探究基于数学思想的数学教学

钟朝勇

在义务教育课程改革以前，中国的数学课程教学主要以“双基”教学为主，要求学生掌握基础知识和基本技能，力求做到基础知识扎实，基本技能熟练。但是不少中国的教育工作者们总爱走极端，断然认为基础知识中的概念、定理、命题靠记忆就能完成；基本技能中的证明、运算靠反复演练就足矣。部分教师带着这样的错误思想进行教学，学生照样能取得好成绩。但这样一来，学生就会对数学学习失去基本的兴趣和信。苏联教育学家乌申斯基说过：“没有丝毫兴趣的强制学习，将会扼杀学生探求真理的欲望。”兴趣是学生学习数学的不竭动力和激发自主学习意识的前提。学生一旦失去了兴趣，思维将会变得迟缓，记忆将会逐渐减退，意志也会消沉。著名主持人崔永元曾讲过他的噩梦：他梦见一道数学应用题。题的大意是：有一个水池，里面有一定的水量，池底有两根水管，一根水管往水池里注水，另一根水管往水池外放水，两根水管的阀门同时打开，问什么时候水池能够注满或什么时候水池的水会被放完？崔永元郁闷了，这到底是要注水还是要放水啊？看完这个例子，我们可能会觉得崔永元在开玩笑。因为大部分人都知道，这是一个很真实的问题。但也从另一个侧面反映出人们对数学是持一种恐惧、害怕、胆怯的心态，认为数学题就是用来折磨人的大脑的事物。

在新的课程标准中明确提出了“四基”教学，即在原有的“双基”教学上增加了基本思想和基本活动经验两项。其目的是为了让教师和学生们明白：学习数学，不仅要掌握好基础知识和基本技能，更重要的是要在学习数学的过程中，领悟数学的实质--数学思想。东北师范大学校长史宁中教授曾在重庆师范大学60 周年校庆学术报告中提到：“作为一名优秀的老师，首先要知道数学的实质是什么？数学的实质就是数学思想。其次，一个优秀的老师要做到根据数学内容的实质，创设一个学生能够接受或感悟的情景。”那么，什么是数学思想呢？史宁中教授提到，数学思想并不是通常我们所说的等量代换、数形结合、换元法等等。他将数学思想分为三个部分：1）抽象；2）推理；3）模型。抽象指的是将外部事物引入数学内部的思想，要学好数学就必须有很强的抽象能力；推理指的是推理论证，从而促进数学内部的发展，学好数学同样要有一定的推理能力；模型是指沟通数学与外部世界的桥梁，学生要善于构建数学模型。但即便是课程改革专家和众多数学教育家都主张要追求数学的实质，充分发挥数学思想的作用。但在实际的中小学教学中，这样做的教师却屈指可数。

本文用一个具体的中学教学案例，分析在数学教学中如何揭示数学实质的问题，并探讨基于数学实质的数学教学对学生学好数学的重要影响。

案例分析

目前，在义务教育教科书七年级下册的课本中，第八章主要学习二元一次方程组。教材将本章内容分为四个部分：二元一次方程组、消元——解二元一次方程组、实际问题与二元一次方程组以及三元一次方程组的解法（选讲）。将本章的知识进行这样的分块本没有什么问题，但教师在实际的教学中却没有抓住数学的实质。

我们先来看看第一部分，教材首先以一个实例引入：

篮球联赛中，每场比赛都要分胜负，每队胜一场得2 分，负一场得1 分。某队在10 场比赛中得到了16 分，那么这个队胜负场数分别是多少？

设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？

由问题得

胜的场数+负的场数=总场数,

胜场积分+负场积分=总积分

用方程

表示。

这种引入二元一次方程和二元一次方程组的思路，主要是想告诉学生二元一次方程和二元一次方程组是如何从现实生活中抽象得出的。这里采用了数学思想---抽象，即将现实生活中的实际情形抽象为数学方程式，使得学生能够将数学知识和现实生活联系起来，培养学生的抽象能力。

但教师在教学中，却没有注重对学生进行这方面的引导，而把重心放在了让学生判断什么是二元一次方程，以及什么是二元一次方程组上。课后作业中也出现大量这种类型的习题，而没有注重培养学生的抽象思维，帮助学生将知识与实际联系起来，而这一点，恰恰是这部分教学的重点。

第二部分，消元——解二元一次方程组。这里包含了两种方法：1）代入消元法；2）加减消元法。教材在这部分的开头就提到了什么是消元的思想。接着一一介绍了代入消元法和加减消元法，并分别给出了一个纯运算的例题和一个应用型例题。在课后的习题中也包括了运算题和应用题。这一部分的数学实质是利用消元的思想求解二元一次方程组。教学目标是两个：1）让学生学会利用消元的思想求解二元一次方程组；2)引导学生在简单的应用题中建立二元一次方程组，并能正确求解。

但有的老师在实际的教学中，却偏离了正确的轨道，并没有按照既定的教学目标进行教学。首先，教师会给学生介绍消元的思想；其次，讲解代入消元法和加减消元法的具体步骤；最后，粗略地讲解一下应用题。接下来的安排，就是给学生布置大量的纯运算题。在这些运算题里加入小数、分数、参数等，而应用题在布置的作业里仅占了百分之十左右。

我们从学生角度出发，求解二元一次方程组的方法很简单，运算过程并不复杂，应该说大部分学生都能够正确求解。但老师布置大量的纯运算题作业，在测试中也给出了大量的纯运算题。采用这样的方式虽然让学生提高了运算能力，但过多的运算训练，却使得学生进入了一个致命的思想误区：不需要明白如何建立二元一次方程组，也不需要知道二元一次方程组有什么实际意义，更不用管什么是消元思想，只要能够正确求解出二元一次方程组的解就可以了。有的学校甚至在一周的数学课上，都让学生练习二元一次方程组的运算，使得学生把解二元一次方程组完全当成了一个“机械性行为”。机械性行为指的是按照指定的法则去对无意义的符号进行机械的操作，既不知道为什么这样做，也不知道这种操作有任何实际的意义。

带着这样的思想误区进入到第三部分的学习，教师和学生都陷入了两难的处境。

对于教师而言，他认为学生经历了一周时间的运算训练，加之学生以前也做过应用题，所以，在第三部分二元一次方程组的实际应用问题学习中，学生学习起来应该不会有太大的难度。

然而，对于学生而言，恰恰相反。由于在第一、二部分的教学中，老师过多地强调运算，而不注重抽象思维的培养。学生也在一周的时间里，进行没完没了的运算，使得学生早已忽视了数学方程式的实际意义，剩下的只是“机械性行为”。当需要学生采用“自动化行为”，即独立分析问题中的数学关系，根据等量关系建立方程组时，学生自然而然感到十分困难。上文提到的自动化行为指的是操作者在需要时就能随时告诉你，他这样做的理由和目的，他也能随时根据情景的不同做出必要的调整。

老师觉得易、学生觉得难的情形，归根结底还是由于教师的教学方法和教学理念有问题。苏联教育家苏霍姆林斯基说过：“只有能够激发学生进行自我教育的教育，才是真正的教育”。同样，只有适应学生的教学，才是好的教学。在实际的教学中，教师没有紧紧抓住数学的实质开展教学，从而产生了错误的引导方向，使学生不知不觉钻进了思想的误区，教师也陷入了尴尬的境地。不仅教学效果达不到预期值，还会使得学生越来越看不到数学的价值，感受不到数学无穷的美，对于学好数学也就失去了应有的信心。

如果教师在今后的教学中，能够准确把握数学的实质，充分融入数学思想，体现数学“源于实践，源于生活”的理念，相信学生们在教师的正确引导下，既能够轻松学习到数学知识的精髓，增强学好数学的兴趣和自信心，又能够体会到数学的生活价值，感悟到数学独有的魅力！

[1]郑毓信，梁贯成.认知科学建构主义与数学教育[M].上海：上海教育出版社，2002.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[D].北京：人民教育出版社，2011.

[3]课程教材研究所.数学七年级下册义务教育教科书[M].北京：人民教育出版社，2012.