罗高骏, 左可正, 周 良
(湖北师范学院 数学与统计学院, 湖北 黄石 435002)
广义和超广义投影算子的一些新特征
罗高骏, 左可正*, 周 良
(湖北师范学院 数学与统计学院, 湖北 黄石 435002)
利用矩阵的Σ-K-L分解,研究了广义投影算子(A2=A*)和超广义投影算子(A2=A+)的性质,得到了一些新的特征,这些结论推广了Baksalary的有关结果.
广义逆; 广义投影算子; 超广义投影算子
用Cm,n表示复数域上的所有m×n矩阵组成的集合,用A*,R(A),r(A),In分别表示矩阵A的共轭转置,值域,秩和n阶单位矩阵,用N表示自然数集.当A是n阶方阵时,规定A0=In.
在文中将会涉及矩阵的几种广义逆(参见文献[1-2]).用A+∈Cn,m表示矩阵A∈Cm,n的Mooer-Penrose逆,它满足以下4个等式:
1)AA+A=A, 2)A+AA+=A+, 3)AA+=(AA+)*, 4)A+A=(A+A)*.
对任意矩阵A∈Cm,n,如果存在矩阵A(i,j,…,l)∈Cn,m,且满足上述等式1),2),3),4)中的任一个或多个等式,用A{i,j,…,l}表示这类矩阵的集合,那么A(i,j,…,l)∈A{i,j,…,l}叫做矩阵A的{i,j,…,l}逆.
用A#∈Cn,n表示矩阵A∈Cn,n的群逆, 它满足以下3个等式:
AA#A=A,A#AA#=A#,AA#=A#A,
且矩阵A的群逆存在的充要条件是r(A)=r(A2).
{A∈Cm,n:A*=A+},
(1)
(2)
{A∈Cn,n:A2=A=A+},
(3)
(4)
(5)
{A∈Cn,n:R(A)=R(A*)},
(6)
(7)
199 7年, Grob和Trenkler在文献[3]中提出了广义投影算子和超广义投影算子的概念,其定义如下:
定义1设矩阵A∈Cn,n,
1) 当A2=A*时,矩阵A称作广义投影算子;
2) 当A2=A+时,矩阵A称作超广义投影算子.
200 4年,Baksalary和Liu在文献[4]中给出了广义投影算子的3个新刻画:
同一年,在文献[5]中Baksalary给出了超广义投影算子的刻画:
200 8年, Baksalary在文献[6]中给出了广义投影算子的两个新刻画:
200 9年, Baksalary在文献[7]中给出广义投影算子和超广义投影算子的几个等价条件,即下面的引理1,引理2.
引理1[7]设A∈Cn,n,则以下6个条件等价:
引理2[7]设A∈Cn,n,则以下4个条件等价:
本文将Baksalary在文献[7]中的结果(即引理1和引理2)中的Mooer-Penrose逆推广到{1,4}逆和{1,3,4}逆,并得到了广义投影算子和超广义投影算子的几个新刻画.
在文献[6-7]以及本文中,广义投影算子和超广义投影算子的几个结果都是运用文献[8]中推论6提出的矩阵的Σ-K-L分解计算出来的,该分解如下:
引理3[8](Σ-K-L分解)设A∈Cn,n,且r(A)=r,则存在酉矩阵U∈Cn,n使得
(8)
其中,Σ=diag(σ1Ir1,…,σtIrt),σ1>σ2>…>σt>0,r1+r2+…+rt=r,K∈Cr,r,L∈Cr,n-r且KK*+LL*=Ir.
由(8)可以计算出,
(9)
如果有条件r(A)=r(A2),那么A#存在且有,
(10)
利用矩阵的Σ-K-L分解,Baksalary在文献[9]中给出了一些特殊算子的刻画条件,即下面的引理4.
引理4[9]设A∈Cn,n,且r(A)=r,A有(8)中的分解形式,则
引理5设A∈Cn,n,A有(8)中的分解形式,则
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
本部分主要是用引理3,引理4和引理5,将Baksalary在文献[7]中的结果进行了推广,将引理1和引理2中的Mooer-Penrose逆推广到{1,4}逆和{1,3,4}逆.
再由引理5的(13)式直接计算可得
所以A=A(1,4)A*.
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适当增加条件后,可以得到下面的定理2.
所以A=A*A(1,3,4).
再由(10)式, 引理5的(13)式直接计算可得
所以A=A(1,4)A#.
适当增加条件后,可以得到下面的定理4.
所以A=A#A(1,3,4).
定理5设A∈Cn,n,则以下3个条件等价:
证明下面只证明(i)⟺(ii),而(i)⟺(iii)可以用类似的方法证明.
所以A=A(1,4)(A#)2A.
⟸由A的Σ-K-L分解及引理3,(10)式, 引理5的(11)式和A=A(1,4)(A#)2A直接计算可得
L*Σ-1K-1Σ-1K-1Σ-1ΣK=0,可得L*=0,即L=0.而KK*+LL*=Ir,故K-1=K*.
定理6设A∈Cn,n,则以下3个条件等价:
证明下面只证明(i)⟺(ii),而(i)⟺(iii)可以用类似的方法证明.
所以A=(A*)2A(1)A.
⟸由A=(A*)2A(1)A,可得R(A)⊆R((A*)2)⊆R(A*),而r(A)=r(A*),所以R(A)=R(A*),故矩阵A是EP阵即L=0.
由A=(A*)2A(1)A和A的Σ-K-L分解及引理3,引理5的(14)式,可得
所以A=A*(A(1,4))l(A#)dAl+d-1.
⟸由A=A*(A(1,4))l(A#)dAl+d-1,可得R(A)⊆R(A*),而r(A)=r(A*),所以R(A)=R(A*),故矩阵A是EP阵即L=0.
由A=A*(A(1,4))l(A#)dAl+d-1和A的Σ-K-L分解及引理3,(10)式,(13)式可得
其中,X=(ΣK)1-lB3+(ΣK)2-lB3D3+(ΣK)3-lB3D32+…+(ΣK)-1B3D3l-2+B3D3l-1,
2) 将定理7中的A=A*(A(1,4))l(A#)dAl+d-1的等式右边A*固定在等式右边的末尾,随意交换(A(1,4))l,(A#)d,Al+d-1这三项的位置, 定理7仍成立.必要性的证明与定理7类似,而充分性的证明是由A=(A(1,4))l(A#)dAl+d-1A*和A的Σ-K-L分解及引理3,(10)式和引理5的(12)式直接计算可得ΣL=0,其证明方法与定理7充分性的证明类似.
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Some new properties of generalized and hypergeneralized projectors
LUO Gaojun, ZUO Kezheng, ZHOU Liang
(Department of Mathematics, Hubei Normal University, Huangshi, Hubei 435002)
Using the decomposition ofΣ-K-Lofthematrix,weobtainseveralnewpropertiesandcharacteristicsofthegeneralizedprojectors(A2=A*)andthehypergeneralizedprojectors(A2=A+),whichgeneralizesomerelatedresultsofBaksalary.
generalized inverse; generalized projectors; hypergeneralized projectors
2014-12-16.
国家自然科学基金项目(11271105);湖北省教育厅重点项目(D20122202).
1000-1190(2015)04-0488-04
O151.2< class="emphasis_bold">文献标识码: A
A
*通讯联系人. E-mail: xiangzuo28@163.com.