因子vonNeumann代数上的非线性(m,n)导子

费秀海,张建华,王中华

(陕西师范大学 数学与信息科学学院,西安 710062)



因子vonNeumann代数上的非线性(m,n)导子

费秀海,张建华,王中华

(陕西师范大学 数学与信息科学学院,西安 710062)

设m和n是任意固定的非零整数,且(m+n)(m-n)≠0,M是一个因子von Neumann代数,δ是M上的一个映射(没有可加性或连续性假设).用矩阵分块方法证明了:若对任意的A,B∈M,有mδ(AB)+nδ(BA)=mδ(A)B+mAδ(B)+nδ(B)A+nBδ(A),则δ是一个可加导子.

因子von Neumann代数;(m,n)导子;(m,n)Jordan导子;导子;内导子

0 预备知识

设δ是有单位元的环R上有单位元代数A的一个线性映射,m和n是任意固定的整数,若对任意的A,B∈A,有δ(AB)=δ(A)B+Aδ(B),则称δ是导子;若对任意的A∈A,有δ(A)=AA0-A0A(其中A0∈A ),则称δ是内导子;若对任意的A∈A,有δ(A2)=δ(A)A+Aδ(A),则称δ是Jordan导子;若对任意的A,B∈A,有δ[A,B]=[δ(A),B]+[A,δ(B)],则称δ是Lie导子(其中[A,B]=AB-BA表示A与B的Lie积);若对任意的A,B∈A,有

(1)

则称δ是(m,n)导子;若对任意的A∈A且m+n≠0,有(m+n)δ(A2)=2mδ(A)A+2nAδ(A),则称δ是(m,n)Jordan导子.显然,(1,-1)导子是Lie导子,(1,0)导子和(0,1)导子都是导子,2-无挠代数上(1,1)导子是Jordan导子.

近年来,关于环(或代数)上使得满足某种条件的可加或线性映射成为导子和Jordan导子的研究已取得了许多结果[1-13].Herstein[1]证明了特征不为2的素环上的Jordan导子是导子;Brešar等[2]对该结论做了进一步刻画并给出了更简明的证法;Cusack[3]把该结论推广到半素环上;文献[4-5]证明了von Neumann 代数上的导子是内导子;文献[6-8]分别证明了von Neumann代数M到其对偶M*的导子是内导子,von Neumann代数上的Jordan导子是内导子,B(H)上的I点Jordan可导映射是内导子;文献[9]定义了(m,n)Jordan导子,并证明了2mn(m+n)|m-n|-无挠素环上的(m,n)Jordan导子是导子;文献[10]根据m和n的不同取值,证明了在广义矩阵代数上零点或幂等元处(m,n)可导映射是导子、Jordan导子或Lie导子.本文证明因子von Neumann代数M上的(m,n)可导映射(没有可加性或连续性假设)是一个可加导子.

设H是数域C上的Hilbert空间,B(H )是H上的全体有界线性算子,M是作用在H上的von Neumann代数,I是B(H )内的单位算子,Z是M的中心.若Z=M∩M′=CI, 则称M是一个因子von Neumann代数,因子von Neumann代数M为素代数是指对任意的算子A,B∈M,如果AMB={0}蕴含算子A=0或B=0.

设P1是M内的一个非平凡投影,令P2=I -P1,则可加M分解为

M=P1MP1+P1MP2+P2MP1+P2MP2=M11+M12+M21+M22.

从而对任意的算子A∈M,可将A分解成A=A11+A12+A21+A22,其中Aij∈Mij,1≤i,j≤2.

引理1δ(0)=0,δ(Pi)=P1δ(Pi)P2+P2δ(Pi)P1(i=1,2).

证明:因为

mδ(0)+nδ(0)=mδ(0)0+m0δ(0)+nδ(0)0+n0δ(0)=0,

所以(m+n)δ(0)=0,从而δ(0)=0.又由于PiPi=Pi(i=1,2),从而有

(2)

在式(2)两边分别乘以Pj(j=1,2),得Pjδ(Pi)Pj=0(i,j=1,2),从而δ(Pi)=P1δ(Pi)P2+P2δ(Pi)P1(i=1,2).证毕.

设T0=P1δ(P1)P2-P2δ(P1)P1.对任意的算子A∈M,定义映射Φ(A)=δ(A)-[A,T0],则容易验证Φ也是因子von Neumann代数M上的一个(m,n)可导映射,且Φ(P1)=0=Φ(P2).

引理2Φ(Mij)⊆Mij(1≤i,j≤2).

证明:对任意的Aii∈Mii(i=1,2),有

(3)

在式(3)两边分别乘以Pj(j=1,2)且j≠i,得(m+n)PjΦ(Aii)Pj=0(1≤i≠j≤2),从而PjΦ(Aii)Pj=0(1≤i≠j≤2).在式(3)左边乘以Pi、右边乘以Pj(i≠j),得nPiΦ(Aii)Pj=0(1≤i≠j≤2),从而PiΦ(Aii)Pj=0(1≤i≠j≤2).在式(3)左边乘以Pj(i≠j)、右边乘以Pi,得mPjΦ(Aii)Pi=0(1≤i≠j≤2),从而PjΦ(Aii)Pi=0(1≤i≠j≤2).所以Φ(Mii)⊆Mii(i=1,2).

对任意的Aij∈Mij(1≤i≠j≤2),有

(4)

在式(4)两边分别乘以Pi和Pj(j≠i),可得nPiΦ(Aij)Pi=0,mPjΦ(Aij)Pj=0,从而PiΦ(Aij)Pi=PjΦ(Aij)Pj=0(1≤i≠j≤2).在式(4)左边乘以Pj(j≠i)、右边乘以Pi,得(m-n)PjΦ(Aij)Pi=0(1≤i≠j≤2),从而PjΦ(Aij)Pi=0(1≤i≠j≤2).所以Φ(Mij)⊆Mij(1≤i≠j≤2).证毕.

引理3对任意的Aii∈Mii,Aij∈Mij(1≤i≠j≤2),有:

1)Φ(AiiAij)=Φ(Aii)Aij+AiiΦ(Aij);2)Φ(AijAjj)=Φ(Aij)Ajj+AijΦ(Ajj).

证明:对任意的Aii∈Mii,Aij∈Mij(1≤i≠j≤2),由引理2有

(5)

由式(5)可得m(Φ(AiiAij)-Φ(Aii)Aij-AiiΦ(Aij))=0,从而有Φ(AiiAij)=Φ(Aii)Aij+AiiΦ(Aij).类似地,可以证明2)成立.证毕.

引理4对任意的Aii∈Mii,Aij∈Mij,Aji∈Mji(1≤i≠j≤2),有:

1)Φ(Aii+Aij)=Φ(Aii)+Φ(Aij);2)Φ(Aii+Aji)=Φ(Aii)+Φ(Aji).

证明:对任意的Aii∈Mii,Aij∈Mij(1≤i≠j≤2),有

(6)

在式(6)两边分别乘以Pi和Pj(j≠i),由引理2可得nPiΦ(Aii+Aij)Pi=nΦ(Aii),mPjΦ(Aii+Aij)Pj=0.从而有

PiΦ(Aii+Aij)Pi=Φ(Aii),PjΦ(Aii+Aij)Pj=0, 1≤i≠j≤2.

在式(6)左边乘以Pj(j≠i)、右边乘以Pi,由引理2可得(m-n)PjΦ(Aii+Aij)Pi=0,从而有

PjΦ(Aii+Aij)Pi=0 (1≤i≠j≤2).

下证PiΦ(Aii+Aij)Pj=Φ(Aij)(1≤i≠j≤2).由于有

(7)

在式(7)左边乘以Pi、右边乘以Pj(j≠i),由引理2可得nΦ(Aij)=nPiΦ(Aii+Aij)Pj,从而Φ(Aij)=PiΦ(Aii+Aij)Pj(1≤i≠j≤2).所以Φ(Aii+Aij)=Φ(Aii)+Φ(Aij)(1≤i≠j≤2).类似地,可以证明2)成立.证毕.

引理5对任意的Aii,Bii∈Mii,Aij,Bij∈Mij,Aji∈Mji(1≤i≠j≤2),有:

1)Φ(Aij+Bij)=Φ(Aij)+Φ(Bij);2)Φ(Aii+Bii)=Φ(Aii)+Φ(Bii);3)Φ(Aij+Aji)=Φ(Aij)+Φ(Aji).

证明:对任意的Aij,Bij∈Mij(1≤i≠j≤2),由于Aij+Bij=(Pi+Aij)(Pj+Bij),且(Pj+Bij)(Pi+Aij)=0,因此由引理2和引理4有

从而有Φ(Aij+Bij)=Φ(Aij)+Φ(Bij).

对任意的Aii,Bii∈Mii,Aij∈Mij(1≤i≠j≤2),一方面,由引理3中1)有

(8)

另一方面,由引理5中1)和引理3中1)有

(9)

比较式(8),(9)得(Φ(Aii+Bii)-Φ(Aii)-Φ(Bii))Aij=0,从而

(Φ(Aii+Bii)-Φ(Aii)-Φ(Bii))Mij=0.

由于M是素代数,所以有Φ(Aii+Bii)=Φ(Aii)+Φ(Bii).

对任意的Aij∈Mij,Aji∈Mji(1≤i≠j≤2),由于

(10)

在式(10)两边乘以Pi(i=1,2),由引理2可得PiΦ(Aij+Aji)Pi=0(i=1,2).在式(10)左边乘Pi、右边乘以Pj(j≠i),可得PiΦ(Aij+Aji)Pj=Φ(Aij).在式(10)左边乘以Pj(j≠i)、右边乘以Pi,可得PjΦ(Aij+Aji)Pi=Φ(Aji).从而有Φ(Aij+Aji)=Φ(Aij)+Φ(Aji)(1≤i≠j≤2).证毕.

引理6对任意的A11∈M11,A12∈M12,A21∈M21,A22∈M22,有

Φ(A11+A12+A21+A22)=Φ(A11)+Φ(A12)+Φ(A21)+Φ(A22).

证明:对任意的A11∈M11,A12∈M12,A21∈M21,A22∈M22,由引理2和引理4有

(11)

在式(11)左边乘以P1、右边乘以P2,得mP1Φ(A12)P2=mP1Φ(A11+A12+A21+A22)P2,从而得

Φ(A12)=P1Φ(A11+A12+A21+A22)P2.

在式(11)两边同时乘以P1,得

(m+n)P1Φ(A11)P1=(m+n)P1Φ(A11+A12+A21+A22)P1,

从而可得

Φ(A11)=P1Φ(A11+A12+A21+A22)P1.

类似地,可以证明

Φ(A21)=P2Φ(A11+A12+A21+A22)P1,Φ(A22)=P2Φ(A11+A12+A21+A22)P2,

从而有Φ(A11+A12+A21+A22)=Φ(A11)+Φ(A12)+Φ(A21)+Φ(A22).证毕.

引理7对任意的Aii,Bii∈Mii,Aij∈Mij,Aji∈Mji(1≤i≠j≤2),有:

1)Φ(AiiBii)=Φ(Aii)Bii+AiiΦ(Bii);2)Φ(AijAji)=Φ(Aij)Aji+AijΦ(Aji).

证明:对任意的Aii,Bii∈Mii,Aij∈Mij(1≤i≠j≤2),由引理3中1),一方面,

(12)

另一方面,

(13)

比较式(12),(13)得(Φ(AiiBii)-Φ(Aii)Bii-AiiΦ(Bii))Aij=0,从而

(Φ(AiiBii)-Φ(Aii)Bii-AiiΦ(Bii))Mij=0,

由于M是素代数,所以有Φ(AiiBii)=Φ(Aii)Bii+AiiΦ(Bii).

对任意的Aij∈Mij,Aji∈Mji(1≤i≠j≤2),由于

(Aij-AijAji)(Aji+Pi)=0, (Aji+Pi)(Aij-AijAji)=AjiAij-AjiAijAji+Aij-AijAji,

从而由引理2、引理3和引理6可知:一方面,

(14)

另一方面,

(15)

比较式(14),(15)可得

(16)

在式(16)两边乘以Pi(i≠j),可得Φ(AijAji)=Φ(Aij)Aji+AijΦ(Aji).证毕.

定理1设m和n是任意固定的非零整数,且(m+n)(m-n)≠0,M是一个因子von Neumann代数,δ是M上的一个映射(没有可加性或连续性的假设),若对任意的算子A,B∈M都有式(1),则δ是一个可加导子.

证明:对任意的算子A,B∈M,设A=A11+A12+A21+A22,B=B11+B12+B21+B22,由引理4～引理6可得

即Φ是可加的.又由引理2、引理3、引理6和引理7可得

从而Φ是一个可加导子.由于Φ(A)=δ(A)-[A,T0],∀A∈M,因此可得δ(A)=Φ(A)+[A,T0](∀A∈M )是因子von Neumann代数M上的一个可加导子.证毕.

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[2] Brešar M,Vukman J.Jordan Derivations on Prime Rings [J].Bull Austral Math Soc,1988,37:321-322.

[3] Cusack J M.Jordan Derivations on Rings [J].Proc Amer Math Soc,1975,53(2):321-324.

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(责任编辑：赵立芹)

Nonlinear(m,n)DerivationsonFactorvonNeumannAlgebras

FEI Xiuhai,ZHANG Jianhua,WANG Zhonghua

(CollegeofMathematicsandInformationScience,ShaanxiNormalUniversity,Xi’an710062,China)

Letm,nbe non-zero integers with (m+n)(m-n)≠0,M be a factor von Neumann algebra andδbe a mapping from M into itself (without assumption of additivity or continuity),we can show that ifδsatisfiesmδ(AB)+nδ(BA)=mδ(A)B+mAδ(B)+nδ(B)A+nBδ(A)for allA,B∈M,thenδis an additive derivation using the method of decomposing matrix.

factor von Neumann algebras;(m,n)derivations;(m,n)Jordan derivations;derivations;inner derivations

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.14

2014-10-21.< class="emphasis_bold">网络出版时间

时间:2015-05-05.

费秀海(1980—),男,白族,博士研究生,讲师,从事算子理论与算子代数的研究,E-mail:xiuhaifei@snnu.edu.cn.通信作者:张建华(1965—),男,汉族,博士,教授,博士生导师,从事算子理论与算子代数的研究,E-mail:jhzhang@snnu.edu.cn.

国家自然科学基金(批准号:11371233;11471199)和教育部博士学科点专项科研基金(批准号:20110202110002).

http://www.cnki.net/kcms/detail/22.1340.O.20150505.1124.001.html.

O177.1

：A

：1671-5489(2015)03-0424-05