中子平衡节块离散纵标法及CMFD加速技术研究

李志勇

（深圳中广核工程设计有限公司上海分公司，上海 200030）

中子平衡节块离散纵标法及CMFD加速技术研究

李志勇

（深圳中广核工程设计有限公司上海分公司，上海 200030）

本文基于横向积分离散纵标方程，解析得到横向积分通量中出射通量与入射通量的关系，并根据类似于扩散方程节块展开法的输运节块中子平衡方程形式，得到了一种高效的节块离散纵标法数值迭代策略。数值结果表明，本文提出的方法可行且数值结果正确。此外，粗网有限差分（CMFD）加速技术在节块离散纵标法中也取得了非常好的应用效果。

离散纵标法；节块展开法；中子平衡；CMFD加速技术

基于中子扩散方程横向积分技术的节块法已在堆芯扩散计算中得到广泛应用，粗网有限差分（CMFD）技术在堆芯扩散节块法加速中取得了非常好的效果。对于中子输运方程的求解有很多不同的方法，如碰撞概率法、穿透概率法、MOC法及离散纵标法［1］，其中，离散纵标法得到了广泛的研究和应用。对于离散纵标法的求解大多采用差分方法，20世纪80年代，Lawrence等［2］通过对堆芯扩散节块格林函数法的扩展，提出了一种二维节块离散纵标法，即离散节块输运法（DNTM）。随后，谢仲生等［3］又将其扩展到三维情况。节块离散纵标法相对于差分方法，在相同的精度要求下可减少计算时间。

本文基于横向积分离散纵标方程，解析得到横向积分通量出射通量与入射通量的关系，并根据类似于扩散节块法的输运节块中子平衡方程形式，研究一种高效的节块离散纵标法数值迭代策略。

一般情况下，无加速的离散纵标法计算速度较慢，因此，加速技术是离散纵标法研究的一个热点。在输运计算方法加速中，近年来，扩散综合加速、粗网再平衡和CMFD［1，4］等技术得到了广泛研究和应用。本文对CMFD在节块离散纵标法中的应用进行研究。

1 理论模型

1．1 基本方程［2－3］

微分形式的中子输运方程可写为如下形式：

其中：Ω为角方向；φ为角通量；Σt为总截面；Qs为散射源；Qf为裂变源。

离散纵标法对角中子通量进行直接离散，中子输运方程在笛卡尔坐标下可直接给出，对于任意离散方向有（不考虑外源）：

其中：μ为离散方向x方向分量；η为离散方向y方向分量；m为角度离散方向；Qm为各项同性总的源项。

其中：Σs为散射截面；Φ为标量通量；χ为裂变谱；keff为本征值；Σf为裂变截面。

通过类似于堆芯扩散节块法的横向积分技术，横向积分形式的离散纵标法可写为如下形式（以y方向横向积分为例）：

其中：Δx为x方向节块的宽度，x∈［－1，1］；Ψm为横向积分角中子通量；Ly为横向泄漏。

DNTM根据对堆芯扩散节块格林函数法在上述横向积分离散纵标方程上推广，可得到相应的横向积分节块面平均角中子通量及节块标量中子通量，并构造成一般的源迭代形式，即可完成节块离散纵标法的求解，具体过程参见文献［2－3］。

1．2 中子平衡法

在堆芯扩散节块展开法（NEM）中，一般通过采用中子通量连续和中子流连续及权重方程，构造堆芯节块表面中子流耦合方程来求解全堆节块表面中子流，而后根据中子平衡方程求得节块平均中子通量，同时根据节块表面中子流更新偏中子通量及偏中子源，并构造成一般的源迭代形式完成求解。在节块离散纵标横向积分方程中应用上述节块展开法，构造一种新的源迭代形式。

首先，根据横向积分离散纵标方程（式（2））求解节块表面横向积分面平均角中子通量，横向积分出射面平均角中子通量有如下形式（以μ＞0为例）：

对于横向积分中子源，采用二阶勒让德多项式展开，即：

对于横向中子泄漏，采用平坦中子泄漏，即式（3）。

将对横向积分中子源和横向中子泄漏的近似代入式（4），得到出射横向积分出射面平均角中子通量的具体形式：

其中：Qn为横向积分偏中子源；L0为平均中子泄漏；Cn为系数，具体形式如下：

对任意角度的离散纵标中子输运方程（式（1））进行面积积分，得到二维笛卡尔坐标下的任意角度方向中子平衡方程，这与堆芯扩散节块法的过程类似，其形式可写为：

由中子平衡方程可得到节块平均角中子通量¯φm。对横向积分偏（角度）中子通量采用二阶勒让德多项式展开，可采用如下方式：

根据以上横向积分偏（角度）中子通量，对角度权重求和后就可得到源迭代需要的横向积分偏中子源，至此，式（4）或（5）、（6）和（7）结合源迭代过程构成了完整的中子平衡形式下的节块离散纵标法。

1．3 CMFD加速技术

节块离散纵标法可在较粗的网格下获得与CMFD相同的精度，但由于中子输运方程的特点，整个数值计算过程需更多的源迭代从而消耗较多计算时间，因此，与有限差分形式的离散纵标法相同，研究和采用有效的加速技术对于节块离散纵标法是非常必要的。

从输运方程中子截面得到扩散方程中子截面，特别是获得扩散系数，从而可得到CMFD一般意义下的节块耦合系数。通过中子输运计算可得到输运面中子流和体积平均通量，那么就可按照式（8）得到耦合修正系数。

将式（8）代入到中子扩散平衡方程即可得到一般的CMFD迭代方程，并可得到本征值和中子通量，随后将SN的计算结果修正到该CMFD结果以实现加速。

2 数值结果

2．1 4×4 BWR基准问题

4×4BWR基准问题是一个用于验证中子输运计算的典型问题，该问题的燃料组件由简化的燃料区和轻水区组成，且是一个两群问题，图1示出该基准问题的几何结构。图1中，数字1、2表示材料编号，数字1．0、1．5和1．6表示网格宽度，单位为cm。表1列出该基准问题的材料中子截面［5－6］。

图1 4×4BWR基准问题几何结构Fig．1 Layout of 4×4BWR benchmark problem

与参考问题一致，本文采用1个栅元为1个节块进行计算，并分别采用了S4和S8进行计算。表2列出本征值计算结果的比较。图2示出热群（g＝2）通量计算结果（S8）与DNTM2D程序的比较。由表2和图2可看出，本文计算的本征值和中子通量与其他程序的计算结果一致。

表1 4×4BWR基准问题中子截面Table 1 Cross section of 4×4BWR benchmark problem

表2 4×4BWR基准问题本征值Table 2 Eigenvalue of 4×4BWR benchmark problem

图2 BWR组件问题中子通量分布Fig．2 Neutron flux distribution of BWR assembly problem

2．2 C5G7 MOX基准问题

C5G7MOX基准问题是目前广泛应用的带MOX燃料组件的全堆问题，堆芯中包括两个UOX组件和两个MOX燃料组件，且该问题是一非均匀栅元7群计算问题。为了验证本文计算方法，以C5G7MOX基准问题中MOX燃料组件为基础构建一均匀栅元单组件（MOX）问题。

首先通过MOC方法［7］采用非均匀计算获得较精确的非均匀解，然后通过均匀化获得各栅元均匀中子截面，并选取典型的栅元均匀截面作为C5G7MOX单组件问题的中子截面。本文选取第9行的第1、2、3和4列这4个位置栅元均匀化截面作为典型截面用于全组件其他栅元，另外中心位置用导向管栅元代替原问题测量管栅元。最后采用MOC方法进行均匀化计算得到本征值和中子通量结果作为参考解。

本文采用1个栅元为1个节块进行计算，并分别采用了S4和S8进行计算。本文计算中，本征值keff的S4和S8计算结果分别为1．185 57和1．185 74，而MOC方法的参考解为1．185 99，本文计算结果与参考解基本一致。图3示出本文计算（S8）和参考解的栅元中子功率。由图3可见，相对于参考解，本文计算的中子功率与参考解平均相对偏差和最大相对偏差分别为0．3%和1．0%，本文计算的中子通量与MOC方法的计算结果符合良好。

图3 C5G7MOX单组件问题栅元中子功率分布Fig．3 Cell neutron power distribution of C5G7MOX single assembly problem

2．3 CMFD加速性能

节块离散纵标法尽管相对差分格式离散纵标法有一定的计算效率优势，但由于输运方程的特点使其计算速度还是相对较慢。根据CMFD理论模型，对节块离散纵标法采用了CMFD加速并进行了相应的数值模拟。

对4×4BWR基准问题和C5G7MOX单组件基准问题进行计算，对于采用和不采用CMFD加速下的节块离散纵标法计算的外迭代次数进行了统计，结果列于表3。由表3可看出，采用CMFD加速后的外迭代次数明显减少，取得了非常优良的效果。

表3 CMFD加速效果Table 3 CMFD acceleration performance

3 结论和建议

本文提出了一种简洁、有效的中子平衡形式的节块离散纵标法，给出了具体的理论模型。数值结果表明，提出的模型是可行的，计算结果正确。

一般而言，中子输运离散纵标法由于输运方程的特点计算速度相对较慢，因而需要进行加速。CMFD加速方法已在MOC方法中取得了非常优良的效果，在节块离散纵标法中采用类似的方法，也取得了相似的效果。

［1］ CHO Namzin．Fundamentals and recent developments of reactor physics methods［J］．Nuclear Engineering and Technology，2005，37（1）：25－78．

［2］ LAWRENCE R D，DORNING J J．A discrete nodal integral transport：Theory method for multidimensional reactor physics and shielding calculations［C］∥ANS Meeting 1980Advances in Reactor Physics and Shielding．Sun Valley，Idaho：［s．n．］，1980．

［3］ 谢仲生，DORNING J J．三维中子输运方程离散纵坐标节块数值解法［J］．核科学与工程，1986，6（4）：311－322．

XIE Zhongsheng，DORNING J J．A discrete nodal method for there－dimensional neutron transport numerical calculations［J］．Chinese Journal of Nuclear Science and Engineering，1986，6（4）：311－322（in Chinese）．

［4］ CHO Jinyoung，HAN Gyujoo，KANG Seogkim，et al．Cell based CMFD formulation for acceleration of whole－core method of characteristics calculations［J］．Journal of the Korean Nuclear Society，2002，34（3）：250－258．

［5］ 赵春雷，尹邦华，谢仲生．二维轻水堆燃料组件中子通量分布的计算［J］．核科学与工程，1986，6（1）：18－28．

ZHAO Chunlei，YIN Banghua，XIE Zhongsheng．The calculation of neutron flux distribution for two－dimensional light water fuel assembly［J］．Chinese Journal of Nuclear Science and Engineering，1986，6（1）：18－28（in Chinese）．

［6］ 吴宏春，孙幸光，曹良志，等．二维中子输运方程计算的角度多重网格加速方法及外推加速技术［J］．核动力工程，2008，29（4）：5－9．

WU Hongchun，SUN Xingguang，CAO Liangzhi，et al．Angular multigrid acceleration method and lyusternik－wagner extrapolation acceleration technique for two－dimensional neutron transport equation［J］．Nuclear Power Engineering，2008，29（4）：5－9（in Chinese）．

［7］ LI Zhiyong，ZHANG Ying．The application and performance of ACMFD acceleration in 2D／3D full core MOC transport fuse method［C／CD］∥PHYSOR－2014．Kyoto：Kyoto University，2014．

Study on Neutron Balance Nodal Discrete Ordinate Method and CMFD Acceleration Technique

LI Zhi－yong
（Shanghai Branch，China General Nuclear Engineering Design Company，Shanghai 200030，China）

Based on transverse integration discrete ordinate equation，the relationship between transverse integrated outgoing and incoming flux was analytically obtained in this paper，and with transport nodal neutron balance equation analog to nodal diffusion method，an effective nodal discrete ordinate numerical iteration strategy was obtained．Numerical results indicate that the method given in this paper is feasible and the results are reliable．In addition，the widely used coarse mesh finite difference（CMFD）acceleration technique is adopted in nodal discrete ordinate method and provides good result．

discrete ordinate method；nodal expansion method；neutron balance；CMFD acceleration technique

TL329

A

：1000－6931（2015）03－0497－05

10．7538／yzk．2015．49．03．0497

2013－12－17；

2014－07－24

李志勇（1981—），男，湖南益阳人，工程师，从事反应堆物理设计及数值计算研究