组合优化策略的改进协同优化方法

罗伟林， 吕文靖

(福州大学机械工程及自动化学院， 福建 福州 350116)

组合优化策略的改进协同优化方法

罗伟林， 吕文靖

(福州大学机械工程及自动化学院， 福建 福州 350116)

为克服传统协同优化方法一致性约束造成的收敛困难和局部最优问题， 提出将粒子群优化算法和修正可行方向法结合并引入协同优化. 应用粒子群算法获得全局最优解近似， 在此基础上应用修正可行方向法进行局部精确搜索. 分别以一个典型的二次函数优化问题和一个减速器设计优化问题作为测试实例， 优化结果表明, 所提出组合优化策略是有效的, 同时兼顾了优化效率和精度.

协同优化; 粒子群算法； 修正可行方向法； 全局最优解； 收敛性

0 引言

协同优化方法(collaborative optimization, CO)是在20世纪90年代提出的一种有效的多学科设计优化方法[1]. 该方法在基于一致性约束的基础上提出， 具有符合实际工程设计的框架结构形式、 易于软件集成、 能够并行处理等优点. 因此， 协同优化方法非常适合应用在大规模工程系统中. 另一方面， 协同优化方法本身也存在一定缺陷， 如： 对于某些复杂工程系统会出现收敛困难或者陷入局部最优解[2]. 研究表明， 协同优化的缺陷主要是由一致性约束引起[3]. 为此， 研究者相继提出了一些改进措施， 如引入松弛因子[4]、 惩罚函数[5]、 响应面模型[6]及人工智能技术[7]等. 采用的优化算法通常有两类： 一类是数值型算法, 另一类是人工智能型算法.

数值型算法利用函数的导数、 梯度等数学特征， 对非线性、 连续的工程问题进行优化. 常用的数值型算法包括修正可行方向法、 序列二次规划、 多功能优化系统技术等. 应用数值型算法， 能够对初始设计点周围局部区域进行有效的搜索. 此外， 若设计空间具有连续、 单峰值的特点， 算法能够沿最快下降方向进行快速搜索. 另一方面， 数值型算法的缺点是非常依赖于初始设计点， 易陷入局部最优解.

人工智能型算法是人类从生物进化的机理中受到启发, 为解决复杂优化问题而提出的一类算法. 工程系统中优化问题往往比较复杂， 表现在： 目标函数可能存在多个峰值； 或者目标函数具有非线性、 不连续、 不可微等特点； 设计变量也可能存在线性或离散的特性. 智能型优化算法的出现为这类复杂的系统优化问题提供了新的思路和手段[8]. 现代智能算法包括模拟退火算法、 进化算法、 神经网络、 粒子群优化、 支持向量机等. 这些智能算法具有好的适应性和全局收敛能力强等优势， 但其缺点是优化效率低， 需要花费大量的时间用于排除其他解从而得到最优解的计算.

本研究提出一类组合优化策略， 用于同时保证协同优化的优化效率、 精度和全局最优解， 该组合策略综合了智能型算法中的粒子群优化算法(particle swarm optimization, PSO)和数值型算法中的修正可行方向法(modified method of feasible direction, MMFD). 通过两个典型算例验证了所提出组合方法的有效性.

1 协同优化方法

1.1 基本思想

图1 协同优化方法基本框架

针对大规模复杂工程系统， 协同优化方法采用分布式设计以减小系统设计的复杂性. 其基本设计思想为： 系统级向各学科级递送设计变量和相关状态变量的期望值信息； 各学科级满足本学科约束范围内， 使得本学科在优化后所得到的各自学科最优解与系统级传送的对应期望值的差异最小； 各学科级把经本学科优化后的目标函数最优值及设计变量的最优解返回给系统级. 在优化迭代计算收敛之前， 所取得的各学科的设计变量的最优解存在着差异性， 即学科间存在不一致性， 系统级依照来自各学科的不同反馈信息， 根据特定的规律对学科间的不一致性进行协调， 同时优化求解原目标函数[9-10].

根据上述基本思想可以相应地构造出协同优化方法的基本框架(见图1). 可见， 协同优化方法拥有一个双层结构， 包括系统级与学科级、 系统级和学科级之间的信息与数据的交互在两层之间反复切换， 最优解在系统级与学科级间反复演进、 迭代.

1.2 数学模型

1) 系统级优化数学模型：

其中：z=[zs,zc],zs是全局设计变量，zc是耦合状态变量;di·()=0为协调第i个学科与其他的(N-1)个学科间不一致的一致性约束.

2) 学科级优化数学模型：

2 组合优化策略

针对标准协同优化方法中由于一致性约束引起的收敛性差和局部最优的缺陷， 提出基于粒子群优化算法和修正可行方向法的最优解组合搜索策略(PSO+MMFD)， 该策略具有以下优点：

1) 发挥PSO在整体设计空间全局搜索的优势， 能够快速对设计敏感区域进行定位.

2) 应用PSO对设计空间最优解进行初步的定位， 可避免智能型算法的细节优化效率问题.

3) 将PSO所得到的最优解作为MMFD的初始点， 既保证优化问题的全局最优解， 又保证能够精确快速地找到最优解.

2.1 粒子群算法(PSO)

PSO主要思想来源于人工生命理论和演化计算理论， 最初应用于模拟鸟类捕食行为， 是一种基于群体智能的优化算法.PSO算法原理简单、 易于实现， 且优化过程中不需要进行微分、 求导运算[11]. 基本计算过程可表示为：

其中:i=1, 2, …,N,N为粒子数;d=1, 2, …,D,D为维数;vid表示粒子运动的速度;xid表示粒子的位置;ω为惯性权重;c1和c2为加速项常数;pid为个体极值;pgd为全局极值;ξ,η为[0, 1]间的随机值.

PSO算法迭代的终止条件一般可通过设定最大迭代次数或最小错误要求， 本研究采用设定最大迭代次数. 对最优迭代次数的确定， 目前尚无理论指导， 一般通过试验的方式.

2.2 修正可行方向法(MMFD)

MMFD属于直接数值优化算法， 主要用来解决约束优化问题.MMFD具有几个优点： ① 能迅速得到优化设计结果； ② 能对等式和不等式约束进行相应求解； ③ 在优化中能以较高精度满足约束条件[12]. 主要的搜索方式表现为：

1) 若没有约束起作用或者产生冲突， 则搜索过程中将应用变梯度法；

图2 基于组合优化策略的协同优化

2) 若有约束产生作用， 且约束间不发生冲突， 则应用MMFD：

3) 假如有一个或多个约束发生冲突， 应用MMFD：

其中：x是设计变量； ▽F是目标函数梯度；S是搜索方向； ▽g是约束函数的梯度；β为步长；J是约束集；φ是一个大的正数；Θj为约束偏离因子， 对于起作用的约束情况：Θj=0， 对于起冲突的约束情况：Θj>0.

2.3 改进型协同优化方法

将组合优化策略(PSO+MMFD)引入到协同优化框架中， 将其嵌入协同优化的系统级优化器中， 而协同优化框架的其他部分保持不变. 在(PSO+MMFD)-CO中，PSO与MMFD可通过更改相应的变量来解决工程问题. 图2给出了基于PSO和MMFD的协同优化求解步骤.

3 测试算例

为验证所提出的基于组合优化策略的协同优化方法的有效性， 分别选用一个典型的二次函数优化问题和一个减速器设计优化问题作为测试算例. 优化在Isight软件平台上进行.

3.1 二次函数优化

所选取的测试函数简单且具有多学科设计优化(MDO)问题的主要特点， 是一个有代表性的MDO问题. 该二次函数优化问题的描述如下[13]：

该函数的理论最优解为(0.8, 1.6)， 其目标函数理论最优值为3.2. 应用协同优化方法， 问题可描述为：

系统级：

学科级1：

学科级2：

通过这个典型的MDO测试函数应用所提出的组合优化策略进行优化. 同时， 与标准协同优化方法(Standard-CO)、 基于约束松弛的协同优化方法(CR-CO)、 基于罚函数的协同优化方法(PF-CO)进行比较， 以验证所提方法的优越性. 表1给出4种协同优化方法的主要特征描述.

表1 4种协同优化方法的特征描述

图3 标准协同优化(standard-CO)迭代历程

4种方法初始点均选用(x=0.1,y=0.1)， 由式(12)约束条件知， 所选取的初始点为非可行点. 在Standard-CO、 CR-CO及PF-CO中， 系统级和学科级优化器皆选用MMFD. 而在PSO+MMFD-CO中， 将系统级优化器改为粒子群优化与修正可行方向法的组合优化策略. 迭代历程如图3～7所示. 4种优化策略的优化结果如表2所示. 从对比结果可以看出， 采用标准协同优化方法(Standard-CO)出现了计算困难问题， 无法得到可靠的全局最优解(误差达到99.36%)， 得到的最优解不在约束区间范围内， 可行解数为0个. 出现这种情况的主要原因是最优解处一致性等式约束的雅克比(Jacobian)矩阵不连续， 协同优化框架的系统级问题在求解优化上并不能满足标准的K-T(Kuhn-Tucker)条件.

表2 4种协同优化方法的结果比较

图4 基于松弛因子的协同优化(CR-CO)迭代历程

图5 基于罚函数的协同优化(PF-CO)迭代历程

图6 基于组合优化策略的协同优化迭代历程(PSO部分)

图7 基于组合优化策略的协同优化迭代历程(MMFD部分)

在引入松弛因子(CR)后， 求解精度得到了改善， 误差值缩减为54.46%， 同时可行解数有26个. 显然， 该优化器也不能给设计者提供可靠的最优解.

尽管采用基于罚函数的协同优化(PF-CO)可以得到收敛解， 但是误差过大(100%).

同以上几种优化算法比较， 本设计的组合优化搜索策略能够很好地提供最优解， 并且可以提供多个可行解以方便设计者进行方案选择. 从表2中可以看出， 采用PSO算法得到244个可行解， 同时将优化解确定在最优解值附近. MMFD在此基础上进行进一步的搜索， 得到精确的最优解， 误差仅为0.09%， 可行解数为17个. 这样的组合优化策略既可以保证全局最优解， 同时又兼顾了优化效率和精度.

图8 减速器结构图

3.2 减速器设计优化

为验证所提方法具有工程实用性， 现以一个齿轮减速器多学科设计优化问题为例说明. 减速器多学科设计优化问题是评估多学科设计优化性能的十个标准算例之一， 尤其在研究协同优化方法有效性和效率的过程中.

所采用的减速器模型如图8所示.

优化目标： 满足齿的弯曲和接触应力， 以及轴的扭转变形和应力等要求， 使得减速器的重量最轻(体积最小). 优化模型如下[14]：

变量取值范围： 2.6≤x1≤3.6; 0.7≤x2≤0.8; 17≤x3≤28; 7.3≤x4≤8.3; 7.3≤x5≤8.3; 2.9≤x6≤3.9; 5.0≤x7≤5.5. 其中：x1为齿宽；x2为齿轮模数；x3为小齿轮齿数；x4为轴承1之间的距离；x5为轴承2之间的距离；x6为轴1的直径；x7为轴2的直径.

协同优化框架由三个子学科级和一个系统级组成. 子学科1为减速器齿轮设计优化问题， 即给定x2,x3,x4,x5， 求解x1； 子学科2为轴1设计优化问题， 即给定x2,x3,x4,x5， 求x6； 子学科3为轴2设计优化问题， 即给定x2,x3,x4,x5， 求x7； 系统级主要负责三个子学科的协同优化.

本算例的理论最优解为{3.50, 0.70, 17.00, 7.30, 7.30, 3.35, 5.29}， 目标函数的理论最优值为2 985.14. 任意选取一组可行解为初值点， 应用PSO+MMFD-CO(P-M-CO)的优化结果如表3中所示. 迭代历程如图9和图10所示， 其中， 在粒子群优化中共迭代了411次， 而后采用修正可行方向法在粒子群优化的基础上进行优化搜索迭代， 迭代次数为130次.

表3 优化结果

图9 基于组合优化策略的协同优化迭代历程(PSO部分)

图10 基于组合优化策略的协同优化迭代历程(MMFD部分)

从优化结果可以看出， PSO+MMFD-CO方法能够有效地收敛到最优解， 对目标函数的优化结果误差仅为0.01%， 从而验证了PSO+MMFD-CO方法在工程应用中的有效性.

4 结语

标准协同优化方法存在一致性约束引起的收敛性差和局部最优问题. 目前许多改进型协同优化策略多应用数值型算法(如MMFD)作为优化器， 尽管改善了收敛性差的问题， 但仍存在局部最优问题. 采用基于人工智能技术(如PSO)的优化器可以避免局部最优问题， 但存在效率低下的问题. 本研究提出将一种人工智能优化算法(PSO)与数值型算法(MMFD)相结合， 作为协同优化方法的优化器. 通过对两个典型算例的测试, 结果表明， 所提的改进型协同优化方法在保证全局最优解的同时， 兼顾了优化效率和精度. 下一步的研究将通过更复杂的优化问题或工程实例来验证和确认该方法的有效性.

[1] Kroo I M, Altus S, Braun R D,etal. Multidisciplinary optimization methods for aircraft preliminary design[C]//The 5th AIAA/LJSAF/NASA/ISSMO Symposium on Multidisciplinary Analysis and Optimization. Panama City: [s.n.], 1994: 697-707.

[2] Martins J R R A, Lambe A B. Multidisciplinary design optimization: a survey of architectures[J]. AIAA Journal, 2013, 51(9): 2 049-2 075.

[3] Alexandrov N M, Lewis R M. Analytical and computational aspects of collaborative optimization for multidisciplinary design[J]. AIAA Journal, 2002, 40(2): 301-309.

[4] 纪爱敏， 殷旭． 基于自适应松弛因子的协同优化方法[J]． 计算机集成制造系统， 2014， 20(7)： 1 530-1 536．

[5] 李海燕， 马明旭， 黄章俊， 等． 自适应罚函数协同优化算法[J]． 系统仿真学报， 2009， 21(19)： 6 178-6 182．

[6] 刘士士， 谷正气， 伍文广， 等． 基于响应面方法的车辆多目标协同优化[J]． 中南大学学报： 自然科学版， 2012， 43(7)： 2 586-2 592.

[7] Coello C A, Pulido G T. Multi-objective structural optimization using a micro genetic algorithm[J]. Struct Multidisc, 2005, 30(5): 388-403.

[8] Sanna M， Murroni M. Optimization of non-convex multiband cooperative sensing with genetic algorithms[J]. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, 2011, 5(1): 87-96.

[9] Liu W, Cui W C. Multidisciplinary design optimization (MDO): a promising tool for the design of HOV[J]. Journal of Ship Mechanics, 2004, 8(6): 95-112.

[10] Lambe A B, Martins J R R A. Extensions to the design structure matrix for the description of multidisciplinary design, analysis, and optimization processes[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2012, 46(2): 273-284.

[11] 潘峰， 李位星， 高琪, 等． 粒子群优化算法与多目标优化[M]． 北京： 北京理工大学出版社， 2013: 10-35.

[12] 孙靖民， 梁迎春． 机械优化设计[M]． 北京： 机械工业出版社， 2011: 95-185.

[13] Shankar J, Haftka R T, Watson L T. Computational study of a nonhierarchical decomposition algorithm[J]. Computational Optimization and Applications, 1993, 2(3): 273-293.

[14] Azarm S, Li W C. Multi-level design optimization using global monotonicity analysis[J]. ASME Journal of Mechanisms and Automation in Design, 1989, 111(2): 259-263.

(责任编辑： 沈芸)

Improved collaborative optimization based on hybrid optimization strategy

LUO Weilin， LYU Wenjing

(School of Mechanical Engineering and Automation， Fuzhou University， Fuzhou， Fujian 350116， China)

To solve the problems of poor convergence and local optimization in standard collaborative optimization (CO) due to the consistency constraints, particle swarm optimization (PSO) and modified method of feasible direction (MMFD) were proposed into the framework of CO. PSO was first employed to approximate the globally optimal solution. Subsequently, MMFD was applied to calculate the globally optimal solution accurately. Using the improved CO, two representative examples were examined. One illustrated the optimization of a quadratic function, the other concerned the design optimization of a reducer. Optimization results demonstrated the validity of the proposed hybrid optimization strategy， and improve the efficiency and accuracy of optimization as well.

collaborative optimization; particle swarm optimization; modified feasible direction method; globally optimal solution; convergence

2014-11-10

罗伟林(1973-), 博士, 副教授, 主要从事多学科设计优化系统辨识与仿真研究, wlluo@fzu.edu.cn

国家自然科学基金资助项目(51079031)； 福建省教育厅资助省属高校专项课题(JK2015003)

10.7631/issn.1000-2243.2015.06.0789

1000-2243(2015)06-0789-07

TP181

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