Tsallis 熵的参数在图像阈值分割中的应用*

宋亚玲，欧聪杰

(华侨大学 信息科学与工程学院，福建 厦门361021)

0 引 言

Shannon 熵作为描述系统信息量的一种量度，是通信与信号处理领域的基石［1］。在图像的阈值分割处理上，以Shannon 熵函数为优化目标的方法因其简洁、高效的特性吸引了广泛的关注［2］。针对不同的图像属性，现已发展出交叉熵、模糊熵、倒数熵等不同的理论分支，均有广泛成功的应用［3～5］。近年来，随着对图像成像规律的深入研究，Albuquerque M P 等人首次在Shannon 熵的基础上引入Tsallis熵并应用于图像分割［6］。Tsallis 熵具有非广延性并通过一个附加参数q 来描述，在参数q 趋近于1 时，它将自然退化为Shannon 熵［7］，因此，以它为目标函数所构造的分割方法要比Shannon 熵具有更大的灵活性和普适性［8］，近年来已被广泛应用于医学影像处理［9］，储粮虫害检测［10］等各个领域。对于一幅数字图片，任意两个像素点的灰度之间存在的可能关联，将在很大程度上影响整个图像的统计性质。因此，采用更一般化的Tsallis 熵对图像进行统计分析与阈值分割具有数理上的合理性。

近年来的大量研究均显示采用Tsallis 熵的确可以提高图像的分割质量［8～10］，本文考虑图像内部灰度值的长程关联，分析q 参数所产生的影响。同时，针对一些特定的图片给出有效的分割方案。

1 Tsallis 熵的参数与阈值分割

假设一幅具有n 级灰度阶的图像大小为M×N 像素点，则{pi=ki/(MN)，i=1，2，…，n}为该图像的灰度分布，其中，ki为图像中灰度值为i 的像素点数量，则该分布所对应的Tsallis 熵定义如下

其中，q 即为前述的附加参数。由式(1)可知在q→1时Sq将还原为Shannon 熵。目前有多种基于Tsallis 熵的图像阈值分割方法，均能体现q 参数对阈值结果的调节作用。但很多时候该参数的取值依靠经验判断，并无明确的取值界限，这里以Albuquerque 法［6］为例分析这个问题。

设一幅图像的分割阈值为t(t∈［1，n］)，则图像灰度分布被该阈值分割为两个部分，A 和B，它们的Tsallis 熵分别如下

其中

最佳的阈值t*由下列判据给出［6］

式(5)说明阈值的选取遵循熵极大化的原则，因此

式(6)即为q 参数取值的下限，是开区间，因为

则不同图像的灰度分布(具有相同的灰度阶n)在q=0 时将得到相同的Tsallis 熵，基于Tsallis 熵的所有阈值分割法都将失效。另外，由式(1)得

式(8)说明q 的取值过大同样无法准确区分图像灰度分布中所包含的信息。随机选择四幅常见的测试图片(如图1(a)所示)，对比在不同q 参数下由式(5)得到的各自分割阈值，如图1(b)所示。

图1 q 参数的有效范围Fig 1 Effective range of parameter q

图1 (b)在q→0 的情况下，互不相关的图片的分割阈值趋向于一个固定的值，这与图像的随机性相违背。此外，在2 ＜q ＜5 区间还可看出:四幅图片的分割阈值几乎不再对q 参数的变化做出响应，此时算法已然失效。在q ＞5 之后，因子pqi 将趋于无穷小量，此时任意一个微小的计算误差都将对阈值选取造成显著影响，由此产生随机震荡的伪阈值。为充分保证Tsallis 熵的有效性，在本文选择的q 参数范围定为0.1≤q≤1.5。

2 基于Tsallis 熵的双q 值算法

自然界图片种类繁多，因此，式(5)无法全部适用。例如:在某个固定背景下的影像系列，因为目标的出现具有随机性，不会与固定的背景之间产生像素上的关联。同时，目标类的像素点和背景类的像素点各自之间的灰度关联性仍然存在，而且这两种关联性的强弱未必相同，故这两部分的熵可分别表示如下

其中，q1，q2分别为目标类A 与背景类B 的像素点各自灰度关联的强度。因此，构造目标函数如下

即对A，B 两部分的熵进行比较，选择的最优阈值是让较小的那个熵极大化，则另一个熵即使没有最大化，也不会太小，从而实现两部分熵极大化的一种均衡。

3 实验结果

为了验证上述算法的有效性，针对特定类型的图片进行分割实验。这种图片应具有如下特征:1)所要提取的目标具有任意性;2)背景与目标各自的成像因素具有独立性。基于此，红外成像的图片序列是比较合适的类型。图2 分别展示了Kapur 法［2］、Albuquerque 法［6］以及本文的方法所得的结果。

为进一步定量阐述分割效果，引入错分类误差因子ME，定义如下

图2 阈值分割结果(其中，(d)q=0.1 和(e)q1=0.6，q2=0.4)Fig 2 Threshold segmentation results，where(d)q=0.1(e)q1=0.6，q2=0.4

其中，OGT和OT分别为基准图和分割结果中目标像素的集合，BGT和BT分别为基准图和分割结果中背景像素的集合。

图3 显示了Albuquerque 法在不同q 参数取值下的输出结果，这里采用图2(a)，(b)作为原图和基准图。可以看出:阈值仅在参数接近于1 时产生一次较明显的跳跃，然而相应的误差也随之明显增加，分割失败。

图3 Albuquerque 法产生的阈值t 随q 参数的变化关系，以及相应阈值结果所对应的MEFig 3 Threshold t generated by Albuquerque method varies with parameter q，as well as corresponding ME

实际上，图2(a)是红外成像视频帧序列中的一个单帧，通过与基准图的对比，找到一组恰当的(q1，q2)用于实现对目标的提取。在短时拍摄过程中，可以认为目标与背景的红外辐射强度稳定，第一帧图像的(q1，q2)取值对于后续帧幅同样有效。图4 的视觉效果证明了这一点，定量测试数据如表1 所示。

图4 红外视频后续帧幅的分割结果对比Fig 4 Segmentation results comparison of subsequent frames of infrared video

表1 针对图2 与图4 的定量数据Tab 1 Quantitative datas of fig 2 and fig 4

4 结 论

本文通过对Tsallis 熵性质的分析确定q 参数的合理取值范围，将红外成像图片的目标与背景视为两个相互独立的集合，提出了一种包含两个可调节参数q1和q2的新的阈值分割方法，实现目标与背景的自动分割。实验结果表明:该方法在处理目标与背景无明显关联的图片序列时更加有效。

［1］ Shannon C E.A mathematical theory of communication［J］.The Bell System Technical Journal，1948，27:379－423.

［2］ Kapur J N，Sahoo P K，Wong A K C.A new method for gray－level picture thresholding using the entropy of the histogram［J］.Comput Vision Graphics Image Process，1985，29:273－285.

［3］ Sezgin M，Sankur B.Survey over image thresholding techniques and quantitative performance evaluation［J］.Journal of Electronic Imaging，2004，13:146－165.

［4］ Sarkar S，Das S，Chaudhuri S S.A multilevel color image thresholding scheme based on minimum cross entropy and differential evolution［J］.Pattern Recognition Letters，2015，54:27－35.

［5］ 吴一全，殷 骏，毕硕本.最大倒数熵/倒数灰度熵多阈值选取［J］.信号处理，2013，29(2):143－151.

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