例析应用勾股定理的几个误区

周建明

【关键词】 数学教学；勾股定理；误区

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C

【文章编号】 1004—0463（2015）07—0114—01

勾股定理是几何中的一条重要定理，在解决直角三角形问题中，可以说它无处不在.但是，在实际解题过程中，常常受思维限制，极易造成错解.将学生学习中产生的错误进行收集和整理，并合理利用这些错题资源，能够更好地培养学生的反思能力和创新思维，从而提高教学效率，达到“减负增效”的目的.下面，笔者举例浅析应用勾股定理的几个误区.

一、忽略定理应用的条件

例1 已知△ABC中，三边长a、b、c为整数，其中a=3，b=4，求第三边c的长.

错解：由勾股定理，得a2+b2=c2，∴c2=32+42=25，∴c=5.

剖析：应用勾股定理的前提条件必须是“在直角三角形中”，本题解法是受“勾3股4弦5”的影响，错把△ABC当成直角三角形，导致错误的使用勾股定理.

正解：由三角形三边关系可得b-a二、理解不透，直接套用公式

例2 在Rt△ABC中，a=8，b=10，∠B=90°，求第三边c的长.

错解：由勾股定理，得c2=a2+b2=82+102=164，∴c=.

所以第三边长为.

剖析：本题解法中错在对公式理解不透，只注意公式的表面形式a2+b2=c2，没有分辨清楚哪个是斜边，哪些是直角边，本题忽视了∠B=90°，由于∠B=90°，所以b应为斜边，而不是c.

正解：因为∠B=90°，∴b2=a2+c2，∴c2=b2-a2=102-82=36，∴c=6，故第三边c长为6.

三、不加诊断，求边漏解

例3 在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，求第三边的长.

错解：因为△ABC是直角三角形，∴△ABC的第三边长为=5.

剖析：本题错在将3、4都当成了直角边，事实上，本题并没有明确告诉我们哪个角是直角，因此4也可以作为斜边，所以须分类讨论.

正解：1.若4为直角边，则第三边的长为=5；

2.若4为斜边，则第三边的长为=.故第三边长为5或.

四、注意分类讨论

例4 已知在△ABC中，AB=4，AC=3，BC边上的高等于2.4，求△ABC的周长.

错解：如图1所示，

由勾股定理，得BD==，

CD==，

∴BC=BD+DC=+=5.

∴△ABC的周长为AB+BC+CA=4+5+3=12.

剖析：上面解法中，只考虑了三角形的高在三角形内部的情况，忽视了高在三角形外的情况，即当△ABC是钝角三角形时.因此须分类讨论.

正解：1.若∠C是锐角（如图1），由勾股定理，得BD==，CD==.

则BC=BD+DC=+=5，这时△ABC的周长为AB+BC+CA=4+5+3=12；

2.若∠C是钝角（如图2），则BC=BD-DC=-=，这时△ABC的周长为AB+BC+CA=4++3=.所以△ABC的周长为12或.

总之，应用勾股定理解题时容易犯错之处不仅仅是上述这些，错误也多种多样，但最根本原因是对定理不熟悉或理解不深刻造成的，为避免上述错误，大家一定要仔细观察题目的特点，深入挖掘其内涵条件，构造出符合条件的直角三角形，力求得到简便、巧妙的解答.而且，教师合理利用学生身边最常见的错题，鼓励学生透过错误发现问题，并利用错误这一资源，制订策略并积极地开展有意识的训练，让学生在错误中完善思维.编辑：谢颖丽