基于中心流形理论的液体火箭POGO振动系统Hopf分岔点特性

陈 杰,方 勃,张业伟

(沈阳航空航天大学 航空航天工程学部(院)，沈阳 110136)



基于中心流形理论的液体火箭POGO振动系统Hopf分岔点特性

陈 杰,方 勃,张业伟

(沈阳航空航天大学 航空航天工程学部(院)，沈阳 110136)

火箭飞行过程中不安定因素主要是液体火箭POGO振动所引起的低频振动，其由火箭纵向结构壳体与液体燃料发生共振所产生的。液体火箭POGO振动其实质就是流固耦合问题,为了解决这一难题同时降低成本，大多数学者采用理论计算与实验模拟相结合的方法。然而，其计算过程的简化过于复杂。通过质量守恒，动量定理以及牛顿第二定律建立了液体火箭POGO振动的非线性动力学模型，利用中心流形理论进行系统降维，并通过附属正规形法获得分岔方程，研究系统Hopf分岔点，得出在泵气蚀刚度系数的某一范围内，分岔参数的幂运算对分岔类型的判断有重要影响，从而为抑制液体火箭POGO振动的发生提供相关理论依据。

中心流形法；液体火箭POGO振动；Hopf分岔；复数正规形；降维

最近几年，我国的航空航天事业有了长足的发展，特别是载人航天技术领域取得了重大成果。然而，液体火箭POGO振动始终是阻碍火箭安全发射的主要因素之一[1]。它不但影响着箭体、运载器以及箭载设备的性能，而且会对宇航员的身体机能产生破坏，甚至影响其生命安全。因此，对火箭POGO振动的研究具有重大的历史意义。为了满足大型火箭的不同发射任务，未来火箭结构将越来越复杂，尺寸越来越大，而且结构的柔性变形也会增大，这无疑增大抑制火箭POGO振动的难度，同时也说明了研究液体火箭POGO振动的必要性。

液体火箭POGO振动在20世纪50年代得到了学者的广泛研究。他们分别从液体火箭POGO振动的数学模型、振动系统稳定性、POGO振动试验及抑制等方面做了详细研究。Holster[2]研究了液体管路系统的频响反应。Li和Xing[3-4]把火箭燃料做为研究对象，分析了火箭发动机脉冲对POGO振动的影响。Archer[5]和Pan[6]对火箭的纵向结构进行了分析。Wang[7-8]和Ma[9]通过相关矩阵特征值求解情况，分析了液体火箭POGO振动的稳定性。根据动力学相关知识，Zhao[10]分析研究了POGO振动的稳定性问题。Nagai[11]和Shupert[12]分别对火箭贮箱和燃烧室进行了相关模拟实验，并得出重要实验数据。Swanson和Giel[13]成功抑制了战神Ⅰ运载火箭POGO问题。Ujino[14]解决了H-Ⅱ火箭热车实验的振动问题。

本文针对火箭燃料液路系统的特性，根据质量守恒，动量定理以及牛顿第二定律建立了液体火箭POGO振动的非线性动力学模型，不同于以往文献中采用离散型傅立叶变化对其进行简化分析[1]，而是首次将中心流形法应用于液体火箭POGO振动的计算中。通过中心流行理论进行系统降维，并通过附属正规形法获得分岔方程，进而通过分岔参数的变化研究系统Hopf分岔点的特性，为更好地解决大型液体火箭POGO振动问题提供理论依据。

1 液体火箭动力学方程及中心流形降维

液体火箭POGO振动也叫做火箭的跷振，是管路推进系统与火箭纵向结构发生的流固耦合问题。火箭的液路部分一般由四部分组成的：贮箱、管路、泵以及燃烧室。如图1所示。通过建立相关各部件的动力学非线性模型，最后组成液体火箭的液路系统，最终与火箭纵向结构耦合，组成最终的动力学非线性模型。

液体火箭非线性动力学模型方程[1,10]

图1 液体火箭液路系统

根据质量守恒、动量定理、牛顿第二定律建立液体火箭液路各个部件的模型。

贮存箱模型

(1)

管路模型

Pg=Pb

(2)

泵模型

燃烧室模型

(4)

(5)

将方程(1)-(5)改写为一阶微分方程形式

(6)

(7)

且

H=P-1BP=

(8)

方程(8)中，μy看作是非线性项。设中心流形为二阶展开式[15，18]，可得

y3=0.6872y1μ+0.9534y2μ+o(2)

y4=0.5483y1μ-0.4139y2μ+o(2)

y5=0.3642y1μ+0.7060y2μ+o(2)

(9)

将方程(9)代入方程(7)中,得到约化方程

(10)

且

(11)

3 Hopf分岔方程

设转化方程(y1,y2)T=Q(μ)(η1,η2)T，其中Q(μ)是C的特征向量组成的矩阵，即：

Q(μ)=I2×2+ο(1)

(12)

在不影响分岔点附近性质的前提下，忽略小量，则约化方程(10)可转换为[15]：

(13)

其中，α(μ)+β(μ)i是矩阵C的两个特征值，且

α(0)=0.4763

β(μ)=0.4825μ-0.336μ2+ο(2)

(14)

令δ=η1+η2i，结合方程(13)可以得到方程[15]

其中,ξij(i+j=3)是μ的复值函数。

利用恒等方程

(16)

将方程(15)转化为

(17)

将λ=reθi代入方程(17)

r′=β(μ)r+α1(μ)r3+ο(3)

(18)

令方程(18)等于零，则得到分岔方程

β(μ)r+α1(μ)r3=0

(19)

且α1(μ)=2.8560-3.5473μ+ο(1)

(20)

4 计算结果分析

当μ=0时，r足够小，r′>0，此时分岔点不是稳定点，同时分岔方程有非零解，且α1(μ)、β(μ)存在异号，因此当火箭的泵气蚀刚度Kb=0.58时，其所对应的分岔点为亚临界。同时增大Kb的值时，同理可以得到相应的分叉方程，得出不同α1(μ)，经分析得出，当α1(μ)含有μ的一次项时，且在相对应的Kb的右侧满足α1(μ)、β(μ)异号，此时的分岔点则为超临界现象，反之，则为亚临界。当α1(μ)不含有μ的一次项时，则此时的分岔点既是超临界又是亚临界。此理论可以由等效线性化法和增量谐波平衡法得以验证[15]。

当减少适当范围内减少泵气蚀刚度系数Kb的值，做出约化方程(10)的随着分叉参数μ的相图，如图2所示。有图2 (a)、(b)和(c)可知，随着分叉参数μ的变化，相轨迹图始终收敛，即趋于稳定。由此可知，火箭液体燃料系统中泵的气蚀刚度控制在这个范围内，可以抑制液体火箭发生POGO振动。

5 结论

本文针对火箭POGO振动对火箭安全发射的不利影响，根据质量守恒、动量守恒以及牛顿第二定律等原理，建立了液体火箭POGO振动的非线性动力学模型。通过中心流形法与复数正规形法的应用，对液体火箭POGO振动的非线性系统进行化简，进一步得到液体火箭POGO振动非线性动力学模型的分岔方程。通过相应的计算分析以及相关相图可得出以下结论：

(1)当泵气蚀刚度系数Kb大于0.58时，液体火箭POGO振动Hopf分岔点跟分岔参数μ的一次项有关。如果得到相对应的分岔方程的参数β(μ)含有一次项，则分岔点为超临界亦或是亚临界。当β(μ)不含有一次项时，则分岔点既是超临界又是亚临界。

(2)在泵气蚀刚度系数Kb在适当小于0.58范围时，则通过火箭纵向壳体与火箭燃料液路系统将不会反生耦合现象。即在此范围内，可以有效抑制火箭POGO振动的发生。

图2 箭体结构与燃料液路系统耦合相轨迹随着分叉参数变化关系图

[1]唐冶.液体火箭POGO振动系统的动力学行为研究[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学,2014.

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[3]李斌，杜大华，张贵田，等.液氧/煤油补燃发动机低频频率特性研究[J].航空动力学报，2009，24(5)：1187-1191.

[4]邢理想，杜大华，李斌.液氧/煤油补燃火箭发动机氧路低频动特性分析[J].火箭推进，2009，35(5)：24-28.

[5]Archer J S,Rubin C P.Improved analytic longitudinal response analysis for axisymmetric launch vehicles[R].NASA CR-345,1965.

[6]Pan Z W,Xing Y F,Zhu L W,et al.Liquid propellant analogy technique in dynamic modeling of launch vehicle[J].Science China:Technological Sciences,2010,53(8):2102-2110.

[7]王其政，张建华，马道远.捆绑液体火箭跷振(POGO)稳定性分析[J].强度与环境，2006，33(2)：6-11.

[8]王其政，高万镛，顾永春，等.跷振(POGO)稳定性可靠性算法与参数分析[J].宇航学报，1986，(2)：29-47.

[9]马道远，王其政，荣克林.液体捆绑火箭POGO稳定性分析的闭环传递函数法[J].强度与环境，2010，37(1)：21-27.

[10]赵治华.液体火箭POGO振动的多体动力学建模及稳定性分析[D].北京：清华大学博士学位论文，2011.

[11]Nagai H,Noda K,Yamazaki I,et al.Status of H-Ⅱ rocket first stage propulsion system[J].Journal of Propulsion and Power,1992,8(2):313-319.

[12]Shupert T C,Ward T L.Turbopump transient response test facility and program[J].Journal of Spacecraft and Rockets,1965(2):177-183.

[13]Swanson L A,Giel T V.Design analysis of the Ares POGO accumulator[C].40th AIAA/ASME/SAE/ASEE Joint Propulsion Conference and Exhibit，Denver:Colorado，2009:1-12.

[14]Ujino T.POGO Prevention of H-Ⅱ launch vehicle[J].AIAA Paper，1994,94-1624-CP:2858-2867.

[15]陈衍茂，刘济科.非线性颤振系统中既是超临界又是亚临界的Hopf分岔点研究[J].应用数序和力学，2008，29(2)：181-187.

[16]陈衍茂，刘济科.非线性颤振极限环稳定性判别的复数正规形法[J].航空动力学报，2007，22(4)：164-168.

[17]严海，方勃，黄文虎.液体火箭的POGO振动研究与参数分析[J].导弹与航天运载技术，2009，304(6)：35-40.

[18]刘延柱，陈立群.非线性振动[M].北京：高等教育出版社，2001：205-207.

(责任编辑：宋丽萍 英文审校：刘飞)

Hopf bifurcation point in pogo vibration system for liquid rocket based on center manifold theory

CHEN Jie,FANG Bo,ZHANG Ye-wei

(Faculty of Aerospace Engineering,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China)

In the process of rocket flying,the low-frequency POGO vibration constitutes a major influencing factor on rocket stability,which is triggered by resonance of longitudinal shell and liquid fuel.Solid-liquid interaction is the essence of POGO vibration of liquid rocket.To address the problem and reduce cost,most scholars generally adopt the method that combines theoretical calculation with experimental simulation.However,the computational method is too complicated to be practical.In the paper,a nonlinear dynamical model for POGO vibration of liquid rocket is built based on law of conservation of mass,theorem of momentum and Newton second law;dimensionality is reduced by employment of centre manifold theory;bifurcation equation is obtained by plural normal form.It is found that in certain range of the stiffness coefficient of pump cavitation,power method for the bifurcation parameters is of great importance in determining bifurcation style.Thus the paper attempts to construct theoretical framework for the rocket POGO vibration control.

center manifold theory;the POGO vibration of liquid rocket;Hopf bifurcation;plural normal form;reduce dimensions

2095-1248(2015)06-0034-05

2015-07-08

国家自然科学基金(项目编号：11402151)，辽宁省自然科学基金(项目编号：2013024005)

陈杰(1989-)，男，山西长治人，硕士研究生，主要研究方向：空间飞行器动力学与控制，E-mail：ZIDANE0901034211@163.com;方勃(1964-)男，辽宁沈阳人，教授，主要研究方向：非线性动力学与结构振动，E-mail：bfang0825@163.com。

V434

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2015.06.003