低轨双星定位中雷达信号时频差快速估计算法

杨宇翔，夏畅雄，陈 鲸，熊瑾煜

(西南电子电信技术研究所盲信号处理重点实验室 成都 610041)

低轨双星定位中雷达信号时频差快速估计算法

杨宇翔，夏畅雄，陈 鲸，熊瑾煜

(西南电子电信技术研究所盲信号处理重点实验室 成都 610041)

针对互模糊函数进行时频差联合估计时运算量大、受采样率和数据量限制，两者估计精度难以同时提高的问题，结合雷达信号的周期性和低轨双星中信号信噪比高、时频差范围有限等特点，提出了一种通过时域周期延拓计算相关函数主值区间，再利用脉内信号计算混合积信号频谱，最后由Chirp-Z变换完成时频域的高效插值，获取时频差精确估计的分步算法。仿真结果表明该算法在降低运算量同时，保证了估计精度。

频差; 低轨双星; 无源定位; 雷达信号; 时差

卫星干扰源定位系统中，利用干扰源信号到达两颗同步轨道卫星产生的时差、频差完成对干扰源的定位[1-2]。同样利用两颗低轨卫星也能完成定位，并且与同步轨道卫星相比，低轨卫星具有轨道高度低、飞行速度快的特点，其定位精度更高[3-6]。文献[7]分析了低轨双星对雷达无源定位的可行性，并针对脉冲信号频差参数估计的模糊问题，提出了分时双时差粗定位消除频差测量模糊，并结合了时频差联合定位的解决思路，但如何提取雷达信号的时频差参数并未讨论。通常均采用互模糊函数完成时频差联合估计[8-12]，通过时域-频域平面上的二维搜索，得到峰值点，对应时域频域上的值即为时频差的估计值。该方法运算量大，同时受采样率和数据量大小的限制，很难同时提高时差、频差的估计精度。本文针对雷达信号的周期性、占空比小的特性，提出了一种雷达信号时频差快速估计算法。

1 低轨双星定位原理

低轨双星时差/频差定位系统由一主一辅两颗低轨卫星组成，如图1所示。两卫星同轨运行，都在信号的辐射范围内，由于信号距离两颗卫星的路径和径向速度不同，两卫星接收信号间具有时差(time difference of arrival, TDOA)和频差(frequency difference of arrival, FDOA)，有：

式中，0f为信号频率；c为光速；1r、2r分别为两卫星的位置矢量；1v，2v分别为两卫星的速度矢量；r为干扰源的位置矢量；两卫星相对于目标的单位矢量别为

估计出时差、频差，再结合地球球面方程，求解式(1)，便可得到干扰源的位置。

2 定位参数估计

根据定位方程式(1)，卫星的位置、速度可以由星历获得，则求解目标位置的关键是要估计到达两颗卫星的信号之间的时差和频差。

2.1 信号模型及互模糊函数原理

设两卫星接收信号分别为x(t)和y(t)，包括目标发射信号s(t)和加性高斯噪声n1(t)和n2(t)，有：

式中，r为相对衰减系数；D0为相对时延TDOA；fd为相对多普勒频移FDOA；ωc为信号的载波频率；ϕ1,ϕ2分别为两路信号的相位。

两路信号的互模糊函数定义为：

2.2 雷达信号的时差估计

工程应用中一般通过测量脉冲上升沿来计算两路雷达信号之间的时差。该测量方法的测量精度受采样率、信号幅度一致性的影响较大，为进一步提高时差测量，可以采用相关的方法，信号x(t)和y(t)的相关表达式为：

将式(2)代入式(4)，则有：

式中，有：

假设噪声间是独立的，信号与噪声没有相关性，则式(5)中除了等式右边第一项不为零，其他项都为零，求其模值，可得：

可见，相关函数的模值受到两路信号频差的影响，在积分时间较短时，由于双星条件下的频差大小有限，式(7)中指数项可以近似为常数项，对相关峰值的影响不大。

雷达信号时差估计精度下界的表达式[12]为：

式中，N为脉冲个数；τ为脉宽；Bs为噪声带宽；B为信号带宽；γ为等价信噪比；BNτ为相关增益。

由式(8)可知，为获得更高精度的时差估计，需要通过增加脉冲积累个数延长观测时间。实际应用中均是对采集的离散数据进行处理，故下面的讨论均采用离散表达式。此外，为方便讨论，定义T为脉冲重复周期，K为脉冲重复周期对应的采样点数，M为脉内样点数，L为信号总样点数，后面讨论均按此定义。

此时，积分时间的增加使得式(7)中频差造成的指数项不能近似为常数，两信号的频率出现明显的差异，导致相关计算误差较大。考虑离散化后的两路信号x(n)和y(n)的相关函数，可等效为3个FFT的快速计算，有：

式中，X(k)、Y(k)分别是x(n)、y(n)的傅里叶变换。

对于两路信号频谱共轭相乘，由于雷达信号是周期性信号，延长采样时间时其频谱将逐渐成为梳状谱，谱线间的间隔频率即为信号的重复频率。当两路信号之间存在频差时，谱线位置就不一样，如图2所示。图中，“.”和“*”分别描绘了两路雷达信号的频谱。显然，频差的存在导致两路信号频谱幅度较大的谱线没有重合，共轭相乘接近于零，能量无法积累，再通过IFFT计算相关结果，峰值无法体现，即频差存在对时差估计的影响主要是雷达信号的周期性导致的频谱离散化引起的。

假设雷达信号x(n)有N个脉冲，每个脉冲周期对应的样点数为K，则其长度LNK=。对x(n)以K点分段进行处理，其离散傅里叶变换为：

式中，0N表示长度为N的零序列。对式(10)抽取N倍，可得：

此时求得的时差分辨率受采样率的限制。一般通过增加IFFT的长度或对相关峰进行多项式拟和插值来提高时域的分辨率。第一种方法运算量巨大，第二种方法插值后精度不高。本文根据CZT(Chirp-Z Transform)[14]提出一种可以任意分辨率对相关峰进行插值的方法，由于只需在已求得的时差左右各半个采样间隔内计算，运算量非常小。

上述雷达信号的时差估计方法，通过对信号延拓并剔除主值区间外的相关计算，避免了频谱呈离散化谱线时频差对时差估计的影响。另外，通过将长度LNK=的FFT计算转换为N段K点的FFT计算，并结合高效CZT插值的方式，在保证精度的同时，降低了运算量。

2.3 雷达信号的频差估计

估计并补偿时差后，还需要频差才能定位。与时差类似，频差范围可根据星历计算，因为信号信噪比较高，一般情况下的估计结果在频差范围内不会出现重频模糊。即使出现了模糊，也可通过双时差粗定位的方法解模糊[7]，或通过多级频率估计方法在频差范围内完成解模糊[15]，频差估计精度下界

由式(13)可知，频差估计精度与积累时间关系最为密切，积累时间越长，估计精度越高。因此需要积累足够多个脉冲才能提取较为精确的频差。而脉宽远小于脉冲重复周期，即有大量的脉间无用信号，可利用这一特征，改进互模糊函数，降低雷达信号频差提取的运算量。

首先，通过求得的时差将两路信号对齐后共轭相乘得到混合积信号。脉冲对齐后，两路信号共轭相乘时有足够多的样点不为零，混合积信号为：

此外，还有学者从契约融合的角度进行分析.如Xiong等 [10-11]在回购契约的基础上考虑了数量弹性契约，Chung等[12]将价格折扣激励契约融入数量弹性契约之中，Lumsakul等[13]设计了一组收益共享契约与数量弹性契约的复合式契约，朱海波和胡文[14]研究了期权与数量柔性契约的融合.也有研究从不同行业为对象，如Li等[15]以化妆品行业供应链为对象，构建了数量弹性契约下的两阶段动态模型，求解零售商和制造商的最优订货和定价策略.

式中，T为脉冲重复周期。可见，此时对频差的估计就是对频率fd的估计。假定采集到N个脉冲的雷达信号，则求频差就是对式(14)的混合积信号脉冲串zi(n)作FFT，求其频谱最大值对应频率，与式(11)类似，以脉冲重复周期对混合积信号进行分段计算其傅里叶变换为：

因为可根据卫星星历计算其覆盖范围内的频差范围，故式(15)中DFT计算部分采用CZT方法以分辨率fs/L直接计算频差范围频谱，有：

上述雷达信号频差提取方法利用了分段计算傅里叶变换的思想，只对脉内信号进行处理，同时通过CZT变换实现局部频域的快速高分辨率计算，提高分辨率的同时减少了运算量。

2.4 低轨双星雷达信号时频差快速估计流程

综上所述，本文提出的低轨双星定位中雷达信号时频差快速估计算法，流程框图如图4所示。

具体步骤为：

1) 对雷达信号作自相关，求得脉冲重复周期；

2) 以脉冲重复周期对雷达信号作周期延拓；

3) 计算式(12)中第一项的相关函数主值区间，求得时差粗估值；

4) 利用CZT在粗估值附近精估时差；

5) 对其中一路雷达信号完成时差补偿；

6) 将补偿时差后的两路雷达信号进行共轭相乘；

7) 以脉冲重复周期结合CZT分段计算频差范围频谱，求得频差粗估值；

8) 利用CZT在粗估值附近精估频差。

2.5 运算量分析

根据图4所示的流程框图，统计每步计算包含的复乘次数，得到低轨双星定位中雷达信号时频差快速估计算法的运算量分析结果，如表1所示。自相关计算求脉冲重复周期时只需两个脉冲周期即可；计算混合积信号时只需考虑脉内信号部分。对K点序列做P点输出的CZT的复乘次数[16]为：

式中，Q是保证Q≥K+P−1条件下，2的整数次幂。P1,P2,P3分别表示时差精估时、分段计算频差范围频谱和频差精估时的CZT输出点数。

3 仿真分析

本文将从运算量和精度两方面，对低轨双星定位中雷达信号时频差快速估计算法的性能进行仿真分析。

仿真参数设置如下：采样率为10 MHz，雷达信号频率为1 GHz，信号带宽为1 MHz，重复周期为500 μs，脉宽50 μs，时差搜索范围为−200～200 μs，频差搜索范围为−2～2 kHz。

3.1 运算量对比分析

将本文算法与传统的互模糊函数方法均按照先粗估后精估的方式进行运算量的对比分析，且时频差精估计的分辨率均为1 ns和1 mHz，得到如图5所示的两种方法运算量随观测时间变化的对比图。

由图5可知，相比传统的模糊函数方法，本文的算法的运算量要小得多，且随着观测时间的增加，优势更为明显，能降低两个数量级以上。快速估计算法的运算量随着观测时间的增加而反降，这是因为在信号参数不变时，前6个步骤运算量恒定，在后两步骤中，步骤8)求频差精估值时的运算量又是主导因素。随着观测时间增加，原始频率分辨率提高，需要的插值倍数减小，CZT输出点数3P减少，运算量降低。虽然观测时间的增加导致步骤7)中CZT输出点数2P增加，但其导致的运算量的增大量却小于步骤8)的减小量，故出现了运算量随观测时间的增加而反降的情况，若时间无限延长，最终运算量将趋于恒定值。这说明本文算法的运算量受观测时间的影响很小，对于大数据量的处理更具优势。

3.2 时频差估计精度仿真分析

假定两颗间隔80 km的低轨卫星，其轨道根数如表2所示。

表中，a是半长径，e是偏心率，i是倾角，ω是卫星过近地点角的经度，Ω是升交点赤经，M是平近地点角。在两颗卫星共视区域内随机生成辐射源的位置，根据其相对于两颗卫星的几何关系和星历产生存在时频差的两路雷达信号，再添加相应功率的高斯噪声，利用本文方法完成100次蒙特卡洛仿真，得到如下统计结果。

脉宽为50 μs，积累10个脉冲时，不同信噪比条件下，本文方法和传统方法的时频差估计精度与克拉美罗下界的曲线图如图6所示。在脉宽和脉冲个数确定的前提下，随着信噪比提高，时频差估计精度相应提高。

脉宽为50 μs，信噪比10 dB时，不同脉冲积累个数条件下，本文方法和传统方法的时频差估计精度与克拉美罗下界的曲线图如图7所示。当脉宽和信噪比确定时，脉冲积累个数增加，相关增益BNτ随之增大，时差估计精度提高，如式(8)所示；脉冲个数N和相关增益BNτ均随之增大，频差估计精度提高，如式(13)所示。

积累10个脉冲，信噪比10 dB时，不同脉冲宽度条件下，本文方法和传统方法的时频差估计精度与克拉美罗下界的曲线图如图8所示。当脉冲积累个数和信噪比确定时，脉宽增加，相关增益BNτ增大，时频差估计精度随之提高，如式(8)和式(13)所示。

通过上述不同条件下的时频差估计精度与克拉美罗下界变化曲线的对比可以看出，本文的方法在各种条件下均能够很好地逼近克拉美罗理论下界，均能实现相应条件下的最优估计。

4 结 束 语

本文针对低轨双星条件下雷达信号信噪比高、呈周期性的特点，在互模糊函数的基础上，提出了一种运算量小、精度高的雷达信号时频差快速估计算法。该方法避免了互模糊函数中的二维搜索，利用高效的CZT插值方法，大幅提高了时频域上的计算分辨率，在提高计算速度的同时，保证了算法的估计精度。仿真结果表明，在观测时间20 ms以上时，该算法的运算量相对互模糊函数方法能降低两个数量级以上，并在各条件下均能逼近时频差估计的克拉美罗理论下界。故该算法可以有效地提升低轨双星定位系统对雷达信号定位的时效性和准确性。

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编 辑 税 红

Fast Algorithm of TDOA and FDOA Estimation for Radar Signals in LEO Dual-Satellite Location

YANG Yu-xiang, XIA Chang-xiong, CHEN Jing, and XIONG Jin-yu
(Science and Technology on Blind Signal Processing Laboratory, Southwest Electronics and Telecommunication Technology Research Institute Chengdu 610041)

Cross ambiguity function (CAF) in the joint estimation of time difference of arrival (TDOA) and frequency difference of arrival (FDOA) is limited by large computation load, sampling rate and data size. To solve these problems, a fast algorithm of TDOA and FDOA estimation based on the characteristics of radar signal in the situation of LEO dual-satellite passive location is proposed, which first estimates the TDOA by prolonging the signals periodically and only computes the main zone of the correlation function, then estimates the FDOA by Fourier transform of the mixed signal only with the internal signal of pulses, and finally interpolates in time domain and frequency domain effectively. The simulation results show that the proposed algorithm not only decreases the computation load but also guarantees the high estimation accuracy.

FDOA; LEO dual-satellite; passive location; radar signal; TDOA

TN911.7

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2015.03.002

2013 − 05 − 16;

2014 − 12 − 31

部级基础科研项目；部级预研基金

杨宇翔(1984 − )男，博士生，主要从事信号处理、目标检测定位等方面的研究.