儿童视域下数形结合的断层与桥接

【摘要】“数形结合”是一种极富数学特点的信息转换方式，这种转换不仅有助于多样化地表现数学的学科特质，也有利于儿童充分调动左右脑的思维，使个体左右脑协调发展。可以从儿童的心理特点和认知能力这两个方面入手，分析儿童在“数形结合”过程中遇到的断层以及跨越断层实现桥接的策略。

【关键词】数形结合;儿童视域;断层;桥接

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6009（2015）25-0035-02

【作者简介】郁琳，江苏省无锡市广益中心小学（江苏无锡，214000）教科室主任，一级教师。

从刘徽《九章算术注》中的“析理以辞，解体用图”，到华罗庚先生的“数缺形时少直觉，形少数时难入微”，无不彰显着“数形结合”的魅力。“数”和“形”是数学知识的两种表现形式，“数”准确而抽象，“形”形象而直观，两者各有所长，这就好像人的左脑主要负责理性的逻辑推理，右脑主要负责感性的图形想象。“数”在“左”，“形”在“右”，而“数形结合”是一种极富数学特点的信息转换方式，这种转换有助于儿童充分调动左右脑的思维，使个体左右脑协调发展。如果掌握了这种方法，领会了这种思想，就能在“以形助数”或“以数辅形”中游刃有余、左右逢源。但理想与现实之间总有着一定的距离，多年的教学实践让我发现，小学生在“数形结合”过程中往往会表现出断层。

一、断层：数形结合之伤

1.语言层。

数学语言承载着科学思想和数学思维的表达，具有准确、严密、简明的特点，是一种高度抽象的人工符号系统。在数形转化的过程中，语言是至关重要的通道。但儿童由于其自身认知能力的局限性，往往不能准确识别数学语言的基本属性及其暗示的信息，从而造成了数形结合的第一个断层。

2.映射层。

数形结合的实质是代数对象与几何对象之间的一种映射，通过这种映射实现抽象概念与具体形象的联系和转化。因此，无论是由“形”观察出“数”，还是由“数”构造出“形”，这中间的“观察”和“构造”都要经过严格的逻辑推理，才能实现一一对应的映射。一旦出现构图不准确、不完整或数形之间不等价（即一一对应）等情况，映射层就会崩塌断裂，从而造成错觉性的解题失误或片面性的疏漏。

3.干扰层。

在人的实际思维活动中，形象思维和抽象思维是交织、混合在一起的。如果“数”和“形”无法实现合理的沟通、转化，这两种思维就会相互干扰，形成数形结合的第三个断层。

二、左右逢源：数形结合的桥接之路

（一）沟通——言意共生，开启数形结合的认知通道

要实现数与形的桥接，首先要实现彼此之间的沟通，这就需要正视数形转化过程中儿童的认知局限，开启语言通道和映射通道，实现语言和思维的共生以及“数”与“形”的意义共生。

1.语言通道。

学生只有在理解了数学语言之后，才能灵活地对它们进行各种等价叙述和正确应用，从而跨越数形结合的语言断层。因此，在教学中，要加强学生对数学的三种语言（即文字、符号和图形语言）的理解训练。文字语言需仔细推敲，明确关键词、句之间的相互依存和制约关系。例如：“长和宽增加4米”与“长或宽增加4米”这两句话仅一字之差，所表达的意思和逻辑关系就完全不同。符号语言概括性、抽象性较强，应从辨析、解释、抓特征等方面入手，促进学生的理解。例如：“线段AB”“∠AOB”这些符号语言初次出现在学生面前时，教师应当解释清楚它们的命名规则和含义。图形语言直观，便于观察与联想，重点要让学生捕捉图形中隐含的语言信息。

2.映射通道。

映射的本质就是“一一对应”，是数形结合中重要的认知通道。要开启映射通道，就要重视学生对应思想的培养。小学生对应思想的启蒙从数数就开始了。数数过程的实质就是依次把物体的个数分别同自然数中的1、2、3……相对应，直到最后一个物体。到了中高年级，一一对应的例子无处不在，例如：借助数轴，让学生体会“数”与直线上的“点”之间的对应;借助线段图，让学生体会数量与线段之间的对应……在教学中，应充分利用好这些资源，培养学生的对应思想。

（二）稳固——多元拓展，由点及面生成思维空间

数与形的桥接仅有沟通是不够的，还需要稳固。在教学中，应多方面拓展，引导学生把握好“数”与“形”的结合点、结合线及结合面，使抽象思维和形象思维能深度融合，生成数形结合的思维空间。

1.点：夯实操作要点。

要实现数与形的桥接，必须要有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧。在教学中，要引导学生多角度地观察和理解问题，同时运用分析、比较、综合、归纳、演绎等逻辑思维方法去剖析问题，这些方法就是数与形的“结合点”。在这个过程中，教师应当小步走、稳步走，给予学生适当的指导和帮助，夯实数形结合的基点。例如：为了让学生理解 × 的算理，可以通过几个递进式的问题来对数形结合的操作活动进行分层引导，使学生更好地体会并掌握数形结合的技巧和方法，实现数与形的稳固桥接。

2.线：把握线性梯度。

数形结合思想并不是一种定量的固态思想，它随着数学知识的逐步加深而表现出一定的递进性。因此，它的渗透要随着学生的认知发展由浅入深，教师应对它的挖掘、理解和应用的程度进行长远的规划，要体现出其孕育、形成和发展的线性梯度。

低年级学生的认知水平、理解能力有限，适宜“形→数”的直观思维。高年级学生的知识有了一定的积累，几何直观感知能力、逻辑思维能力也有了一定程度的发展。这时，数形结合思想的渗透也应当在深度上有所提升，可以鼓励学生独立完成“形→数”的操作活动。同时，也可以引导学生开始尝试“数→形”的思维活动。

3.面：渗透多重思想。

数形结合思想有着较强的综合性，在数与形桥接的过程中，体现了转化、对应、化归等多种数学思想方法的整合。在教学中，同样不能忽视数形的结合“面”——多重数学思想的整合与渗透。例如：学习“正比例”时，借助正比例的图像来渗透初步的函数思想;在推导平行四边形、三角形等图形的面积计算公式的过程中，渗透化未知为已知、化繁为简的转化思想。

（三）灵动——数形互译，提升、内化数形结合思想

数与形的桥接之路在力求稳固的同时，还应追求灵动，可以通过反刍、留白、选择等教学手段，培养学生对数与形进行灵动互译的能力，提升、内化其数形结合思想。

1.老牛反刍。

数形结合的高层次表现就是在数形之间灵活地进行互译，其实质就是以“数”化“形”与以“形”变“数”的结合。在教学中，教师不能止于单通道的“数→形”或“数→数”，而要有意识地引导学生像老牛反刍般地进行逆向思考，细细品味，看“形”思“数”，见“数”想“形”，培养学生的数形互译能力。

2.三分留白。

留白是一种智慧，也是一种境界，它能使学生多一些自我探索的经验，多一些与他人交流、合作的机会，多一些对思想方法的感悟。在提升学生的数形结合能力时，适时、适度地留白，能引发学生在更广阔的时空里进行实践、思考、探究。

3.学会选择。

数和形既可以结合在一起相辅相成，也可以分别独立存在。在教学中，教师不能片面强调某一方面，为所有的问题都绞尽脑汁去图形化或数量化。而应让学生逐渐形成一种“可依靠但不依赖”数形结合的意识，引导学生根据题目特点，灵活地选择解决问题的视角和方法。

“数形结合百般好”，我们只有多关注儿童的心理特点和认知能力，多从儿童的视角去审视问题，巧引妙导，实现数与形的沟通、稳固和灵动，才能左右逢源，在数形结合的路上走得更远！

注：本文获2014年江苏省“教海探航”征文竞赛二等奖，有删改。