基于范成原理的CTC谐波齿轮传动柔轮齿廓的参数化设计与仿真*

2015-04-16 07:41许建刚

机械制造 2015年6期

□ 许建刚 □ 祖莉

南京理工大学机械工程学院南京 210094

1 概述

谐波齿轮传动是利用机械波控制柔性齿轮的弹性变形来实现传递运动和动力的，属于柔性传动方式，在火箭、导弹、智能弹药等航空航天和军事领域中的应用越来越多。谐波齿轮传动的主要构件有3个：刚轮、柔轮和波发生器。谐波齿轮传动的特点是：传动比范围大；承载能力大，运动精度高；运动平稳，传动效率高并能在密闭空间和介质辐射的工况下正常工作［1］。目前影响谐波传动的承载能力、传动精度、运行寿命在很大程度上取决于啮合齿廓，现有商品化的谐波传动产品多采用三角形柔轮齿廓或渐开线柔轮齿廓，两种齿形具有共同的缺点，即：齿根部易疲劳断裂，重载传动时柔轮会发生畸变，严重制约了它的承载能力。

为了提高谐波传动的承载能力，国内外学者都在研究高承载的啮合齿廓，先后出现了圆弧齿廓、摆线齿廓等。近年来日本学者S.Ishikawa提出了“S齿形”,从理论和实践上均证明其在改善啮合特性、提高额定载荷等方面明显优于传统的齿形。S齿形新型谐波传动已被欧、美、日谐波传动制造商所采用，但是当柔轮齿数较少时，S齿形误差就会增大，并且S齿形谐波传动需要专用刀具进行加工，成本提高。目前我国很多研究人员也在研究双圆弧齿形，在谐波齿轮传动中采用圆弧齿廓，不但工艺上易于实现，而且可以有效地改善柔轮齿根的应力状况和传动的啮合质量，提高承载能力和扭转刚度。在国内，辛洪兵等人［2］是较早开始研究圆弧齿廓谐波齿轮传动理论的，提出了谐波齿轮传动不变啮合矩阵，用数值方法证明了谐波齿轮传动采用圆弧齿廓的合理性，为进一步研究圆弧齿廓在谐波齿轮传动中的应用奠定了理论基础。辛洪兵计算出柔轮采用圆弧齿廓时，刚轮与之共扼的理论齿廓，通过用啮合圆弧对其进行逼近，得到了啮合误差的变化规律。曾世强等［3］对双圆弧齿形谐波齿轮传动进行了运动特性分析，计算了双圆弧谐波齿轮传动的啮合弧长与侧隙，从理论上论证了双圆弧齿形良好的工作性能。目前，我国的技术研究人员正致力于开发提高谐波齿轮传动啮合刚度、承载能力和传动寿命的圆弧齿廓谐波齿轮传动技术，并且已经取得了前期理论研究成果［4］。

▲图1 滚刀的基准齿形

笔者在充分应用谐波齿轮传动研究成果的基础上，结合S齿形啮合优点，提出了综合啮合性能更优的圆弧-渐开线-圆弧（CTC）齿形新型谐波传动，这种齿形不但在工艺上易于实现，而且齿槽较宽，能有效地改善柔轮齿根的应力状况，减小了应力集中。利用柔轮的柔性补偿性消除边缘接触，重载传动下的柔轮不易发生畸变，其楔形侧隙更有利于油膜形成，大大改善了啮合质量，提高了承载能力和扭转刚度。圆弧-渐开线-圆弧齿形谐波传动特别适用于空间飞行器、运载工具、卫星系统、制导武器等伺服传动系统，它将为我国飞行器伺服传动系统的小型化、轻量化提供可靠的技术保障。

本文主要是基于范成原理，利用MATLAB软件对CTC齿形谐波传动的柔轮齿廓进行参数化设计及仿真。首先按照给定的柔轮齿廓参数，计算出加工该柔轮的滚刀基准齿形，其次基于范成原理，计算出柔轮齿廓，并利用MATLAB软件实现以上功能的仿真。

2 设计滚刀的基准齿形

2.1 滚刀的基准齿形

滚刀的基准齿形是指与所设计的柔轮相共轭的基本齿条的法面齿形。本文所研究的基准齿形为圆弧-渐开线-圆弧新齿形的柔轮，与其共轭的刀具，其基准齿形为圆弧-直线-圆弧，如图1所示。图中：m为模数；ha*为待加工柔轮齿顶高系数；hf*为待加工柔轮齿根高系数；c*为待加工柔轮顶隙系数；α为待加工柔轮压力角；Ra为刀具凹齿齿廓圆弧半径；Rb为刀具凸齿齿廓圆弧半径；xa为刀具凹齿齿廓圆弧中心横坐标；ya为刀具凹齿齿廓圆弧中心纵坐标；xb为刀具凸齿齿廓圆弧中心横坐标；yb为刀具凸齿齿廓圆弧中心纵坐标；x3为刀具凹齿齿廓圆弧段与中间直线段的切点横坐标；x4为刀具凸齿齿廓圆弧段与中间直线段的切点横坐标；x5为刀具凹齿齿廓圆弧段与齿根线的交点横坐标；x6为刀具凸齿齿廓圆弧段与齿顶线的交点横坐标；L1、L2、L3、L4、L5、L6分别表示图1中的6条直线。

坐标系｛XOY｝的X轴与刀具的中线重合，Y轴与齿廓的对称线重合。图1中的基准齿形的设计过程为：

（1）建立坐标系｛XOY｝，在坐标系中画出如下直线：

（2）过点（1/4πm，0）画一条直线 L1与 X 轴的夹角为π/2+α，通过Y轴以及直线x=1/2πm的镜像分别得到其对称直线 L2和 L3，再过点（1/4πm，0）画一条直线L4与X轴的夹角为α。

（3）作直线L4的双向等距平行线L5和L6，使L5通过点（-1/4πM，-hf*M），则 L5与 L3交于点 b，L6与 L2交于点a。

（4）以点a为圆心，点a到直线L1的距离为半径画圆弧a′。同理，以点b为圆心，点b到直线L1的距离为半径画圆弧b′。

（5）在区间［0，1/2πm］内修剪掉多余曲线，得到如图1所示的半个齿廓，再通过镜像得到一个全齿廓。基准齿形设计完成。

2.2 滚刀基准齿形方程的建立

刀具齿根直线方程：

刀具齿根圆弧段方程：

刀具中间直线段方程：

刀具齿顶圆弧段方程：

刀具齿顶直线方程：

图 1 中，x3、x4、x5、x6、Ra、xa、ya以及 Rb、xb、yb的求解方法如下。

方程组：

式（14）的解x记为x4，由对称性可知：

方程组：

式（16）的解（x，y）记为（xa，ya）；则：

方程组：

式（18）的解（x，y）记为（xb，yb）；则：

方程组：

式（20）的解 x 记为 x5。

方程组：

式（21）的解 x 记为 x6。

因此，基准齿形的半个齿廓方程分段表示为：

整个齿形可由函数的对称性和周期性得到。

3 基于范成原理的柔轮齿形设计

▲图2 柔轮齿廓范成坐标转换

范成法加工齿轮是利用一对齿轮互相啮合时，以其齿廓互为包络线的原理来加工齿轮的一种方法。在用范成法加工齿轮时，滚齿刀作切削运动，同时又和轮坯作范成运动，相当于齿条和齿轮的啮合运动。在整个加工过程中，齿轮轮坯的节圆与齿条的节线相切，并始终作纯滚动，即齿条节线在齿轮节圆上滚过的长度等于齿轮节圆上被滚过的圆弧长度，齿条齿廓的运动轨迹形成的包络线即为齿轮齿廓［5］。根据相对运动原理，可以假设齿轮固定不动，那么范成运动就可以看成是齿条以一定角速度ω绕齿轮圆心O的转动和以一定速度v沿其节线方向移动的合成。因此，建立两个坐标系分别与齿条和轮坯相对固定，两个坐标系运动关系由范成运动确定，如图2所示。

图2中，圆弧表示待加工柔轮的分度圆（即节圆）圆弧，R2表示轮坯的分度圆半径，以柔轮轮坯中心A为原点，X2轴与轮坯水平直径重合，Y2轴与轮坯竖直直径重合，建立固定坐标系｛X2AY2｝；坐标系｛X1BY1｝为沿着轮坯分度圆作纯滚动的运动坐标系，起始位置是原点B，为Y2轴与轮坯分度圆的交点，X1轴与X2轴平行，Y1轴与Y2重合；φ表示柔轮轮坯转过的角度。

笔者研究的柔轮是标准齿轮，于是刀具的节线即为刀具的中线，因此在研究范成加工时刀具与动坐标系｛X1BY1｝相对固定，且中线与X1轴重合；齿轮轮坯与固定坐标系｛X2AY2｝固联，轮坯中心与原点A重合，则刀具与轮坯的范成运动就转化为动坐标系｛X1BY1｝绕固定坐标系｛X2AY2｝作纯滚动。因此把刀具齿廓坐标转换到固定坐标系中，就可以得到由刀具齿廓包络而成的柔轮齿廓。

动坐标系原点 B（Bx，By）的位置方程为：