拉盖尔-高斯涡旋光束传播中的相位变化分析

魏 勇，朱艳英

(1.燕山大学理学院，秦皇岛066004;2.燕山大学里仁学院，秦皇岛066004)

引 言

涡旋光束又称作暗中空光束或空心光束，即在传播方向上其中心的光强保持为0［1］。涡旋光束还有其它特殊的光学特性，包括传播过程中光强呈现为环状分布、具有螺旋形的波前结构、长距离传播时稳定性以及中心暗斑尺寸极小，同时涡旋光束本身不仅具有线性动量还携带有轨道角动量以及拓扑荷数［2-4］。它为空间光学通信、微生物科学、数学物理以及光学模拟计算提供了新的研究途径［5-7］。由于涡旋光束中心的光强为0，这就大大减小了光束沿轴向的散射力，所以用涡旋光束代替高斯激光束来囚禁粒子时，在光束的轴心附近几乎没有光透过粒子，这样不仅可以大幅度提高囚禁粒子的效率，还可以降低光束对生物细胞的热损伤［8］。目前，人们研究发现涡旋光束可以作为传输信息的载体［9］，利用涡旋光束在自由空间进行信息的传输已经成为一个新的研究方向。传统光通信编码技术是通过光的偏正态进行计算，而涡旋光束是利用轨道角动量进行。后者相比之下对传输信息的容量［10］实现了极大的提高，并且通过研究表明，根据涡旋光束轨道角动量实现的光学编码技术其保密性更强［11］，进一步分析了拉盖尔-高斯光束在大气湍流中传输时的螺旋谱和系统容量等。可见，涡旋光束在囚禁和操纵微小粒子、量子信息处理等方面都具有巨大的应用前景［12-15］。

长时间以来，关于涡旋光束的传输研究都认为该光束在传输过程中会保持较高的稳定性，其实涡旋光束在传播一段距离后，观察平面上与源平面上的相位分布会出现较大的差异，并且拓扑荷的正负性决定等相位线弯曲的方向，尤其是忽视了对拓扑荷数为分数情况的讨论。本文中主要针对涡旋光束在传输过程中的相位变化进行理论推导，在通过MALAB数值模拟的前提下，分析了涡旋光束在不同观察平面和正负拓扑荷时的相位变化情况，尤其是对整数阶与分数阶相位奇点的稳定性进行了比较，该结论对光信息编码时的远距离传输选择有理论参考价值。

1 涡旋光束的传播理论

沿着z轴传输的高斯光束经过扩束系统射入螺旋相位板后，出射光束就是拉盖尔-高斯涡旋光束［1］。在螺旋相位板出射面z=0处的光场可以表示为:

式中，E0(ρ/σ)是初始强度，σ为光束的光斑尺寸，l为拓扑荷数，可以取整数或者分数，ρ和φ分别表示极径和极角。涡旋光束的波前具有螺旋形相位结构，在源平面处其等相位线呈发散的射线状出射。利用自由空间传输时的菲涅耳衍射公式，传输一定距离后的涡旋光场分布为:

式中，k=2π/λ为波矢的大小。如图1所示，螺旋相位板为源平面(z=0)，其坐标用(x'，y')表示，经螺旋相位板出射的即为涡旋光束，传输一定距离z后规定为光束的观察平面，其坐标为(x，y)。

Fig.1 Structure diagram of Gaussian beam on the source plane and the observation plane

将(1)式进行极坐标-平面坐标变换后代入(2)式中，其光场分布的表达式为:

通过对(3)式进一步处理为:

为深入分析拉盖尔-高斯涡旋光束传输一定距离后的光场分布，通过(4)式做进一步的变化使其与(1)式相似，其变换后的表达式为:

2 相位分布的模拟分析

当涡旋光束传输一定距离z后，由(5)式可以得出，其拓扑荷数并未改变，只是观察平面上的光场相位分布发生变化。(5)式指数函数项中前者表示传输项，后者为光束观察平面上的相位改变。另外，涡旋光束在源平面上(z=0m)的相位分布取决于lθ，即环绕一周其相位变化为2π的l倍，等相位线是由一系列自光束中心发出的沿半径指向的射线［3］所构成。通过对源平面的相位分布进行模拟，这里涡旋光束的波长取为λ=632.8nm，其光斑尺寸为σ=0.5mm。图2所示即为涡旋光束在源平面上的相位分布，取拓扑荷数分别为l=3和l=4。

Fig.2 Phase distribution of vortex beam on the source plane

拉盖尔-高斯涡旋光束传输一定的距离之后，其光场的相位结构分布取决于下面的式子:

式中，C表示常量。

下面对涡旋光束在观察平面上(z为任意值)的相位分布进行模拟分析，其中取光束的传输距离z=1m。如图3所示，即为涡旋光束在观察平面z上的相位分布情况，其中拓扑荷数分别为l=3和l=4，和图2中的拓扑荷保持一致。

Fig.3 Phase distribution of vortex beam on the observed plane when topological charge is positive

通过图2与图3对比发现，对于任意拓扑数l的拉盖尔-高斯涡旋光束，在源平面(z=0m)处的拓扑荷数l与光场的等相位线的周期数取得一致，且在源平面上的等相位线都是从原点发散出的射线。当涡旋光束传输一定距离z后，其观察平面上的等相位线由射线变成了花瓣状的弧线，并且光束的拓扑荷数与等相位线的花瓣数相同，该结果与理论分析完全一致。

下面讨论拓扑荷数与图3相反时拉盖尔-高斯涡旋光束的相位分布，即拓扑荷数分别变为l=－3和l=－4，依然取光束的传输距离为z=1m，结果如图4所示。通过与图3二者进行比较可以得出，两图中的光场相位分布呈明显的镜像对称关系，即拓扑荷数l取正数时，其光束的等相位线为顺时针环绕弯曲方向，而当拓扑荷数l为负值时，光束的等相位线变为逆时针环绕弯曲方向，二者恰好互为反向。

Fig.4 Phase distribution of vortex beam on the observed plane when topological charge is negative

3 相位奇点稳定性的讨论

涡旋光束在传输过程中其中心的光强始终保持为0，则中心处暗核处即为涡旋光束的相位奇点［1］。以前的理论研究得出，相位中心在光束传播过程中能够一直稳定，通过对低阶的涡旋光束进行了实验验证，结果表明，光束在传输过程中其暗中空的特性恒定［3］。上述分析都是针对于光束的拓扑荷数大于1的情况，而对拓扑荷数是分数的情况并没有进行理论和实验上的讨论，其结论并不严密。

涡旋光束在源平面(z=0m)处的光场分布可用(1)式表示，其中拓扑荷数l可以为任意值，可知l取整数或者分数时，在源平面处的中心处光强都为0，即是暗斑，其光斑都为环状。通过对源平面处涡旋光束的光强分布进行数值分析，结果如图5所示，其中图5a和图5b分别为拓扑荷数l取整数和分数时的光强分布模拟图，可以看出二者皆为环状结构，其中心强度为0。

当涡旋光束拓扑荷l取整数时，传输一定距离后在观察平面处的光场分布可用(4)式表示。光场的几何中心(x=0，y=0)处光强仍然保持为0，即为相位奇点的位置。但当拓扑荷数l取分数时，(4)式不再适用于表示观察平面处的光强，通过衍射推导，其光场分布的表达式为:

将(7)式进行坐标转换，其极坐标可以表示为:

由图5a和图5c以及图5b和图5d分别对比可以得出，当涡旋光束的拓扑荷数l取整数时，在观察平面处的光斑会保持一定尺寸的展宽，且光束的相位奇点稳定。而当拓扑荷数l取小于1的分数时，涡旋光束在源平面处光束依然会具有对称性，但在观察平面处的中心光强不为0，中心为暗核的特点消失，即光束的相位奇点不再具有稳定性。

4 结论

对利用螺旋相位板获取涡旋光束在传播过程中的相位演变情况进行了研究。通过理论分析和数值模拟，得出涡旋光束在传输过程中等相位线的花瓣状弧线分布以及分数阶光束相位奇点不稳定的结论。近年来，光信息在自由空间的通信技术发展迅速，而光信息主要是依赖拓扑荷数进行代码的编写［3，9］，因此涡旋光束在这个技术领域可以得到广泛的应用。涡旋光束在传输一定的距离后，拓扑荷为整数阶涡旋光束的相位具有稳定性，因而适合进行光信息的编码。但是，小于1的分数阶光束的相位奇点由于不再具有稳定性，故光束经过长远距离的传输后会导致信息光源很难与探测中心对准，因此，光束经过长远距离的传输后会出现信息失真现象，所以在进行光信息编码时，应尽量避免使用分数阶的涡旋光束。

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