关于古算题进入课堂教学的探索

李斌

2011年12月，教育部颁布了修订后的义务教育数学课程标准，修订后的课程标准强调一切数学教学活动应激发学生的兴趣，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。为了在教学过程中自然而然地渗透并实践课改的理念，教师们都是“倾其所有”地找素材，设计问题情境，但最终的效果却不是很好。古代数学问题的融入，会给我们的课堂教学带来一些“生气”，一些意想不到的收获。所谓古算题，就是曾经出现在我国不同历史时期、不同年代的数学典籍里的、至今仍被人津津乐道并深入研究和探讨的包含多个维度的社会历史文化信息的数学问题。

黄山学院教授郁祖权先生在其2004年出版的《中国古算解趣》序言里指出[1]：把古代一些有用的数学方法、理论成果结合起来，配合中小学的数学学习，古为今用，突出思想性、知识性和趣味性，结合历史文化背景讲解。书中还用一定篇幅介绍民间速算、巧算的方法，训练学生的数学思维能力和空间想象能力。李逢平先生在《中国古算题选解》前言里指出[2]：《中国古算题选解》是结合中小学部分数学教材编写的。为便于参考，李逢平先生在编写时都是将原题、原“术”、原算草予以语译或用现代数学表达加以对照，并在题后写上按语。在按语中，除有注释说明外，还将各题用现代数学方法进行解答，并与国外有关同类问题进行比较，从中体现我国古代数学之成就。沈康身先生在其1957年《数学通报》第六期发表的文章《中国古算题的世界意义》中探讨了我国古代数学对国外的影响[3]，沈先生用一些具体算题阐释了我国古代数学在世界数学发展史中的地位。沈先生指出，世界数学发展史上的某些著名算题，并不只发生在外国，实则在我国古代数学典籍上早已有记载。并且从时间上来看，这些算题还有外传的可能。

数学教育界的三位前辈都对古算题的教育教学功能进行了深入的剖析，相比于数学教师为追求课堂教学精彩而“伪造”的数学情境问题，古算题是“有血有肉”的，它不仅蕴含了深刻的数学思想，还有着丰富的社会人文信息，将这些古算题适切地用到课堂教学中，对于全面贯彻课改理念，提高学生数学素养和人文素养，促进其全面发展，有“事半功倍”之功效。

一、古算题进入课堂教学的必要性

1.以古算题为载体的古代算经在历史上就作为数学教材使用

早在魏晋南北朝时期，刘徽给《九章算术》作注，自云“徽幼习《九章》”。可见在刘徽所处的魏晋时代，《九章算术》已经是数学学习的内容了。据《旧唐书·李淳风传》，唐代国子监所设的算学馆，也是把经过修订、注释的“算经十书”作为教材使用。在宋代，据《宋史·选举志》载文，其算学教育也以《九章》、《周髀》、《海岛》、《孙子》、《五曹》、《张丘建》、《夏侯》等为教材。明代洪武二十五年（1392年）规定关于“数”的课程“务需精通《九章》之法”。到了清代，《算经十书》及其衍生读物是蒙生学习数学的主要教科书，并与引进的《几何原本》和会通的《数理精蕴》并列。直到清末，“算经十书”才被新编教材取代[4]。

由上述可以看出，“算经十书”以及其他算经衍生读物在历朝历代都曾被用作数学教科书，培养数学人才，到了今天，我们也有责任和义务把这一优良传统继承下去。

2.古算题进入课堂教学对内化课改理念、渗透数学思想方法、促进学生人文修养等具有重要意义

（1）古算题有丰富的人文社会信息

基于古代数学问题丰富的人文社会信息，提高学生德育能力，贯彻“快乐阅读”理念，使学生乐读爱学。现行各版本教材虽然都指出数学与生活的联系，但教材中列举的数学与实际生活关联的例子少之又少，由于看不到这种关联的实际案例，导致大部分学生“厌学”数学，学习兴趣以及学习积极性不高。古算题融入教学可以很好地弥补这一不足。古代算经里的数学问题都包含了丰富的社会文化信息，大都是为解决日常生活中的问题而编写，并且随着社会政治经济的发展，不同朝代的算经涉及的现实生活问题也各有侧重。例如，成书于公元1世纪的《九章算术》，全书共分九章，收有246个数学问题。这九章的章名分别是：“方田”、“粟米”、“衰分”、“少广”、“商功”、“均输”、“盈不足”、“方程”、“勾股”。从各章的标题我们就能看出，它反映了那个时代人民在农业生产、粮仓存粮、土地丈量、建筑工程、水利、天文地理、从伍行军等方面对数学知识的广泛应用。再如，北周甄鸾所撰《五曹算经》分“田曹”、“兵曹”、“集曹”、“仓曹”、“金曹”五个标题。“五曹”是指五类官员。其中“田曹”是关于各种田亩面积的计算，“兵曹”是关于军队配置、给养运输等的军事数学问题，“集曹”是贸易交换问题，“仓曹”是粮食税收和仓窖体积问题，“金曹”是丝织物交易等问题。由此可看出，这部算经的内容涉及到当时社会生产及军事方面的求田地面积、粮仓储粮、军队士兵数量等问题。以《九章算术》为代表的十部算经以及其后的算经大都继承了这样的风格和体系，它使学生明白，社会的发展需要数学，社会对数学的需要也成为数学教育发展的动力。这也顺应了“数学来源于生活，又高于生活”这句话。

（2）古算题是形式丰富多样的

除了一般的文言文表述之外，古算题还有诗词形式以及游戏娱乐类（如幻方、汉诺塔）的表述。尤其是诗歌形式，将极具文学色彩的诗词歌赋融入到算题中，实现了数学与文学的关联，呈现出了浓重的传统文化意味。如关于“物不知数”问题（又称“孙子问题”，出自《孙子算经》）：有一数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问此数为何？我们知道，秦九韶将此类问题的解法推广成解一次同余式组的一般方法，也即“大衍求一术”。关于物不知数问题的求解过程，程大位在《算法统宗》用一首“孙子歌”（又名“韩信点兵”）给出：“三子同行七十稀，五树梅花廿一枝。七子团圆正半月，除百零五便得知。”这四句诗隐含了解决这一问题的三个关键数字70、21和15，并且歌诀中的每一句话，都指出了一步解题方法：“三（3）人同行七十（70）稀”——是说除以3所得的余数，要用“70”去乘它；“五（5）树梅花廿一（21）枝”——是说除以5所得的余数，要用“21”去乘它；“七（7）子团圆正半月（15）”——“半月”是一个月30天的一半，即15日，这是说，除以7所得的余数，要用“15”去乘它；“除百零五（105）便得知”——这是说要把上面所乘得的三个数相加，加得的和如果大于105，便应减去105，或者减去105的倍数。这也就是《孙子算经》上的“一百六（106）以上，以一百五（105）减之”。运用这一歌诀来解这“物不知数”问题，便是2×70+3×21+2×15=140+63+30=233，233-105-105=23。类似的例子还有很多，教师若能在课堂教学中适切地引入并应用，必将有很好的教学效果。

（3）古算题蕴含了深刻的数学思想

《九章算术》全书共有202个“术”，这些“术”不仅是解决一类问题方法的总结和归纳，其中也包含了深刻的数学思想。因为勾股定理在中学数学教材里大都是作为一章的内容来呈现，而且关于勾股定理的古算题也尤为丰富，故我们以“勾股术”为例。在《九章算术》的“勾股”章有如下问题：“今有户不知高广，竿不知长短。横之不出四尺，从（zòng）之不出二尺，邪之适出。问户高、广、衺各几何？”翻译成现代文就是：有一门，不知其高和宽；有一竹竿，也不知其长。如果将竿横放，差四尺（注：3尺为1米）出不去门；如果将竿竖起，差两尺出不去门；如果将竿斜放，正好可以出得去门。问门的高度，宽度和斜长分别是多少？学生大多会选择用一元二次方程解决此问题：设竿长为x，则高度为（x-2），宽度为（x-4），由x2=（x-4）2+（x-2）2解得x1=2，x2=10。显然x1=2不合题意，故略去，所以x2=10为所求。此题在《九章算术》中的解法是这样叙述的：“从（zòng）、横不足相乘，倍而开方之。所得加从（zòng）不出即户广，加横不出即户高，两不出加之，得户衺。”意思是说：设门的高、广、衺分别为a、b、c，即已知从（zòng）不出c-b=2，横不出c-a=4。则先求出。加2就是门宽6尺，加4就是门高8尺，加2和4就是门斜长10尺。细细比较，两种解法的本质是一样的，但古人的解决却如此的精妙，它将直角三角形的“勾、股、弦”之间的所有关系都运用及变换自如，这是我们的学生所欠缺的，其中的数学思想及体验也经由学生自主地剖析、发现并灵活应用才能真正实现数学教育的目的。

二、古算题进入课堂的路径分析

现行人教版初中数学教材八年级下第18章“勾股定理”中有一古算题，其对该题的呈现形式如下：

如图所示，首先是呈现用现代白话文表述的“引葭赴岸”问题，然后在旁边再附上文言文原题及出处，并附有情境图。在笔者看来，这样的做法已经很好了，但品味之余，总感觉有些许缺陷或者不足之处。因为，它只让我们感觉到这就是一道需要学生解决的问题，没有真正地反映出古算题所包含的方方面面的知识和信息。

结合修订课标对教学内容和教学目标的要求，以及课改的理念或精神，我们认为课堂教学或教材上古算题的使用流程应该是这样的：呈现古算题原题（尽可能地呈现情境图片，帮助还原该题出现的那个时代的历史社会文化信息）——介绍出处（算经、年代、数学家的故事等信息）——文言文翻译成现代白话文（师生共同完成）——问题求解（学生自主完成并讲解，允许一题多解——展现古算题求解的“术”，翻译成白话文并分析其原理——古今解法比较——学生反思、提炼、内化。

结合这一思路，我们重新给出关于该古算题的教学设计，限于篇幅，从简说明。

步骤一：“引葭赴岸”：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？”（注：3丈为10米）

步骤二：附情境图片（该图片为南宋末期数学家杨辉在《详解九章算法》为该题所附）

步骤三：现代文翻译：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。问：这个水池水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？

步骤四：“引葭赴岸”问题出处介绍：该题出自《九章算术》的“勾股”章第六题。然后向学生介绍《九章算术》、《详解九章算法》的作者介绍、创作年代、发展历史、涉及的数学知识及社会人文信息等。

步骤五：问题的现代方法求解。首先用几何画板画出准确的图形，然后设未知数，应用勾股定理解答。

步骤六：呈现古代算经中对该题的求解方法，在翻译成现代文的基础上，进行古今方法的比较分析，使学生在比较的基础上，掌握其蕴含的数学思想方法。

步骤七：“引葭赴岸”问题的“中外交流”。“引葭赴岸”问题不仅出现在《九章算术》中，还出现在《张邱建算经》、《四元玉鉴》等算经中。此外，类似“引葭赴岸”问题的题目还出现在印度的算学书中，只不过把葭换成了荷花。如印度数学家婆什迦罗的“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边。渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”“荷花问题”比“引葭赴岸”问题晚一千多年出现，这或许反映了同为文明古国的中印数学文化的交流。

如上，一个小小的古算题的教学能给我们带来如此丰富的数学和人文的“享受”，学生对数学的感受或许会随之改变。

我们分析了古算题进入课堂教学的诸多益处，教师在教学中不妨结合教学内容，适切地选取并使用古算题。因为古算题的使用不仅有助于教学目标的达成，而且对于培养学生的数学素养、自主学习的能力、感受传统数学文化的辉煌、传承传统数学文化、提高数学修养、激发学习积极性、培养数学创造力等方面都具有重要的作用。

参考文献

[1] 郁祖权.中国古算解趣[M].北京：科学出版社，2004.

[2] 李逢平.中国古算题选解[M].北京：科学普及出版社，1985.

[3] 沈康.中国古算题的世界意义[J].数学通报，1957（6）.

[4] 王青建.算经十书与数学史教育[J].内蒙古师范大学学报，2009（5）.

【责任编辑 郭振玲】