威布尔分布族参数的经验Bayes双侧检验

黄金超，杨颖颖，凌能祥

（1.滁州职业技术学院基础部，安徽滁州239000；2.合肥工业大学数学学院，安徽合肥230009）

威布尔分布族参数的经验Bayes双侧检验

黄金超1，杨颖颖1，凌能祥2

（1.滁州职业技术学院基础部，安徽滁州239000；2.合肥工业大学数学学院，安徽合肥230009）

在加权平方损失函数下，讨论了Weibull分布族刻度参数的EB双侧检验.利用概率密度函数的递归核估计，构造了刻度参数的EB检验，证明其渐近最优，并且获得了收敛速度，给出主要结果的例子.

密度函数的递归核估计；经验Bayes检验；渐近最优性；收敛速度；双侧检验

1 预备知识

EB检验在已有文献中讨论得很多，如文献［1－4］分别对于EB检验做了不同程度的工作.文献［5］在“线性损失”下研究了刻度指数族参数的经验Bayes检验问题.文献［6］利用函数的单调性研究了刻度指数族参数的经验Bayes单侧检验问题，改进了EB检验的收敛速度.文献［7］讨论了线性指数分布族参数的经验Bayes检验问题.文献［8］讨论了Weibull分布族单侧的EB检验.以上的文献都用通常的核估计构造EB检验.而本文将采用递归核估计方法，在加权平方损失函数下，讨论Weibull分布族刻度参数的EB双侧检验，推广了文献［8］的相应结果.

设随机变量X条件概率密度［8］为

假设m＞0且为已知，θ为刻度参数，m为形状参数，χ＝｛x｜x＞0｝，参数空间为Ω＝｛θ｜θ＞0｝.利用密度函数的递归核估计来研究该分布参数的EB双侧检验，据我们所知，目前文献中还未曾有过，因此讨论Weibull分布族刻度参数EB双侧检验是非常有意义的.

设参数θ的先验分布为G（θ）且0＜θ1＜θ2，讨论（1.1）式中参数θ的如下EB双侧检验：

此处θ1和θ2为已知正常数，如果取，则双侧检验问题（1.2）等价于

对假设检验问题（1.3），取“加权平方损失”函数

之所以取“加权平方损失”函数是考虑到它对刻度参数更为合理，易于构造其EB检验函数，此处是正常数；j＝0，1；D＝｛d0，d1｝是行动空间；d0表示接受H＊0；d1表示否定H＊0；I［A］表示集合A的示性函数.

设

为随机化判决函数，则在先验分布G（θ）下δ（x）的Bayes风险函数为

其中：

为随机变量X的边缘分布，故由（1.8）式经计算可得

f（1）（x），f（2）（x）分别表示f（x）的一阶、二阶导数，且2

由（1.6）式易知Bayes判决函数为

其Bayes风险为

对于以上Bayes风险，已知G（θ）且δ（x）＝δG（x）能够达到，由于G（θ）未知，所以δG（x）是未知的，无法使用，故引入EB方法.

2 EB检验函数的构造

设X1，X2，…，Xn和X是iid（独立同分布）样本，且有共同的边缘分布.如（1.9）式所示.设X1，X2，…，Xn为历史样本，X为当前样本，令f（x）为X1的概率密度函数，对iid样本作以下假设：

（A）f（x）∈Cs，α，设Cs，α表示（0，∞）非负连续函数类，具有s阶导数且｜f（x）｜≤α，s＞4，s∈N＊.

（B）设Kr（x）（r＝0，1，…，s－1）为有界可测的Borel函数，在（0，1）之外为0，满足：

（B2）Kr（x）在R1上除有限点集E0外是可微的

记f（0）（x）＝f（x），f（r）（x）表示f（x）的第r阶导数，r＝0，1，…，s.类似文献［9－10］定义密度函数f（r）（x）的递归核估计

其中｛hn｝为正数递减序列，且是满足条件（B）的核函数，这种估计具有一种递归性质，即

由以上递推关系可知，用递归核估计去估计f（r）（x）时，只需要递归计算，若利用普通的核估计需要重新计算所有项，所以这种方法可以大大减少计算量，提高估计的效率.

由（1.10）和（2.1）式定义α（x）的估计量

故EB检验函数定义为

本文令En表示对随机变量X1，X2，…，Xn的联合分布求均值，则δn（x）的全面Bayes风险为

假定c，c0，c1，c2，…是与n无关的正常数.

引理2.1 设（x）由（2.1）式定义，其中X1，X2，…，Xn为独立同分布（iid）样本序列，若条件（A）和（B）成立，且（x）连续，s≥5，s∈N＊，r＝0，1，2，∀x∈χ.

（2）当hn＝n－12（s－2）时，对0＜λ≤1，则有

证明先证结论（1）.由Cr不等式可知，对r＝0，1，2有

由递归函数的核估计和核函数的性质可知n

再由Taylor展开可得

将（2.7）式代入（2.6）式可得

由f（x）∈Cs，α，及｜Kr（t）｜≤C，可得

再由f（x）∈Cs，α，｜Kr（t）｜≤M，hn单调递减可知

将（2.11）式和（2.12）式代入（2.5）式，结论（1）成立.

下面证明结论（2）.由Cr不等式可知，

由（2.9）式可得

故有

由（2.10）式取hn＝n－12（s－2）时，有

将（2.14）式和（2.15）式代入（2.13）式，结论（2）成立.注2.1 当λ→1，s→∞时可任意接近O（n－1）.

引理2.2 令R（G）和Rn分别由（1.12）和（2.4）式给出，则

证明可见文献［1］的引理1.

3 EB检验函数的大样本性质

定理3.1 设δn（x）由（2.3）式给出，其中X1，X2，…，Xn为iid样本序列.假定条件（A）和（B）成立，s≥5，s∈N＊，r＝0，1，2.若：

（1）｛hn｝为正数递减序列

（3）f（r）（x）为x的连续函数.

证明由引理2.2可知

记Bn（x）＝｜α（x）｜P（｜αn（x）－α（x）｜≥｜α（x）｜），显见Bn（x）≤｜α（x）｜.

由（1.8）式和Fubini定理得

由控制收敛定理，可知

再由引理2.1（1）可知，对x∈χ，当r＝0，1，2时，

将（3.3）式代入（3.2）式，定理得证.

定理3.2 设δn（x）由（2.3）式定义，其中X1，X2，…，Xn为iid样本，且假定（A）和（B）成立.若0＜λ＜1，有

证明由引理2.2及Markov不等式得

由引理2.1（2）的条件可知：χ

将（3.5）—（3.7）式代入（3.4）式，定理得证.

注3.1 当λ→1，s→∞时可任意接近

4 例子

在（1.1）式中，令m＝1，则

取θ的先验分布为

a与b为已知常数且a＞0，b＞0，故有

因此

故：

（ⅰ）由（4.2）式可知f（x）为x任意阶可导函数，导函数连续，一致有界，即f（x）∈Cs，α.

由于，a＞0，b＞0，这一积分为第1类广义积分，当（b＋1）（1－λ）＞1时，即（ⅲ）式收敛.

由（ⅰ），（ⅱ）和（ⅲ）知，定理3.1与定理3.2的条件都满足，故结论成立.

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［6］ 周雁，韦来生.刻度指数族参数的经验Bayes检验函数收敛速度的改进［J］.高校应用数学学报，2008，23（2）：219－226.

［7］ 陈家清，刘次华.线性指数分布族参数的经验Bayes检验问题［J］.系统科学与数学，2008，28（5）：616－626.

［8］ 黄金超，凌能祥.威布尔分布族参数的经验Bayes检验［J］.合肥工业大学学报：自然科学版，2012，35（6）：860－864.

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Empirical Bayes two－sided test for the parameter of Weibull distribution families

HUANG Jin－chao1，YANG Ying－ying1，LING Neng－xiang2

（1.Basic Course Department，Chuzhou Vocational Technology College，Chuzhou 239000，China；2.School of Mathematics，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

the Empirical Bayes（EB）two－sided test of scale parameter for Weibull distribution families was discussed and under weighted square loss function，at first，By using recursive kernel－type density estimation.The Empirical Bayes two－sided test rules are constructed.The asymptotically optional property and convergence rates for the proposed EB test rules are obtained.Finally an example about the main results of this paper is given.

the recursive kernel estimation of density function；the Empirical Bayes test；asymptotically optimality；convergence rates；two－sided test

O 212.1 ［学科代码］ 110·67 ［

］ A

（责任编辑：陶理）

1000－1832（2015）01－0037－06

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.008

2013－08－24

安徽省高校自然科学基金资助项目（KJ2013Z252）；国家统计局统计科学研究计划项目（2012LY080）.

黄金超（1974—），男，硕士研究生，副教授，主要从事应用统计与风险决策研究.