有限群为可解群的一个充分条件

左思艳，郭鹏飞

（1.连云港市新海实验中学，江苏连云港222006；2.连云港师范高等专科学校数学与信息工程学院，江苏连云港222006）

本文所涉及的群均为有限群，所用群论符号和术语都是规范的，可参阅文献[1].

设∑为一抽象群论性质.有限群论研究中非常重要的课题是研究子群的∑性质对有限群结构的影响.为了解决这一问题，二十多年来，群论学家们从研究有限群的结构及其正规子群的关系入手，给出了各种各样的广义正规性的概念，如：拟正规子群、次正规子群、可补子群等等，统称为有限群的∑性质，具有∑性质的群称为∑群.如果群G的子群H与G的任意子群K可置换（即HK=KH），则称H为G的拟正规子群.利用有限群的∑性质，借助于群的极大子群、极小子群、Sylow子群的极大子群、2-极大子群等来研究群的幂零性、超可解性和可解性等，已取得了大量的研究成果[2-6].特别需要指出的是，李千路、郭秀云[5]从另一角度考虑子群对群结构的影响.具体的结论是：设为一个群，若的所有非正规的极大子群是幂零群，则（1）G为可解群；（2）G是p-幂零群，其中p为的某个素因子；（3）若非幂零群，则2≤，其中k是G的非幂零正规极大子群的个数.

关于子群性质的传递性也是有限群论研究的热点之一.设H，K和L都是群G的子群，且满足H≤K≤L.若H是K的正规子群（拟正规子群），K是L的正规子群（拟正规子群），必有H是L的正规子群（拟正规子群），则称群G为T-群（PT-群）.Gaschütz[7]和Zach⁃er[8]分别给出可解T-群、可解PT-群的结构.群G是一个可解T-群（可解PT-群）的充要条件是G有一个奇阶正规交换的Hall 子群H使得G/H是一个Dede⁃kind 群（模幂零群），并且G的每个元素在H上诱导一个幂自同构.

本文的目的是考虑群G的所有非正规极大子群M都是可解PT-群，得到群G为可解群的一个新的充分条件.

1 基本概念和引理

引理1[8]若群G是PT-群，则G是超可解的.

引理2[9]设群G为内超可解群，则

（1）G仅有一个正规的Sylow子群p；

（2）P/Φ（P）是G/Φ（P）的极小正规子群，且P/Φ（P）非循环群；

（3）若p≠2，则P的方次数是p；

（4）若P为非交换群且p=2，则P的方次数至多是4.

引理3[6]设G是一个群，p为G的阶的一个素因子，

（1）若p是奇数，P的每个极小子群均包含于NG（P）的中心化子，则G为p-幂零群；

（2）若p=2，P的每个2阶和4阶循环子群都是NG（P）的拟正规子群，则G为2-幂零群.

2 主要结果

定理1若群G的所有非正规极大子群M都是可解PT-群，则G是可解群.

证明设群G为极小阶反例，则

（1）G非单群.

若G是单群，则G的每个极大子群非正规，因此G的每个极大子群都是可解PT-群.由引理1，G的每个真子群都是超可解的.再由引理2，G是可解群，矛盾，（1）成立.

（2）G有唯一极小正规子群N.

由（1），G非单群，则G有一极小正规子群N1使得N1≠G.假设G有另一极小正规子群N2使得N2≠G且N2≠N1，则对于G的每个非正规的极大子群M而言，成立G=N1M=N2M.由假设，M是可解PT-群.再由引理1，M是超可解群，所以G/N1和G/N2都是可解群，且G=G/（N1∩N2）≤（G/N1）×（G/N2），因此G是可解群，矛盾，（2）成立.

若N是奇阶群，则由Feit-Thompson 定理（奇阶群可解定理），N是可解群.对于G的每个非正规的极大子群而言，G/N≌M/（M∩N）成立.再由M的超可解性，G/N是超可解群，因此G是可解群，矛盾，（3）成立.

（4）完成证明.

由（3），N是偶阶群.设P是G的Sylow 2-子群，则P∩N是N的Sylow 2-子群.由Frattini 论断，G=NNG（P∩N）.令K是G的一个非正规的极大子群且满足NG（P∩N）≤K，则由假设，K是可解PT-群.设H是P∩N的任一2 阶或4 阶循环子群.由于H次正规于NG（P∩N），由文[8]可知，可解PT-群的子群还是可解PT-群，于是NG（P∩N）和NN（P∩N）都是可解PT-群，因此H在NN（P∩N）中拟正规.由引理3，N是2-幂零群，因此G是可解群，矛盾.

极小阶反例不存在，从而G为可解群.

推论1若群G的所有非正规极大子群M都是可解T-群，则G是可解群.

[1]Robinson D J S.A Course in the Theory of Groups[M].New York-Heidelberg-Berlin:Springer-Verlag,1980.

[2]Agrawal R K.Finite groups whose subnormal subgroups per⁃mute with all Sylow subgroups[J].Proc Amer Math Soc,1975,47(1):77-83.

[3]Buckley J.Finite groups whose minimal subgroups are nor⁃mal[J].Math Z,1970,116:15-17.

[4]Guo X Y,Guo P F,Shum K P.On semi cover-avoiding subgroups of finite groups[J].J Pure Appl Algebra,2007,209:151-158.

[5]Li Q L,Guo X Y.On p-nilpotence and solubility of groups[J].Arch Math,2011,96:1-7.

[6]Li S R,Shen Z C,Kong X H.On SS-quasinormal sub⁃groups of finite groups[J].Comm Algebra,2008,36(12):4436-4447.

[7]Gaschutz W.Gruppen in denen das Normalteilersein transi⁃tiv ist[J].J reine angew Math,1957,198:87-92.

[8]Zacher G.I gruppi risolubili finiti in cui i sottogruppi di composizione coincidono con i sottogruppi quasi-normali[J].Atti Acad Naz Lincei Rend CI Sci Fis Mat Natur,1964,37(8):150-154.

[9]Doerk K.Minimal nicht,endliche Gruppen[J].Math Z,1966,91:198-205.