复习课教学要以课程标准为准绳，以问题解决为目标

摘 要：复习课是在认真分析学生年龄特点及其认知规律的基础上，全面提高其数学学习、探究与应用能力（其中包括学生个体自我组织、规划数学活动能力以及对学习过程与结果进行自主监督、控制能力等）的一种重要课型。因此，要求教师必须以课程标准为准绳，科学合理地、有目的、有计划地组织好复习教学，只有帮助学生对已经学过的数学内容做完整性与合理性的审视、评价与重建，才能达到提高学生发现问题、提出问题和解决问题能力与水平之目的。

关键词：高中数学；复习课；问题解决；思维能力

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2015）24-0062-04

高中生自我监控意识和综合思维能力较弱，还不能完全脱离具体事物而进行高度的抽象思维概括活动，难以自发地对不同阶段的知识与技能、过程与方法进行整合，使之系统化、网络化、完整化，经常呈现出单一、割裂或散点式的认知状态。这种状态严重阻碍了学生对数学建模、数学探究与数学文化及其内涵的理解、掌握与应用，更加阻碍了数学学科在学生长期可持续发展过程中的价值发挥。因此，要求教师必须以课程标准为准绳，科学合理地安排好复习课，有目的、有计划地组织教学，才能不断提高学生解决问题的能力与水平。下面主要介绍复习课的功能、任务及其操作模式，供同行们参考。

一、复习课的功能与任务

实践证明，复习课是在认真分析学生年龄特点及其认知规律的基础上，全面提高其数学学习、探究与应用能力（其中包括学生个体自我组织、规划数学活动能力以及对学习过程与结果进行自主监督、控制能力等）的一种重要课型。

（一）复习课的功能

1.复习课为学生提供了构建知识体系、提炼解题方法、体验数学思想的机会，能够帮助学生提高发现问题与解决问题的一般能力。

2.复习课为学生提供了将所学知识、技能、思想与方法综合运用和创新的机会，能够帮助学生积累数学活动的基本经验，有利于优化其认知结构。

3.复习课为学生提供了整体视野和对自身学习能力与水平进行再认知的机会，能够帮助学生对已经学过的数学内容做完整性与合理性的审视、评价与重建。

（二）复习课的主要任务

1.系统梳理基础知识，形成结构化知识网络，以便于学生对知识的理解、记忆和储存。

2.揭示规律，总结策略，逐步提高学生数学的提出问题、分析问题和解决问题的能力。

3.让学生熟练掌握并灵活运用数学课程标准中规定的高中生必备的基本技能和思想方法。

4.让学生反复经历方法探究、思路调整、思维优化等解题过程，不断地将其中蕴含的数学模型、思想方法、思维路径有机的联系起来。

二、复习课的一般操作模式

从上述分析可知，复习课的主要目标是“夯实基础、激活思维，最大限度地发展学生的问题解决能力”。因此，我建议复习课至少应该包括下面三个环节。

（一）课前布置学案，自主复习

导学案能够有效利用学生的课余时间，促使学生提前参与到学习中来。学生只有在课前进行必要的知识储备，从基本题型的练习入手，逐步变式，进而复杂化，课上才能展示综合性较高的数学问题，才能促使学生在问题解决的过程中，总结解题方法和策略。

复习课，教师应该为学生回顾知识提供必要的线索，但绝对不能代替学生整理和思考。课前要给学生提供独自整理知识的机会，让学生通过看书、查阅资料等方式独自解决并把回忆起的知识用纸笔记录下来，用自己喜欢的方式建构知识之间的联系。也只有让学生自己做了，经历了，知识才能内化到头脑中，形成体系。也许他们课前做得不是很完美，但只要有了这个基础，课堂教学就不会是“空中楼阁”，学习会更实效、高效。

（二）课上合作交流，拓展提升

如何让学生成为学习的主人，“问题引领、自主探究、合作交流”都是比较好的方式。复习课的一项重要工作是教师根据学生的“作品展示”情况，逐步引导学生剖析问题、联想与类比，不断总结解题方法与策略，发展归纳概括能力。

在学生课前准备的基础上，教师可以从以下几方面组织引导并加以操作。

1.通过展示和评价等方式，培养学生的反思能力

以课前“导学案”为载体，课上先展示部分学生的知识梳理、方法归纳和解题过程（思维方式的外在显现），再让其他同学做点评。评价应以学生互评为主，教师为辅，这样既能调动学生的学习积极性，又能督促所有学生做好前期准备，还能让同学之间有对比思考，可以从多角度、多方面对基础知识与基本技能进行“恢复”。这种做法要比教师在黑板上写，投影上显示，学生在笔记本上记录更有实效。

在学生“展示”过程中，教师一定要多问“为什么？”，例如，“你为什么这样想？”“还有其它想法吗？”“为什么选择或放弃这个方法？”“这处错误是怎样发生的？”“其他同学还有没有补充？”等等，促使所有学生养成题后反思的意识和习惯，同时也是对学生“说知识、说解题”等能力的有益培养，在此过程中，可以训练学生思维的缜密性，语言的表达能力，解题的纠错能力等。

2.利用“一题多解”，培养学生的发散思维

“一题多解”是引导学生从题目的不同侧面观察、不同角度审视，利用不同方法求解同一道题目，是通过较少的题目复习较多的知识与方法，从而培养学生解题的思考能力和技能技巧，激发学生的求知欲，让学生体会成功的喜悦。

复习过程中，教学生解答出一道题目容易，让学生掌握好一种解题方法和思维方式较难。这需要帮助学生加强知识的纵横联系与系统归纳，需要在方法的多样选择中进行分析和思考，需要梳理出不同解法的思路并加以提炼，需要对不同解法进行比较、鉴别和优化，以加深学生对题目本质的深刻理解。通过“一题多解”，能够突破学生平时先入为主的思维定势，拓展其解题思路，引导学生多角度、多层次地思考问题，将思维由封闭状态转化到开放状态，其目的并不在于“多解”，而在于思维的“多层次”和“多角度”。

例如，设P是椭圆=1上任意一点，过左焦点F1的弦为PA，且的值。

【点评】教学实践证明，有些学生注意到这是圆锥曲线上的动点问题，通过设点坐标（直角坐标或极坐标），转化为解方程（组）问题，体现方程思想；有些学生注意到直线与圆锥曲线的位置关系，通过设出直线方程，采用设而不求，避免求点坐标运算，同样利用方程思想；还有学生注意到焦半径，利用圆锥曲线的第二定义，结合平面几何知识进行判断和证明，减少运算量，体现了数形结合、转化和化归思想。多种思维方式和解法不仅加强了学生对基本题型、基本方法的理解与再认识，而且让学生获得了高水平的思维训练，提高了他们的发散思维能力。

3.利用“一题多变”培养学生的思辨能力

“一题多变”是通过变换条件或探求不同结论或改变问题情境等多种途径，引导学生从多方向、多层次、多角度出发思考同一问题，不断强化学生对知识的理解与掌握和思维的变通与创造，进而培养学生思维的灵活性。

复习过程中，教师可以通过类化不同变式的共同属性而突出题目的本质，借助“如果去掉某个条件会怎样变化？”“假如换一种问法呢？”“假如将其中一个条件换成另一个条件呢？”等启发式提问，引导学生的思维活动呈现层级推进并逐步深入，满足不同学生的学习需求。构造变式题的活动可以帮助学生巩固知识、训练思维、开阔视野，促进学生对解题方法的全面思考，其中的关键是“变”，“变”能促使学生思维不再局限于固定模式和定式思维，从而提出新问题或发现同一问题的多种解法或多种结果。

例如，复习抛物线性质的一道变式题。

课本原型：过抛物线y2=2px（p>0）焦点F的直线交抛物线于两个不同的点A、B，且两交点的纵坐标分别为y1、y2，求证：y1y2=-p2。

变式1：过抛物线y2=2px（p>0）焦点F的直线交抛物线于两个不同的点A、B，直线l：x=-为抛物线的准线，过点A、B分别作准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆过焦点F。

变式2：（改变M、N的作法）过抛物线y2=2px（p>0）焦点F的直线交抛物线于两个不同的点A、B，直线l：x=-为抛物线的准线，O为原点，直线OA、OB分别交准线于M、N，求证：以MN为直径的圆过焦点F。

变式3：（变定点为动点）过抛物线y2=2px（p>0）焦点F的直线交抛物线于两个不同的点A、B，直线l：x=-为抛物线的准线，C是抛物线上的动点，直线AC、BC与准线分别交于M、N，求证：以MN为直径的圆过焦点F。

变式4：（变焦点、准线为极点、极线）抛物线y2=2px（p>0），极点P（t，0），极线l：x=-t，C是抛物线上的动点，过P的直线交抛物线于A、B两点，直线AC、BC分别交极线于点M、N，则M、N的纵坐标之积为定值-2pt。

一般化：设圆锥曲线E的一个焦点为F，相应的准线（定直线）为l，C为E上的动点，过F且斜率不为0的直线与曲线E交于点A、B，直线AC、BC分别交准线于M、N，则以MN为直径的圆过焦点F。

变式5：（与相关知识点建立联系）直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A、B两点。

（1）若∣AB∣=4，求弦AB的中点到直线x+=0的距离；

（2）O为坐标原点，试判断向量是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。

【点评】上述题组是围绕抛物线中的定点（焦点）和式子y1y2=-p2，从课本问题出发复习和推广了圆锥曲线的诸多共同性质，符合学生的认知规律，逐步探究更是活跃了他们的数学思维。

4.利用“多题一解”提炼通性通法，培养学生对问题的理解力

“多题一解”是指针对一个关联性较强的题组，从不同问题的解法中寻找出不变的“规则”，梳理出一条思维“主线”，整理出“通性通法”，进而帮助学生从中学会抽象与概括、分析与综合、总结与归纳的具体方法，真正理解具体与抽象、特殊与一般的逻辑关系，最终达到举一反三、触类旁通的目的。

复习过程中，我们要充分挖掘知识点之间的联系，分析各解法的互通性，在“异中求同、同中求异”过程中将知识结构转化为认知结构，并借助“同质异形”题组，使学生发现解法的本质，从而加深学生对“通法”的深层次理解。

例如，在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c。

（1）若a2-b2=bc，sinC=2sinB，则A= 。

（2）若8b=5c，C=2B，则cosC= 。

（3）若2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，则sinB+sinC的最大值为 。

（4）若（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），试判断△ABC的形状。

【点评】虽然上述问题的条件和设问都不同，但只要借助正余弦定理将“边转化为角”或将“角转化为边”，问题将迎刃而解。这类题组有利于学生把握问题的实质，沟通知识间的联系；有利于多方面、多角度去分析问题、解决问题；有利于复习“一块”掌握“一类”，从而调动学生的学习积极性，提高学生的思维能力，培养学生思维的发散性和创新性，让学生思维在问题之间自由飞翔。

（三）课后总结反思，完善学案

1.题后反思。学生完成解题后，可以从“还有没有更好的解法？”“问题还可以怎样引申？”“问题的解决方法适用于哪种类型的题目？”等多方面进行反思，在反思中明晰问题的本质，对解题方法归纳总结，培养学生的批判性思维与发散性思维。

2.课后反思。我们要求学生根据课上师生辨析讨论的结果，在学案中总结解题策略的要点，整理问题的不同解法，进一步明晰问题解决过程中体现的数学思想和思维方式。可以采用以下策略：

（1）研究解题方法。对不同的解题策略与方法进行讨论、比较、优化，并为最佳的解题方法命名。

（2）提炼策略核心。理解常用解题策略的本质，把握其使用范围和要点，思考在问题解决过程中用到了什么策略，其核心要素是什么？从感性升华到理性，使其成为下次解决问题的思维起点和基础。

（3）解题策略延伸。通过对解题过程的深度思考，反思“你能用这种方法解决其他问题吗？”总结出一般的对今后解题活动有指导作用的方法或模式，从而内化到自己的头脑中去。

总之，数学复习课对于学生掌握知识、提升能力具有非常重要的作用，它是一项复杂而艰辛的工程。教学过程中，要精心选题，而且要认真挖掘，只有问题选得好、挖得深，学生受益才多；只有引领学生细致的观察和耐心的辅导，总结好知识点，才能收到意想不到的教学效果；只有以学生发展为核心，加强优良习惯的养成、知识点的归纳以及解题方法的总结，课堂教学效率才会更好。