一个半线性椭圆方程组无穷多变号解的存在性

张薇， 杨瑞瑞， 刘祥清

(云南师范大学 数学学院，云南 昆明 650500)

1 引言及主要结果

考虑下列方程组

(1)

其中N≥3，Fu及Fv是次临界增长的.如果用λ1、λ2、μ1u3+βuv2、μ2v3+βu2v代替(1)中的a(x)、c(x)、Fu、Fv，则式(1)即是Gross-Pitaevskii方程

(2)

这个方程组是物理学中经典的非线性模型，出现在非线性光学和Bose-Einstein凝聚现象中,很多物理学家已对其进行了研究.近年来，不少数学工作者用不同的方法研究过它[1-3]，但对其全空间上非线性椭圆方程组变号解存在性的研究结果甚少.最近，刘嘉荃等[4]研究了如下方程组

(3)

变号解的存在性.其中N=2,3；k≥2；λj>0(j=1,…,k)；βij是常数且满足βjj>0(j=1,…,k)、βij=βji(1≤i

受文献[4]的启发，我们考虑更一般的非线性项，结合文献[4]中的定理2.5与下降流不变集方法来获得问题(1)的无穷多非径向对称的变号解.因为考虑的是更一般的非线性项,所以在某种意义上，得到了更一般的结果.提出如下假设：

(A)0≤a(x),c(x)∈L(RN)且

(F1)F(x,u,v)∈C1(RN×R×R,R).

(F2)存在θ>2使得0<θF(x,u,v)≤F(x,u,v)·(u,v)，∀(x,u,v)∈RN×R×R.

(F4)F(x,-u,-v)=F(x,u,v).

注意到方程组(1)所对应的变分泛函为

(4)

(5)

其中

并分别赋以内积

由于I∈C1(H,R)，那么问题(1)的弱解等价于泛函I的临界点.

记‖·‖a、‖·‖c分别为上述内积所诱导的范数，|·|p为Lp(RN)中的范数，1≤p<+.则对任意的(u,v)∈H有如果u、v都是变号的，则(u,v)是变号的.c表示不同的正常数.主要结果如下：

定理1.1 假设条件(A)及(F1)-(F4)成立，则问题(1)存在无穷多变号解.

2 必要的引理

引理2.1 ‖·‖a、‖·‖c等价于范数‖·‖H1.

证明显然，对于u∈H1(RN)，有

因此，存在c使得‖u‖H1≤c‖u‖a. 于是，c‖u‖a≤‖u‖H1≤c‖u‖a. 类似地，可以得到c‖u‖c≤‖u‖H1≤c‖u‖c.

引理2.2I满足(PS)条件.

证明设{(un,vn)}⊂H是I的一个(PS)序列，即|I(un,vn)|≤c且I′(un,vn)→0(n→)，则

o(1) =〈I′(un,vn)-I′(u,v),(un-u,vn-v)〉

(6)

因为

(7)

令A={x∈RN|x|≤R,f(x)≤M}.由于f∈Lr(RN)，对充分大的R和M，有

由上式及局部收敛性得

≤cε

于是由(7)有

(8)

类似地可以证明

(9)

结合(6)、(8)和(9)可以得到

‖(un-u,vn-v)‖=o(1).

因此，(un,vn)→(u,v)在H中.即I满足(PS)条件.

定义H1(RN)中的一个正锥P,P={u∈H1(RN)|u≥0a.e.x∈RN}.对任意的δ>0，定义

P1={(u,v)∈H|da(u,P)<δ},P2={(u,v)∈H|dc(v,P)<δ}

Q1=-P1={(u,v)∈H|dc(u,-P)<δ}，Q2=-P2={(u,v)∈H|dc(v,-P)<δ}

对于一个函数u，令u+=max{u,0}，u-=min{u,0}.定义算子

A:H→H,(u,v)(w,z)=A(u,v)

则有

(10)

(11)

引理2.3 对于充分小的δ>0，有A(∂Pi)⊂Pi，A(∂Qi)⊂Qi，i=1,2.

证明对于任意的(u,v)∈∂P1, 即da(u,P)=δ.注意到

在(10)中取w-作为检验函数,可以得到

从而得,A(∂P1)⊂P1.类似地，可以得到A(∂P2)⊂P2,A(∂Qi)⊂Qi,i=1,2.

万历三年(1575)，经元忭疏通，徐渭正式释放，心情大好，准备去游天目山，留有《十四日饮张子荩太史宅，留别(久系初出，明日游天目诸山)》诗。

注意到〈I′(u,v),(u,v)-A(u,v)〉=‖(u,v)-A(u,v)‖2且‖I′(u,v)‖=‖(u,v)-A(u,v)‖.但是因为算子A不是局部 Lipschitz 连续的，为了证明{P1,P2}是泛函I的容许不变集族，首先构造局部 Lipschitz 连续的算子B.

引理2.4 存在一个局部Lipschitz 连续的奇算子B:H0→H使得 Φ:=id-B为I在H0上的伪梯度向量场，且有B(∂Pi)⊂Pi，B(∂Qi)⊂Qi，i=1,2，其中H0=HK,K={(u,v)∈H|I′(u,v)=0}(证明类似于文献 [5] 中引理2.3).

考虑初值问题

可知Pi和Qi(i=1,2)是下降流τ的不变集.

引理2.5 设N是Kc的对称的闭邻域，则存在ε0>0使得当0<ε<ε′<ε0时，存在连续映射σ:[0,1]×H→H满足：

(1)σ(0,u,v)=(u,v),∀(u,v)∈H;

(2)σ(t,u,v)=(u,v),∀t∈[0,1],I(u,v)∉[c-ε′,c+ε′];

(3)σ(t,-u,-v)=-σ(t,u,v),∀(t,u,v)∈[0,1]×H;

(4)σ(1,Ic+εN)⊂Ic-ε;

特别地，若N是KcW的对称闭邻域，则存在ε0>0,使得当0<ε<ε0时，存在连续映射η:H→H使得：

(6)η(-u,-v)=-η(u,v),∀(u,v)∈H;

(7)η|Ic-2ε=id;

(8)η(Ic+ε(N∪W))⊂Ic-ε;

证明对充分小的δ>0，设N(δ)={(u,v)∈H|d((u,v),Kc)<δ}⊂N.因为I满足(PS)条件，所以存在ε0、b0>0使得

(12)

定义两个偶的局部Lipschitz连续函数g,p:H→[0,1]使得

由常微分方程理论知该初值问题存在唯一解τ(t,u,v)，且τ关于(u,v)连续，设[0,T(u,v)]是τ的极大存在区间.

矛盾.因此

对于(5)可以直接由B(∂Pi)⊂Pi，B(∂Qi)⊂Qi(i=1,2)推得.

特别地,设ε′=2ε，η(u,v)=σ(1,u,v)，则η满足(6)-(9). 从而有{P1,P2}是泛函I在任意水平值c处的容许不变集族.

证明由条件(F3)，我们得到

3 主要结果的证明

定理1.1的证明定义一个连续函数φ(N):BN×BN→H，φ(N)(t)=φ(N)(t1,t2)=Rn(t1u,t2v)， 其中BN是RN中的单位球且Rn>0充分大，(u,v)∈H是给定的. 于是，φ(N)满足：

(1)若t1=0，则φ(N)(t)=Rn(0,t2v)∈P1∩Q1，若t2=0，则φ(N)(t)=Rn(t1u,0)∈P2∩Q2；

(3)∀t∈BN×BN，φ(N)(-t)=Rn(-t1u,-t2v)=-φ(N)(t)；

事实上，记(u,v)=R(u0,v0)，其中R=‖(u,v)‖，(u0,v0)∈S，其中S是H中的单位球面.由于

上式两端在[1,R]上积分，有

lnF(x,Ru0,Rv0)≥lnF(x,u0,v0)+lnRθ

所以，F(x,u,v)=F(x,Ru0,Rv0)≥RθF(x,u0,v0)，其中R=‖(u,v)‖>1.于是

其中

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