轻质细杆和小球组成系统的角动量与能量守恒问题研究

陈建 潘娜娜 陈希明

摘 要：该文从物理学教学过程中的一道常见习题出发，详细分析了守恒思想在轻质细杆和小球组成的系统中的应用，一方面从动量守恒与角动量守恒成立的条件出发，分析了动量守恒在处理该问题时存在的争议；另一方面，考虑能量条件判据，指出该道习题设计中存在的科學性错误，并结合角动量守恒与能量条件判据，对该问题从两个方面进行了修正，通过改变小球对心碰撞后的返回速度和考虑细杆的质量，得到了满足角动量守恒和能量守恒的自洽条件。

关键词：系统 角动量 能量 守恒条件

中图分类号：0313 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）01（a）-0136-01

守恒是物理学中一种常用且重要的思想，即在物理变化的过程中通过寻找整个过程或者过程前后不变的关系对各个变化量进行分析[1]。但是该研究者在教学过程中发现，一些常见习题的设计在科学性上存在问题，这势必给学生的学习造成困惑。

如图1所示，静止在水平光滑桌面上长为的轻质细杆（质量忽略不计）两端分别固定质量为和的小球。系统可绕距离质量为的小球处的点在水平桌面上转动。今有一质量为的小球以水平速度沿细杆垂直方向，与质量为的小球作对心碰撞，碰后以的速度返回，求碰后细杆获得的角速度。

此题的一般解法是：将三个小球抽象为质点，并取三个小球和轻质细杆作为研究对象，点为参考点。由于各质点所受的重力和桌面对它们的支持力大小相等、方向相反且作用在同一条直线上，所以这些力对点的力矩的矢量和为零。同时，点对轻质细杆的作用力对点的力矩为零。因此，系统对点所受的合外力矩为零，相应的，系统对点的角动量守恒，取垂直于纸面向外为正方向，即

，

（1）

解之得。但是，该研究者在教学的过程中发现，有不少同学笼统地认为轻质细杆与三个小球组成的系统碰撞前后在水平方向动量守恒，于是得到了的矛盾结果，究其原因可知此种方法忽略了碰撞瞬间支点处对棒的水平冲击力[2-3]。

基于对该问题的求解，我们进一步考虑碰撞前后系统的能量。取水平桌面为重力势能零点，碰撞前系统总的能量为小球1的动能，碰撞后系统总的能量为三个小球的动能。整理发现，即碰撞后系统的能量大于碰撞前。但在碰撞前后，每个小球所受的重力、支持力以及支点处对棒的水平冲击力对系统不做功，且对心碰撞的过程系统的机械能应当保持不变或者损失，因此的能量不等式明显违背了能量守恒定律。

为了解决这一问题，我们可以考虑从两个方面加以修正：

修正1：改变小球1对心碰撞后的返回速度并假设其为。结合系统对点的角动量守恒和能量条件，有

，

（2）

，

（3）

解得只有时才能与能量守恒定律不矛盾。

修正2：考虑细杆为刚体，其质量为，且为了简便起见我们认为细杆质量均匀分布。

考虑三个小球与细杆组成系统对点的角动量守恒条件和能量条件：

，（4）

，（5）

发现只有满足时，此题才能与能量守恒定律自洽。

物理习题的科学性在很大程度上影响着学生对客观规律的理解，因此我们在习题设计的时候务必仔细斟酌，保证习题的科学性与严谨性。

参考文献

[1] 王贵忠，药树栋，霍建新.大学物理学课程中蕴含的物理学思想[J].晋中学院学报，2010，27（3）：16-18.

[2] 王宗昌.木棒和子弹组成系统的动量守恒问题[J].南阳师范学院学报，2005，4（9）：36-37.

[3] 邱晓燕，唐志海.一道力学碰撞问题中动量守恒与角动量守恒辨析[J].物理教学探讨，2011，29（11）：40-41.