幻方形式美五则

(玉溪师范学院,云南 玉溪 653100)

幻方，顾名思义，就是幻化，奇幻、魔幻的方阵的意思.从洛书(三阶幻方)算起，历经公元前后两千多年，即至今长达四千年之久.人们对幻方的兴趣和研究长盛不衰.而且，正如我国著名科普作家兼娱乐数学专家谈祥柏老先生所言：幻方研究中，新发现层出不穷[1].

本文中,笔者从形式美的角度着眼，介绍五则具有形式美的幻方.

1 反序数对称幻方

所谓反序数，即有这样成对的数，其特点是其中的一个数字的排列顺序完全颠倒过来，就变成一个数.如102和201，36和63等即是.简单的理解就是顺序相反的两个数，我们把这种成对数互称为反序数.据说,反序数在实际生活中也有许多应用，例如在密码的编制上.

下面是一个将两个3阶幻方进行“合成”再得一个新的3阶幻方的例子，而所得的这个新的3阶幻方便是一个反序数对称幻方，如图1所示

图1 2个3阶幻方合成新的3阶幻方

图1中的第3个数阵便是反序数中心对称幻方,而且其各方格内的两个数字的和都是10.

这样的幻方，还可以构成几个，如图2所示：

图2 3阶幻方构成

2 金镶玉幻方

在文献[1]里，谈祥柏老先生专门饶有兴趣地用一节介绍了金镶玉边幻方的探索故事.如图3便是一个金镶玉边幻方的例子.从图3可以观察到，5阶方阵的4条金边的确形成了：其周边和数的平方和都等于1 105.但是文献[1]没有把“玉”的情况标示出来.笔者于是将其他行列相关和数的平方和算出来，有1 005、1 055、1 155、1 205等4种情况.是否可以说，这表示“玉”并非白璧无瑕,而是由4种不同“成色”的“玉”组成，这未免令人遗憾，也使这种金镶玉边显得有点美中不足.

图3 5阶方阵的4条金边图4 “白玉无瑕”的金镶玉的幻方

下面,笔者提供几种更为“美观”的金镶玉边供大家欣赏.

首先，我们看如图4所示的幻方,这时“金边”是390，而“玉”则都是358，所以是“白玉无瑕”、货真价实的金镶玉幻方.有趣的是，据此还可派生出一个“玉嵌金边”和一个“金枝玉叶”(或称为“金波玉浪”)的幻方，如图5所示：

图5 “玉嵌金边”和“金枝玉叶”幻方

顺便说明一下，这样的4阶幻方好像再没有了，另外3阶幻方显然不会构成金镶玉边.

下面再介绍两例5阶的(图6)，因为笔者是手算，更高阶的金镶玉边，还待感兴趣的读者去探索.

图6-1 5阶金镶玉边幻方例一图6-2 5阶金镶玉边幻方例二

可以看出,图6的两个幻方都比图3的为好，尤其是图6-2.遗憾的是,两图中的“玉”也都有欠缺.5阶幻方有无像上面所举的4阶幻方那样的“金纯玉洁”，这一问题目前暂无明确的答案,尚需继续探索.

3 双螺旋结构“幻方”(或称半幻方)

图7 DNA双螺旋模型的纪念邮票

1953年，美国科学家沃森和英国科学家克里克发现DNA的双螺旋结构，诞生了分子生物学，对研究对象的探讨也由细胞水平深入到了分子水平，两位科学家因此荣获1962年度的诺贝尔生理学和医学奖.图7是三张关于DNA双螺旋模型的纪念邮票.

令人感到神奇的是，幻方中也有双螺旋结构——那就是有名的富兰克林8阶幻方.富兰克林8阶幻方具有很独特的性质，读者可参看文献[2].另外，富兰克林16阶幻方也是双螺旋结构.以下,笔者将文献[2]的8阶幻方略作改变，并暂称其为F型“幻方”,如下图8所示.

图8富兰克林8阶幻方

此外，用下面的幻方A与幻方B相乘而得的12阶幻方，若用红线将图中的数据按自然数的顺序串起来，也呈现奇特的双螺旋结构(横看)和两椭圆相套交结构(竖看)，很有意思,如图9所示.

图9幻方A与幻方B相乘而得的12阶幻方

4 杨辉置换

请看下列图10中的两个9阶幻方：

图10-1 9阶幻方例一图10-2 9阶幻方例二

图10-1中的9阶幻方，是用3阶幻方相乘而得的(见文献[2]的第62页、64页)，图10-2中的9阶幻方则是杨辉构造出来的(见文献[2]第18页).曹陵老师在他的专著《幻方再论》[4]第三讲里将上面的称为叉积，统称为克罗内尔积.曹老师也注意到，这里的克罗内尔乘积与其原义有了质的差异.鉴于此，笔者倒是认为，何不将第一种积称为阿氏(Allex Adler)积，以纪念这种乘积方法的发明者，而将第二种乘积命名为杨辉积.

一般地说，若记幻方A与幻方B的阿氏积为A⊗B，其杨辉积为BA，则可证A⊗BBA，其中表示要经过一定的行列置换(以下可以看到，此置换便是我们所称的“杨辉置换”).下面,不妨以一个3阶幻方与一个4阶幻方的乘积为例(见图11)来进行说明.

图11-1A⊗B

图11-2AB

续图11-2AB

图11-3B⊗A

图11-4BA

从图11可以看出，若记A⊗B从左到右，从上到下的行列序数为1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12，用代数置换的符号

则在Y2置换下，A⊗B与AB相同，且同样有BA与AB相同.特别地，A⊗B在Y1置换下与AA相同，这就是图9上下两个9阶幻方的内在联系.不过，这时的杨辉置换Y序为

有趣的是，对于任意的9阶幻方，在Y1的作用下，幻方特点保持不变，更有甚者，对任意的9阶数阵，在Y1的作用下，其行、列、泛对角线的数字和均保持不变，这也就是我们之所以名之杨辉置换的用意所在.显然，以上讨论对一般对任意两个幻方A、B均是适用的，但限于篇幅，笔者在此不做过多的讨论.

5 勾股幻方

图12 毕达哥拉斯幻方一例

此幻方见于文献[3]，那儿叫做毕达哥拉斯魔方，有两例，以下只取其一：

图12欣赏：△ABH是直角三角形，其中∠AHB=90°，斜边AB上有一个正方形ABCK，二直角边上分别有正方形AGFH、BDEH.撇开具体数字，这个图形是经典的勾股定理证法之一例.斜边上正方形为5×5个面积单位，二直角边上的两个正方形分别为3×3、4×4面积单位，从而有22+23=45，即BH2+AH2=AB2.

别有异趣的是，这一个正方形各小方格配上数字后，依次为一个3阶幻方、一个4阶幻方和一个5阶幻方，它们的幻和分别为147、46、125.因此，三个幻方的总数字和为441、184、625.而且有441+184=625.

这些数字等式显示出勾股幻方设计者的初衷.

据说，这样的勾股幻方(毕达哥拉斯幻方)已有5个.

[1]谈祥柏.奇妙的幻方[M].济南：明天出版社，1994：32.

[2]吴鹤龄.好玩的数学——娱乐数学经典名题[M].北京：科学出版社，2003:38.

[3]Eli Maor.勾股定理·悠悠4000年的故事[M].冯速,译.北京：人民邮电出版社，2010:113.

[4]曹陵.幻方再论[M].香港:香港天马图书有限公司,2003.