变分法在非线性耦合哈密顿系统中应用

王颖

摘 要：变分法作为解决数学物理关键问题的重要方法，在现有大学物理分析力学中对线性与无耦合相互作用问题进行了介绍，该文着眼于变分法在求解非线性偏微分方程中的的典型应用，针对近年新兴掺杂冷原子体系研究中含多组份耦合相互作用系统的解析求解问题，拓展了现有变分求解方法，通过改进变分拟设，对非线性耦合相互作用的理论模型，求得其符合物理实际的解析解，给出了变分法基于经典教材中基本原理思想的针对复杂物理问题的应用求解途径。

关键词：变分法 掺杂冷原子体系 非线性薛定谔方程

中图分类号：O441 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）01（a）-0202-01

随着近代物理学尤其是量子力学的发展，出现很多复杂系统运动方程或动力学方程的求解问题，如多电子原子基态波函数的求解问题，量子光学中的非线性薛定谔方程，超冷原子体系平均场近似下的Gross-Pitaevskii方程，多分量原子体系的耦合类薛定谔方程的求解。一般来说，求解非线性偏微分方程着眼于寻求其特解，而且如今已针对不同类的方程模型发展出若干求解方法、如：变分法、展开法、Hirota方法等。其中变分法是数学物理方程求解问题中关注较多的一种方法，它通过预先拟设待定解的有实际物理意义的解析形式，而得到可与实验观测比对的有现实指导意义的解析结果。在大学物理学的学习过程中，变分法最早是在分析力学的学习中接触到的。变分法是历史上由牛顿、莱布尼兹等几代数学家的努力而形成的比较成熟的解决数学物理问题的方法。除了在分析力学中Euler-Lagrange方程推导中有重要应用，变分法在求解冷原子物理中以掺杂系统为代表的耦合多组分体系问题中也发挥关键作用。

1 国内现有力学教材中的变分法

分析力学教材中变分法是在Euler-Lagrange方程推导中使用[1，2]，主要思路是先将拉格朗日量用广义坐标表示出来：

（1）

其中为时间坐标，为广义坐标，为广义坐标对时间的导数。定义有泛函积分表示的作用量：

（2）

其中在积分区间，端点处取定值。对以上取极值，便可得到体系的运动方程（Euler-Lagrange方程）：

（3）

基于分析力学中的變分方法框架，我们将相应的问题处理思路应用于基于非线性哈密顿量的多组分耦合量子多体系统的解析求解。

2 变分法在耦合量子体系中的拓展应用

近年来变分法在耦合多组分超冷原子体系的应用倍受关注[3]。这里我们通过引入改进的变分拟设来分析求解掺杂二组分冷原子体系，所考察的物理场景为原子质量为的主体组分在强度为的外谐振子势中，原子质量为的掺杂组分感受强度为的外谐振子势，标准线性谐振子哈密顿量与拉氏量记为和，描述掺杂组分的（含耦合非线性效应项）非线性薛定谔方程为：

（4）

不难验证（4）式可从关于的作用泛函的变分得到，其中：

（5）

接下来用变分法求解方程（4），我们采用改进的变分拟设如下：

（6）

其中是d-维情形下归一化常数。相对于前期相关工作，这里的改进是引入新的待定函数，以便能更为精确的描述掺杂原子密度分布。将（6）代入（4），虚部方程可将用表示出来，将（5）式分别相对于与变分，得到与分别满足的方程，其中满足的方程为：

（7）

其中为环境系统决定的常数；

满足的方程与先前工作[3]中形式相同。忽略耦合作用（），就是前期文献中采用的高斯波包形式，计入耦合作用（），（7）式给出的形式更为精确，基于（7）式计入一级近似的解析形式为：

其中。改进的变分法得到的方程（7）与密度分布宽度方程相结合给出更为精准的体系动力学演化描述。

3 结语

变分法是处理物理量子力学问题比较有效的方法，与物理学中其他方法如微扰法不同的是微扰法的运用有弱作用强度的限制。该文着重展示的变分法适用范围要广的多，是近年诸多前沿物理问题解析分析所采用的工具。该文通过变分法从单组分体系拓展到以掺杂超冷原子体系为代表的多组分耦合量子体系的应用，结合关键解析分析思路，对变分法在解决实际物理问题中的应用引起更加深入的认识。

参考文献

[1] 艾利斯哥尔兹，著.变分法[M].李世晋，译.商务印书馆，1956.

[2] 叶敏.分析力学[M].天津大学出版社，2002.

[3] T.H.Johnson，M.Bruderer，Y. Cai，S.R.Clark，W.Bao，D. Jaksch，EPL98，26001（2012）.