生先观察满足条件的三角形直观感觉上的形状，再画三角形通过剪量、拼图去验证猜想.这样整个证明过程自然、无神秘感，实现了从生动直观向抽象思维的转化，同时学生亲身体验了操作—观察—猜测—探索—论证—应用的全过程，学生在这一过程中学习兴趣和学习积极性都有所提高，并能享受到自我创造的快乐.

长期以来，由于数学的形式化导致了许多学生对数学的恐惧并进而导致了他们在数学学习上的失败.但从本节课的教学过程我们可以看到：在数学教学中引入数学史能使这种局面有所改变.这是因为数学史中的趣闻和逸事等可以引起和保持学生对数学的兴趣，而兴趣一向被认为是最好的老师，引入数学史可以给数学一个更为人性化的面孔，从而使得数学对于许多学生来说会变得不那么可怕，因此数学史可作为一种激励学生学习数学的因素；另外数学史还可以就教学内容提供不同的视角和呈现方式而有助于学生的数学理解，特定数学知识的历史背景还可以更好地帮助学生对数学知识的掌握，因此数学史可作为学生数学学习的认知工具；同时数学史还可以使得学生对数学与一般人类文化间的关系有更好的理解，有助于学生从文化的角度理解数学.因此在数学教学中我们应加强数学史的引入，一方面可通过在教学中直接提供历史信息而促进学生数学学习；另一方面可通过运用受数学历史启迪的教学方法而进行课堂教学.这都需要我们加大对数学教学素材进行历史挖掘，让学生感受数学文化的渊源.

1.汪健.理解教材精心设计主动学习［J］.中学数学（下），2014（5）.

2.张晓贵，张雪.国外数学教学中引入数学史的研究概述［J］.数学教育学报，2013（8）.W