数项级数和的几种求法

林美娟

（金华职业技术学院师范学院，浙江 金华321007）

1 利用数项级数和的定义求和

2 利用幂级数求和

3 利用欧拉公式求和

分析 这是典型的交错级数，此题中的和式并非是n个连续正整数的倒数之和，但是可以转化为奇数项之和（第一部分）减去偶数项的和（第二部分），然后在两部分中都加上，这样就可以用欧拉公式来求极限.

4 利用傅里叶级数求和

可以展成傅里叶级数的函数（逐段光滑）要比可以展成幂级数的函数（存在任意阶导数）广泛得多.在函数的傅里叶级数展开式中给定x的一个值就可以得到某个级数的和.

分析 此题用幂级数也可以求和，如果利用函数f(x)=x2在[-π,π]展成的傅里叶级数，那么解题的过程就比较简捷.

解 因为函数f(x)=x2在[-π,π]展成的傅里叶级数为

以上给出的只是几种常用的数项级数的求法.在具体问题中可以综合运用各种方法，一道题也可以有多种解法.

［1］刘玉琏.数学分析讲义(第五版)[M].高等教育出版社,2008(4).

［2］费定晖,等.数学分析习题集题解[M].山东科学技术出版社,1980(2).