Taylor展开式在高等数学中的应用

韩宝燕

（山东工艺美术学院公共课教学部，山东 济南250000）

1 利用泰勒公式求行列式的值

若一个行列式可看做x的函数（一般是x的n次多项式）,记作f（x）,按泰勒公式在某处x0展开,用这一方法可求得一些行列式的值.

例1 求n阶行列式

解 记fn（x）=D,按泰勒公式在z处展开：

易知

由（3）得,fk（z）=z（z-y）k-1,k=1，2，…,n.时都成立根据行列式求导的规则,有

因为（f1（x）=x），于是fn（x）在x=z处的各阶导数为

把以上各导数代入（2）式中,有

2 利用泰勒公式证明导数不等式

分析：f（x）在[0，1]上二次可微，且最小值-1≠0，所以在（0，1）内一定有极值点，该点的导数为0，题中可知f（x）二次可微，从这点我们可以想到使用泰勒公式，而要证明的结论中右边是一个常数，故选在最小值点x0处泰勒展开。

解：不妨设x0∈（0，1）为f（x）在[0,1]上的最小值点，则f（x0）=-1，f′（x0）=0，f（x）在x0处的泰勒公式：

，ξ是介于x与x0之间的某个值.

综上所述，存在一点ξ∈（0，1），使f″（ξ）≥8.

3 利用泰勒公式判断级数的敛散性

当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.

分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到,若将其泰勒展开为的幂的形式,开二次方后恰与相呼应,会使判敛容易进行.

故该级数是正向级数.

又因为,

所以

4 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值

如果f（x）泰勒公式已知,其通项中的加项（x-x0）n的系数正是（x0），从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导.

例4 求函数f（x）=x2ex在x=1处的高阶导数f（100）（1）（2）.

解 设x=u=1,则

而g（u）中的泰勒展开式中含u100的项应为,从g（u）的展开式知u100的项为u100,因此

［1］华东师范大学数学系,编.数学分析：上册[M].3版.北京：高等教育出版社,2001(2008重印).

［2］华东师范大学数学系,编.数学分析：下册[M].3版.北京：高等教育出版社,2001(2008重印).

［3］闫晓红,王贵鹏,主编.数学分析全程导学及习题全解：上册[M].北京：中国时代经济出版社,2006,2.

［4］闫晓红,王贵鹏,主编.数学分析全程导学及习题全解：下册[M].北京：中国时代经济出版社,2006,2.

［5］同济大学数学系,编.高等数学：上册[M].6版.北京：高等教育出版社,2007,6(2009重印).

［6］同济大学数学系,编.高等数学：下册[M].6版.北京：高等教育出版社,2007.6(2009重印).