利用空间向量法培养学生解题能力的研究

屈秀环

摘 要：讲新授课时，空间向量法引入的时机要恰到好处因为向量法提前介入立体几何教学会造成学生能力的缺失、思维的僵化、学习意愿的下降，丧失了空间立体感培养的机会，为高考留下了隐患。

关键词：学生;空间向量法;空间立体感

中图分类号： G633.63文献标志码：A文章编号：1008-3561（2015）12-0040-01

高中阶段立体几何的教学被分成了两部分，第一部分被安排在数学2的第一章“空间几何体”和第二章“点、直线、平面之间的位置关系”，主要是培养学生的空间想象能力、推理证明能力;传授解决立体问题传统方法——几何法，一般在高一进行教学;在第一阶段的学习中，应该重视基础的几何方法，如做垂线;掌握研究立体几何问题的传统方法，逐步提升学生的空间想象力和推理能力。第二部分被安排在选修2-1的第三章“空间向量与立体几何”，主要介绍向量法在立体几何中的应用，一般在高二进行教学。第二阶段，在传统几何方法的基础上，从空间向量入手，引导学生从代数的角度研究几何问题。它的最大优势是让学生从眼花缭乱的点线面位置关系中解脱出来，不添加任何辅助线，直接通过向量运算“轻松”解决立体几何教学中的位置关系、角度、距离等问题。目前很多学校按照必修课本1、4、5、3、2的顺序教学，这就使得必修2与选修2-1衔接到了一起，这样的做法无疑是想要让“一块儿”的内容成为一个系统。那么这样的做法是利大于弊，还是弊大于利呢？该怎样把握空间向量法的引入“时机”才能对立体题应对自如呢？

一、应试中“空间向量法”的优势

如下图，在底面是直角梯形的四梭锥S-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90O，SA⊥平面ADBC，SA=AB=BC=1，AD=，E为SC中点。

（1）求证：DE∥平面ABS。（2）求平面SCD与平面SBA所成二面角的正切值。这道题是一次数学期中考试题，这次考试恰在刚刚讲完传统几何法还未开始空间向量法的节点上。但在网上判卷过程中，却发现有一部分学生是利用空间向量法解决这道题的，这让很多老师非常吃惊。这道题对于初涉立体几何的学生来说，确实有点儿难;但是这道题没有在如何建立坐标系上设置难度，若采用空间向量法会显得非常轻松。最后的结果也表明：采用空间向量法的得分率远远高出传统几何法。利用向量法处理立体几何问题确实常常可以起到化繁为简、化难为易的效果，也因此深受广大师生的青睐，向量法也逐步成为当前考试应试的主流方法。

二、急功近利导致学生空间立体感缺失，空间向量法在解题中凸显尴尬

本次考试之后，学校开展了向“优秀成绩班级学习”的活动，很多教师到已经讲了空间向量法的班级去听课。在课上，教师抛出一道例题：在三梭锥P-ABC中，PA=PB=AB=BC，∠PBC=90O，D为AC中点，AB⊥PD.（1）求证：平面PAB⊥平面ABC。（2）求二面角B-PD-C的余弦值。看到很多学生迟迟不肯动笔，教师有些着急。教师：这道题你们打算用什么做法？学生：向量法。教师：为什么不动笔？学生：找不到坐标系。教师：为什么不尝试传统几何法？学生：不知从哪开始……由此可见，学生对于做辅助线等基本方法还知之甚少，运用定理证明能力相差甚远。但是为了应付考试，教师对于向量法的教学采用了“速成”的做法：删减了传统几何法的教学时间，提前向学生传授了向量法，但只局限于最常用的坐标运算，对于建系问题并没有进行深入的探讨，学生对于向量法的理解也只停留在“皮毛”上。这样急功近利的做法暴露出了严重的后遗症：如学生的想象能力过于薄弱，不会构造最基本的几何辅助线;学生推理能力缺失，显而易见的几何关系不会想到去证明。而这两大能力是否也可以在立体几何的后续教学中加以补救呢？若教师依然以向量法为重头戏，对这两大能力的培养显然起不到任何作用;若教师有心回转到传统几何法的教学中，恐怕学生的学习意愿会大大折扣，尝过了向量法的甜头，他们还会有动力重新学习传统的几何法吗？恐怕是传统几何法会更加招学生”烦”。

三、向量法引入过早，导致学生学习空间立体感缺失

如右图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1。（1）求证：AB⊥BC。（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角B-A1C-A的大小为Φ，当A1A=AC=2BC=2时，求sinθ·sinΦ的值。这是这届学生升入高三后，高三强化训练中的一道考试题，原本传统几何法要比空间向量法简单得多，但是却无一人选择传统几何法。由此可见，学生根本没有耐心审题，然后根据具体的题目选择恰当的做法，而是毫不犹豫地选择坐标法，一味地通过“建系——埋头苦算”的固定方式解决灵活多变的立体几何问题。学生的思维已经趋向僵化，如果不采取有效措施，后果会非常严重。至此，我们可以明确，向量法的提前介入对学生来说并非好事。一方面，由于基础知识的铺垫不够，从而直接影响向量法的后续学习;另一方面，学生过早接触向量法后，面对强大的向量法，艰涩的传统方法必然被学生所抛弃，那么第一阶段的学习成果也就付之东流了。于是乎，向量法成了学生的救命稻草，这也就意味着学生在立体几何学习上开始故步自封了。这样，学生的解题思维也就僵化了。

向量法的教学必须遵循规律，放眼长远，任何短视的行为，最终都要出代价。因此，传授解决立体问题传统方法是：第一阶段，应在高一进行几何法教学。在第一部分的学习中，应该重视基础的几何方法，掌握研究立体几何问题的传统方法，逐步提升学生的空间想象力和推理能力;第二部分主要介绍向量法在立体几何中的应用，一般在高二进行教学。第二阶段，在传统几何方法的基础上，从空间向量入手，引导学生从代数的角度研究几何问题。这样，稳扎稳打，学生做立体题才能灵活选择、运用自如，不留遗憾。

参考文献：

[1]杨建筑.例谈运用空间向量法解立体几何题 [J].中学生数理化，2011（04）.  [2]蒙瑞森浅析用向量法解立体几何问题[J].中学教学参考，2010（20）.