解三角形

本节为高考的必考和重点考查内容，在选择题、填空题和解答题中都有出现，并越来越成为三角函数部分的核心考点. 题型有：（1）解三角形出现边角互化，求角、求边；（2）三角形形状判定；（3）最值问题. 题型和分值较稳定，且有逐渐上升趋势，属中等难度.

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

抓住正弦、余弦定理对边角进行转化，使“力量”合一，再结合三角恒等变形公式化简求解. 有时与向量结合在一起，试题突出向量的工具作用，体现了在知识交汇点处命题的指导思想，此类问题在求解时，首先利用向量的坐标运算，将向量式转化为代数式，依代数式的形式进行三角变换.

例1 在△ABC中，bc=b2-a2，且B-A=80°，则内角C的余弦值为（ ）

A. 1 B. C. D.

破解思路 先利用余弦定理把bc=b2-a2化为角的等式，再利用三角形三内角和为π，结合和差角公式变形出A-B，利用B-A=80°，求出B，A两角，最后求出C角.

答案详解 由bc=b2-a2可得cosA= = + ，2bcosA=b+c，2sinB·cosA=sinB+sinC，可得2sinB·cosA=sinB+sinAcosB+cosAsinB，故sin（B-A）=sinB. 所以（B-A）+B=180°，可得B=100°，A=20°，可知C=60°，cosC= .

例2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 · = · =1.

（1）求证：A=B；

（2）求边长c的值；

（3）若 + = ，求△ABC的面积.

破解思路 直接把向量等式“翻译”为三角形中边角关系即可解决（1）（2）. （3）中 + 为？荀ABDC对角线AD长，由平行四边形对角线性质可求出AC=BC.

答案详解 （1）利用数量积定义，bccosA=accosB=1？圯 = = ？圯tanA=tanB？圯A=B.

（2）如图5所示，取等腰三角形AB边上的中线（即高线CM，则AM=bcosA= . · =cbcosA=c· =1，故c= ；或AM= 是 在 方向上的投影，由向量数量积的几何意义可知 · = = c2=1，故c= .

图5

（3）如图5所示，在？荀ABDC中， + = = ， 在△ABD中，BD=a=b，AD2=c2+a2-2accos（π-A）.

在△ABC中，BC2=b2+c2-2bccosA，

6=c2+a2+2accosA①，a2=b2+c2-2bccosA②.

由①+②得a2+6=2c2+2a2？圯a2=6-2c2=2，a= ，即a=b=c= ，在等边△ABC中，S△ABC= absinC= × × × = .

1. 在△ABC中，若∠A=120°，c=5，△ABC的面积为5 ，则a=________.

2. 在△ABC中，已知 · =2，S△ABC=2.

（1）求tanA的值；

（2）若sinB=2cosAsinC，求BC的长.endprint