数感，不仅仅是“感觉”

【摘要】数感是一种基本的数学素养。它不仅仅是人对数字的一种感觉，还包含着人对数与数之间关联的意识以及能动而灵活地运用数学知识解决问题的能力。让学生目中有“数”，理解数与数量的意义;让学生心中有“数”，学会数学地思考现实问题;让学生用中有“数”，在灵活的运算中丰富认知经验，是培养小学生数感的有效方法与路径。

【关键词】数感;数学素养;理解;思考;运算

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6009（2015）25-0052-02

【作者简介】刘玮，江苏省无锡市立人小学（江苏无锡，214161）校长，高级教师，江苏省数学特级教师，江苏省人民政府教育督导团专家组成员。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“新课标”）将数感列为核心概念，并强调“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想”。但在小学数学教学中，经常会听到一线教师问：“什么是数感？怎么培养学生的数感？”由此可以看出，课程改革以来，一直作为数学核心概念的数感并没有真正地落实到教学实践中。我们亟待厘清数感的真实意蕴及其内涵，并在此基础上找寻科学而恰当地培养学生数感的路径与方法。

问题1：数感仅仅是一种感觉吗？

回顾我国一些学者或数学工作者对数感的认识，大体有如下几种倾向性的理解：一是窄化的理解，他们认为“数感就是数字感”;二是泛化的理解，其代表观点是“数感是学生对数学的一种敏感性的理解”;三是浅表化的理解，持此观点的人认为“数感是学生对数学的感觉、感情与感悟”。窄化的数感观把数感局限于“人脑对于数字或数字运算的直觉”;泛化的数感观无原则地放大了数感的意蕴与内涵;浅表化的数感观则割裂了人们对于数感的感性认识与理性认识之间的联系。关于数感的意蕴，徐文彬、喻平曾在《“数感”及其形成与发展》一文中指出：“数感是对数字关系和数字模式的意识，以及运用这种意识灵活地解决数字问题的能力。”

笔者认为，数感是一种基本的数学素养，是作为个体的人对数字或数字运算之间关联的积极意识以及能动、灵活而快速地运用数字及数学知识解决问题的能力。数感不仅含有感知的过程，还包孕着思维的过程。其外在表征为自主、自觉和自动地亲近数、理解数，并运用数的意义和运算方法去认识、解释现实世界。

问题2：培养学生的数感，路在何方？

尽管新课标已经明确指出，数感主要包括三个方面的内容，即数与数量、数量关系、数的运算和估计，但对数感的概念表述比较模糊，小学数学关于数感的教学还存在着严重的异化与偏差。数感被减缩为量感的教学、大量的重复训练得来的“似曾相识”、局限于数学本身深度挖掘等现象不同程度地存在着，对小学生数感的培养尚缺乏明确的方法和有效的路径。培养小学生的数感，路在何方？

1.让学生目中有“数”，注重数、数量与现实生活关联的意义理解。

学生对数、数量意义的理解是他们建立数感的基础，数、数量概念建立的过程其实是数学模型建立的过程。学生理解数、数量的标志是他们能把这些数的概念与它们所表示的实际意义建立联系，即建立数的概念与现实生活的关联。因此，在带领学生认识“数”时，我们应该把数与现实生活紧密联系起来，让学生在现实生活中理解数和数量。如在引导学生认识“0”时，教师可以首先让学生找一找生活中的“0”。

生1：“0”在牛奶瓶子上。我们的牛奶喝完了，刻度就到了“0”，“0”就表示没有。

生2：在我的直尺上有“0”。

师：直尺上的“0”表示测量的起点。

生3：老师，电话号码中有“0”。

生4：我们家墙上挂的温度计上有“0”。

师（适时出示温度计）：温度计上的“0”表示温度的分界点。

这样的教学，真实地呈现现实生活中的“数”，学生感受到了“0”的存在，并在具体事物和现实中理解了“0”的不同意义。

2.让学生心中有“数”，建立数学地思考现实问题的心理镜像。

学会数学地思考是数学教学的目标，也是培养和提高学生的数感的有效策略。数学地思考就是要在教学中让学生形成数学化和抽象化的数学观点，并能运用数学知识猜想、解释和解决现实问题。简言之，就是要让学生在现实生活中做到心中有“数”。心中有“数”主要体现在三个方面：（1）对数和数量有倾向性的情感体验。如认识人民币编号、汽车号牌、身份证号码、电话号码、工资收入与支出、GDP等统计数字。（2）知道数、数量的大小意蕴。如估计学校的操场能容纳多少人、1根头发有多重、1把黄豆有多少粒等。（3）运用数据解释现实生活。如见到城区春节期间道路堵塞时，会留心十分钟时间内的车流量，并分析城区道路的宽度及道路条数的合理化设置;某次考试成绩公布时，自然会想到平均分、众数;等等。

3.让学生用中有“数”，在灵活的运算中丰富学生对不同思维方法的认知体验。

首先，要鼓励学生用不同的方法。教学“乘加乘减”时，教师先出示“五个鱼缸分别有5条、5条、5条、5条、4条金鱼”的问题情境，接着让学生尝试算出五个鱼缸里的金鱼的总数，并让学生说说自己是用什么方法算出答案的。学生1说就是把五个鱼缸里的金鱼一个一个加起来，列算式5+5+5+5+4=24（条）;学生2说四个5再加上一个4，列式5×4+4=24（条）;学生3说我们还可以把五个鱼缸里的金鱼数都看成5条，然后减去1条，列式为5×5-1=24（条）;学生4的思维又有了新的视角：“老师，我们把第五个鱼缸里的4条金鱼平均分到前面四个鱼缸里，这样四个鱼缸里都有6条金鱼，所以是6×4=24（条）。”一个开放的教学情境，让我们听到了学生不同的“感觉”。正因为有了这些不同的“感觉”，学生的思维才得以走向远方。

其次，要允许学生有不同的答案。从信息加工理论来看，数感是一种对数及数量非精确、快速的知觉过程。不同的人在不同的情景中对数与数量的认知也是不同的，数字呈现方式的多样化促生了不同的数感。

再次，要注重让学生进行估算训练。估算是个体依赖于数字与数字运算之间的关系进行估计与猜测的过程，直觉性与非精确性是估算的特征。无论是具体情境中合适数字区间的估算，还是合理性结果的估算，都是深化学生对数字模式与数字关系理解的有效途径。

阅读延伸

霍雨佳、郭成、杨新荣在《国外数感研究评析及启示》（《课程·教材·教法》，2015年第2期）一文中，从数感的概念、数感的结构、数感的测评和数感的培养四个方面对国外数感的研究现状进行了总结和分析，并对国内数感研究中存在的问题提出了建议。

英国学者朱莉娅·安吉莱瑞在《如何培养学生的数感》（徐文彬译，北京师范大学出版社，2007年版）一书中指出，数感主要在三个领域起重要作用：一是数字知识和数字的简便性，即数字的顺序感、多样化的数字呈现形式、数字相对和绝对数量的判断和思考数字的基准参考体系;二是运算知识和运算的简便性，即理解运算结果、意识到所应用的规则和运算之间的关系;三是把数字、运算的知识及其简便性应用到需要用数字进行推理的问题中，即理解问题情境和合适的解题策略之间的关系、意识到存在多样化的数字呈现方式、应用有效的数字表征形式和方法的倾向及检验数据结果的倾向。

郭木生在《小学生数感培养的实践研究》（《教育导刊》，2014年第9期）一文中认为，数感形成有赖于学生充分的感知和体验，数概念的意义建构能促进学生数感的发展，创设动化问题情境是学生数感形成的有效手段，经历试误到顿悟的过程是形成数感的有效途径，发展学生的估算能力是培养数感的良策。