海上低渗气田综合多因素压裂选井选层方法

彭成勇，吕欣润，马新仿，蔡久杰，王伟

（1.中海油研究总院钻采研究院，北京100027；2.中国石油大学（北京）石油工程教育部重点实验室，北京 102249）

0 引言

×海上低渗气田储量规模庞大，2008年以来，在探井、前期生产井及中后期老井中进行了10余次压裂作业，但效果参差不齐，且有多口井压后出水严重。受海上高成本开发及环境条件的限制，不可能对每口井进行裂缝监测，要准确评价压后裂缝形态，目前尚缺少有效的方法和手段。为了找到出水和低产的原因，为压裂作业提供可靠的依据，做好压裂前选井选层工作，降低在开发过程中存在的施工和经济风险，迫切需要相应的关键技术。

自20世纪50年代水力压裂技术广泛应用以来，压裂选井选层一直为国内外所关注。早期的研究者主要是根据经验进行判断，带有很大的盲目性。直到20世纪末，人们才相继提出了运用模糊数学[1]、灰色理论[1]及神经网络[2]等方法，对压裂选井选层进行定量预测。但是，由于样本数量有限以及考虑参数不全面，导致预测结果偏差较大，这种现象在压裂井数少、压后出水严重的×海上低渗气田尤为严重。本文选择支持向量机算法作为优选压裂井层的手段，克服了小样本的弊端，并利用裂缝拟三维模型，全面考虑了压裂沟通水层的风险，提出了综合多因素的压裂选井选层方法，预测结果与实际数据吻合良好。

1 支持向量机原理及算法

支持向量机算法是一种性能优越的机器学习方法，主要用于解决有限样本学习问题，对数据的维数和多变性不敏感，具有较好的分类精度和泛化能力[3-4]，能够很好地满足海上压裂选井选层要求。

1.1 经验风险最小化与结构风险最小化

机器学习的目的是，在已知变量ρ与输入量θ之间存在一个未知的联合概率F（θ，ρ），根据n个独立同分布的观测样本（θ1，ρ1），（θ2，ρ2），…，（θn，ρn），在一组函数｛f（θ，ω ）｝中，求一个最优的函数｛f（ θ ，ω0）｝，对其依赖关系进行评估，使预测的期望风险R（ω）最小。

式中：ρ为已知变量；θ为输入数据；｛f（θ，ω）｝为拟合函数；ω 为系数；F（θ，ρ）为 ρ与 θ的联合概率。

神经网络、模糊识别等都是基于经验风险最小化原理的算法，由于实际中只能利用已知样本的信息，无法直接计算期望风险，因此，使用期望风险的算数平均经验风险代替：

式中：Remp（ω）为平均经验风险；n为样本数。

然而，根据统计学习理论，只能证明样本数趋于无穷时，Remp（ω）在概率意义上趋近于 R（ω），而无法保证当 Remp（ω）取最小的 ω 时也能使 R（ω）最小[5]。

统计学习理论中，关于经验风险和期望风险之间的关系称为推广性的界，该结论说明R（ω）与Remp（ω）之间存在关系[6]，即

式中：φ为单调递减函数；η为函数集的VC维。

式（3）表明，在有限样本的情况下，机器学习的VC维越高，复杂性越高，置信范围越大，导致期望风险与经验风险之间的差别越大。要想取得较好的学习效果，必须在达到经验风险要求的基础上最小化置信区间，也就是结构风险最小化（见图1）。

1.2 支持向量机算法

支持向量机算法即为结构风险最小化的实现。先以2类线性可分的情况进行说明，然后再推广到高维非线性问题。

图1 结构风险最小化

假设有 n 个样本，（θ1，ρ1），（θ2，ρ2）， …，（θn，ρn），存在分类超平面：

将样本划分成 2 类（见图 2）。令 ρ=f（θ）=ω·θ+b，则f（θ）=0 位于分类超平面上；若 f（θ）＞0 或 f（θ）＜0 则表示位于分类超平面的两侧。

图2 分类超平面

支持向量机需要找到这样2个最优超平面，它们与分类超平面平行，在它们之间没有任何样本点，并且这2个超平面之间的距离也最大。

由于式（4）两边同乘以常数后超平面不变，可令sign（ω·θ+b）的最小值为 1，所以，这样的 2 个超平面包含于ω·θ+b=1和ω·θ+b=-1这2个方程族中，它们与分类超平面的距离为。

另外考虑到可能有一些样本不能被超平面正确分类，可以引入松弛因子来形成“软边界”。选择1个超平面，尽可能地清晰区分样本，同时使其与分界最清晰的样本的距离最大化。引入松弛因子ξ后，目标函数变为

式中：Ω为一个常数，用于控制目标函数中2项之间的权重；ξi为松弛因子。

为了求解方便，引入拉格朗日乘子L：

式中：α，r分别为拉格朗日乘数。

容易验证：当某个约束条件不能满足时，例如ρ·i（ω·θ+b）＜1-ξi，那么，显然有 θ（ω）=∞；而当所有约束条件都满足时，则有。 因此，目标函数变为 minω，b，ξθ（ω），也即

将最大、最小交换，有：

显然，d*≤p*，且由于目标函数是一个凸二次优化问题并满足KKT条件，所以，d*=p*。

求解 minω，b，ξL（ω，b，ξ，α，r），需要 L 对 ω，b，ξ的偏导为0，因此有：

这是一个典型的二次优化问题，可用内点法来求解。对于非线性问题，可以应用Kernel进行推广，得到非线性的目标函数为[7-8]

解得的分类函数为

式中：P 为核函数；φ（θi），φ（θj）分别为 θ映射高维向量空间的特征向量。

1.3 支持向量机应用效果

为了对比支持向量机的应用效果，特编制了模糊识别程序和BP神经网络程序。所使用的数据为某低渗气田79口压裂井数据 （该79口井均未出现沟通水层情况），选取其中60口为训练样本，其余19口为预测数据。选取影响压后效果的参数为孔隙度、渗透率、自然伽马测井、有效厚度、含水饱和度和压力系数。拟合及预测结果见图3。

图3 拟合及预测效果对比

由图可知，模糊识别方法的拟合及预测结果均较差，神经网络和支持向量机的拟合效果较好，但支持向量机的方法预测结果明显优于神经网络。这是因为，支持向量机基于结构风险最小化算法，泛化能力[9-13]优于基于经验风险最小化的神经网络算法。

2 沟通水层风险预测

在水力压裂过程中，当裂缝延伸进入邻近含水层时，反而会使气井大量产水，影响天然气的开采，甚至导致压裂施工失败。对于投资成本高的海上作业而言，沟通水层是风险很高的事件，因此，在压裂选井选层过程中，合理预测沟通水层的风险是十分重要的。

2.1 量化风险

压裂过程中沟通水层，主要是因为水力裂缝垂向上过度延伸，导致缝高过大，压穿了隔层，进而沟通了储层附近的水层。因此，预测压裂施工会否沟通水层，主要是通过模拟水力压裂缝高，再结合储层厚度以及水层与储层的距离进行判断。为简便起见，假设形成的支撑缝高是关于储层中深对称的，定义极限距离为

式中：Dlim为极限距离，m；H0为缝口处缝高，m；Hp为储层厚度，m。

当离储层最近的水层距离大于极限距离时，表明压裂施工不会沟通水层，当其距离小于极限距离时，则表明压裂施工会沟通水层；因此，极限距离越大，越有可能沟通水层，风险也就越高，反之，风险越小。

2.2 确定参数

从式（12）可知，极限距离与储层厚度及支撑缝高有关。支撑缝高的影响因素繁多，主要包括储层性质（渗透率、厚度、埋藏深度和温度等）、岩石力学性质[14-18]（储隔层应力差、弹性模量和闭合应力梯度等）、工程条件[19]（压裂液黏度、支撑剂密度、施工排量、净液量、携砂液砂比和前置液比例等）。如果将这些因素一一进行模拟比对，工作量巨大且不利于绘制具有实用价值的图版。本文依据所研究的×海上低渗气田具体情况，将上述因素进行了统计归纳，发现有些参数在不同气井中的变化不大，因此将其取为定值（见表1）。

表1 不同气井中变化不大的基本参数

储层厚度、储隔层应力差、净液量、储层渗透率和排量等5项参数在不同气井中相差较大，因此，对这5个参数分别取不同数值进行模拟。

2.3 裂缝拟三维模型

水力压裂的二维模型假定缝高恒定，所以不能用于缝高延伸的模拟；全三维模型则较为复杂，计算量大。因此，本文采用裂缝拟三维模型[20-21]进。

2.3.1 裂缝宽度方程

式中：x 为所计算位置距缝口距离，m；wf（x）为 x 处裂缝最大宽度，m；pf为裂缝内流体压力，Pa；E为储层弹性模量，Pa；S1，S2分别为隔层及地层最小主应力，Pa；H（x）为裂缝长度方向x处的裂缝高度，m；H1为半储层厚度，m；ν为岩石泊松比。

2.3.2 裂缝内压力分布方程

式中：w为裂缝宽度，w0为裂缝口处的最大宽度，m；y为所计算位置距裂缝中心距离，m；ψ为幂律流体的稠度系数，Pa·sγ；γ为幂律流体的流态指数；V为裂缝流体流速，m/s。

2.3.3 裂缝高度方程

对于裂缝高度的计算，主要依据裂缝的断裂准则，即只有当裂缝顶端的应力强度因子KI值达到某临界值KIC时，裂缝才延伸。断裂因子的计算公式为

式中：KI为 I型应力强度因子，。

得到裂缝高度剖面方程为

式中：q（x）为沿裂缝长度方向 x 处的流量，m3/s；Hp为产层厚度，m；w0（x）为 x 处最大裂缝宽度，m；μ（x）为 x处液体黏度，mP·s；KIC为岩石断裂韧性，。

2.3.4 连续性方程

式中：q(x，t)为 t时 x 处的流量，m3/s；A（x，t）为 t时 x 处的裂缝面积，m2；Ct为压裂液滤失系数，；t为时间，s；τ（x）为压裂液到达 x 处的时间，s；x（t）为 t时裂缝长度，m；

2.4 压裂风险预测图版

根据×气田的基本情况 （见表1），储层厚度取10，20，30，40，50，60，70 m； 储 隔 层 应 力 差 取 3～11 MPa，间隔为 2 MPa；净液量取 250，350 m3；储层渗透率取 0.50×10-3，0.10×10-3，0.01×10-3μm2； 排量取 3.0～3.5 m3/min。用裂缝拟三维模型模拟计算极限距离，将计算结果绘制成示例图版。该图版按照储层渗透率分为3套，每套按照排量分为2组，每组按照净液量分为2个。图4为排量3 m3/min，渗透率1×10-3μm2图版。使用时按照实际情况查找相应图版，如极限距离小于该气井储层距水层的最小距离，则认为沟通水层的风险低，否则认为风险高。

图4 示例图版

3 综合多因素压裂选井选层方法

该方法将支持向量机算法和风险预测图版综合应用，推荐的压裂井层更科学、更全面，得出的结论也更可靠。应用步骤如下：

1）压后产能优选。根据储层的有效厚度、孔隙度、含气饱和度、渗透率、自然伽马测井和压力系数，应用支持向量机算法预测待选井层压后产能，从中优选出产能较大的井层作为推荐井层。

2）风险分析优选。统计步骤1）中所推荐井层与水层的距离，根据其渗透率、有效厚度和压裂规模查阅风险图版。若极限距离小于其距离水层的最近距离，则推荐压裂；否则，不推荐。此结果即为最终推荐结果。

4 实例应用与效果对比

为验证综合多因素压裂选井选层方法的效果，对所研究气田的7口压裂井进行了再评价。具体储层物性数据见表2。

表2 待选井储层物性

4.1 产能预测优选

应用支持向量机算法进行压后日产气量预测，结果见表3。

表3 产能预测结果

由表3可知，7口井预测的压后产能均较高，若不考虑沟通水层风险，它们都会被推荐为进行压裂施工的目标井。

4.2 风险分析优选

结合测井解释数据和完井地质图，统计各井层距水层的距离，应用地应力解释系统计算应力差，得到7口井数据并应用风险图版进行预测，结果见表4。

表4 风险程度分析结果

由表4可知，XH-1和XH-7两口井风险预测为“低”，其余均为“高”。因此，最终优选的压裂井是XH-1和XH-7。然而，这7口井均已实施压裂，实际结果见图5。

图5 综合多因素方法应用效果

综合多因素方法，推荐的XH-1和XH-7井是实际无阻流量最高的2口井，分别为6.00×104，15.12×104m3/d，其余5口井的无阻流量均在1.00×104m3/d以下，且出水量均在40 m3/d以上。这说明有可能沟通了水层，与综合多因素方法中风险预测结果相符。结合风险预测结果后，支持向量机方法预测的无阻流量与实际较接近，绝对误差为1.38×104m3/d。

5 结论

1）将支持向量机作为压裂选井选层、综合多因素方法进行产能预测的一部分，并对比了支持向量机、BP神经网络及模糊识别方法在数据拟合效果与预测效果上的优劣。结果显示，支持向量机明显优于其他2种方法。

2）定义了极限距离，用来表征压裂沟通水层的风险；采用裂缝拟三维延伸数学模型，模拟了不同储层厚度、渗透率、应力差和压裂规模下的极限距离；绘制了可以方便查阅的图版，作为综合多因素压裂选井选层的风险分析手段。

3）通过实例应用，验证了综合多因素压裂选井选层方法。在评价的7口井中，综合多因素方法推荐的2口井压后产气量明显高于其余5口井，产能预测结果与实际效果较接近，其余5口井效果不佳，且出水严重。这说明压裂选井选层综合多因素方法能够较好地指导现场选井选层工作。

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