纳什的数学贡献与展望

舒尚奇

(渭南师范学院 数理学院，陕西渭南714099)

约翰·纳什(John F.Nash)，美国数学家，普林斯顿大学数学系教授，主要研究博弈论、微分几何学和偏微分方程.

1 纯数学上的杰出贡献

沃尔夫数学奖及阿贝尔奖双料得主格罗莫夫说:“依我看来，纳什在几何学中的成果比在经济学中的成果高出好几个数量级，后者根本没法比.这些成果带来的是思考问题的态度上的巨大转变.”［1］

纳什第一个纯数学的突破性成果是在他20岁刚出头的时候做出的“一个关于流形和实代数簇的漂亮发现”［1］.这是一个深刻的结果.

1951年，纳什在麻省理工学院开始了关于“等距嵌入”的研究，考虑黎曼流形是否能看成欧几里得空间的子空间.他的Nash Embedding Theorem，证明了any Riemannian manifold can be isometrically embedded in a Euclidean space.在数学里，黎曼流形非常抽象，而欧几里得空间比较接近现实世界，人们便于理解.最后，他用两个“纳什嵌入定理”解决了这个问题［2］.这些结果，被认为是20世纪的经典结论，提供了最深层次的数学直观.同时，纳什嵌入定理的发现让纳什很自然地进入了另外一个数学分支——偏微分方程的研究.他利用纳什嵌入定理解出了之前一直被认为是不可能解出的一类偏微分方程.他所用的方法，被沃尔夫数学奖得主墨瑟完善后发表，定名为“纳什－墨瑟定理”［2］.在微分几何和实代数几何上，纳什有2个影响深远的定理:第一，任何黎曼流形都可以等距嵌入到欧氏空间中;第二，给定任何闭流形，都存在一个实代数簇，这个代数簇的某个连续分支与给定的流形同构.

2015年纳什对椭圆偏微分方程进行研究，也就是Hilbert第十九个问题，在椭圆型二阶偏微分方程的理论中，有一部分现在被称作德·吉奥吉－纳什定理，发展这套理论最早是为了证明某些Euler－Lagrange方程的解的正则性.例如，可以考虑如下的变分问题:设F(p)是定义在Rn上的光滑函数，求出适当的函数，使得它是如下泛函数:的临界点.自然要问:它有临界点吗?临界点有没有所需求的性质?通过一些计算与讨论，问题往往要归结到研究如下的“散度”形式的二阶椭圆微分方程:(研究的是弱解).其中系数矩阵只满足一些相当宽泛的条件:它们在所讨论的区域上是一致正定的对称矩阵，并且是有界可测的.德·吉奥吉和纳什使用了不同的方法独立地得到了有关这一方程的结果.纳什研究了相应的热方程并且得到了赫尔德的估计，即证明了弱解的赫尔德连续性.椭圆方程可以视作不依赖时间的热方程，从而其结果可以一并得到.由此即可推出原来变分问题的解具有相当好的正则性，即给出了Hilbert第十九问题的答案.这个成就足以让纳什获得了数学界的最高荣誉——菲尔兹奖，只不过菲尔兹奖只颁发给年龄不超过40岁的数学家.而在这之前，德·吉奥吉用另外一个方法也解决了这个问题，因此，这个结果定名为德·吉奥吉－纳什定理［2］.为表彰纳什在非线性偏微分方程理论及其在几何分析方面做出的开创性的显著贡献，2015年的阿贝尔奖授予来自美国的两位数学泰斗约翰·纳什和路易斯·尼伦伯格.他们的突破已发展成应用广泛、功能强大的数学方法，成为研究非线性偏微分方程的重要工具，其影响遍及非线性偏微分方程的所有分支.

2 博弈论方面的开创性成果

1950年，纳什在普林斯顿大学以非合作博弈(Non－cooperative Games)为题的毕业论文获得博士学位.在这篇论文中，纳什提出了纳什均衡这个重要概念.此概念影响深远，已成为博弈论中最为核心的概念，极大地推动了博弈论的发展及其在社会科学领域中的应用，特别是促进了经济学的发展.著名博弈论学者、诺贝尔经济学奖得主罗杰·迈尔森(Myerson，1999)认为，发现纳什均衡的意义可以和生命科学中发现DNA的双螺旋结构相媲美［3］.

1950年和1951年纳什的两篇关于非合作博弈论的论文，改变了人们对竞争和市场的看法.他证明了非合作博弈及其均衡解，并证明了均衡解的存在性，即著名的纳什均衡.纳什的研究奠定了现代非合作博弈理论的基础，以后博弈论的研究基本上都是沿着这条路径展开的.在当今科学界，人们普遍认为，与牛顿和爱因斯坦的数学理论相比，纳什的数学理论触及的学科更多.牛顿和爱因斯坦的数学旨在处理物理问题，而纳什的数学却可以应用在自然科学和社会科学的众多领域.

博弈论主要是由冯·诺依曼(1903—1957)创所立的.他是一位天才的数学家.他不仅创立了经济博弈论，而且发明了计算机，被称为计算机之父.博弈论毕竟是数学，更确切地说是运筹学的一个分支，因此，说起博弈论自然要用数学语言，也就是一大堆数学公式.早在20世纪初，塞梅鲁(Zermelo)、鲍罗(Borel)和冯·诺伊曼已经开始研究博弈的准确数学表达，直到1939年，冯·诺依曼遇到经济学家奥斯卡·摩根斯特恩(Oskar Morgenstern)，并与其合作才使博弈论进入经济学领域.1944年他与奥斯卡·摩根斯特恩合著的《博弈论与经济行为》标志着现代系统博弈理论的形成.但由于它过于抽象，使其应用范围受到很大限制，对博弈论的研究只有少数数学家关注.所以，影响有限.这时，纳什提出了非合作博弈“纳什均衡”的概念，它标志着博弈论的一个新时代的开始!在经济博弈领域，纳什做出了划时代的贡献，是继冯·诺依曼之后最伟大的博弈论大师之一.他提出的著名的纳什均衡的概念在非合作博弈理论中起着核心的作用［3］.由于纳什在博弈论上的开创性成就，他与约翰·海萨尼(John Harsanyi)和莱茵哈德·泽尔腾(Reinhard Selten)一起获得了1994年诺贝尔经济学奖.

博弈论提供了一种计算各种可能决策所产生效益的数学方法，该理论为在各种竞争性场合做出最佳决定建立了一套具体的数学方法.正如经济学家赫伯特·金迪斯(Herbert Gintis)所说，博弈论是我们“研究世界的一种工具”.“它不仅研究人们如何合作，而且研究人们如何竞争”.同时，“博弈论还研究行为方式的产生、转变、散播和稳定.”［4］博弈论不是纳什发明的，但他扩大了该理论的范围，为之提供了解决实际问题的有力工具.在一开始，他的研究成果并没有受到人们的重视.他的文章发表在20世纪50年代，当时博弈论仅在冷战分析家之间流传，这些分析家认为国际侵略和利益最大化之间有一些相似之处.在经济学界，博弈论还被视为一种新奇事物.经济学家萨缪·鲍尔斯(Samuel Bowles)说:“在当时博弈论羽翼未丰，如同经济学中其他许多优秀的思想一样，它还没有受到人们的关注.”［5］然而在20世纪70年代时情况发生了改变，进化论学派的生物学家开始采用博弈论研究动植物中的生存竞争现象，紧接着在20世纪80年代，经济学家终于开始以各种不同方式将博弈论应用于经济学中，尤其是将它用在设计真实试验以验证经济学理论方面.到20世纪80年代末博弈论在经济学领域已经充分显示了它的作用.如今学过经济学的人都知道博弈论，学过博弈论的人都知道“纳什均衡”，足见纳什对经济学的影响.

3 影响前瞻

现在经济学家继续使用博弈论分析人们如何做出有关经济的决策;生物学家用它来建立假说以解释适者生存原理和利他主义的起源;人类学家使用它来研究原始文化，从而说明人性的多样化;神经科学者通过研究博弈者的大脑，试图发现决策如何反映人们的动机和情感.事实上，神经经济学—一个完全新的研究领域——也已基本成型.该学科将博弈论的思想方法与脑部扫描技术相结合，旨在探测、测量与人类决策行为相关的神经活动.神经科学家瑞德·蒙塔古(Read Montigue)说:“我们正在以研究波音777机翼上气流的精密程度定量研究人类的行为.”［6］简言之，纳什的数学理论连同在其基础上建立起来的现代博弈论已经成为科学家研究众多与人类行为相关课题时的首选方法.事实上，赫伯特·金迪斯认为，博弈论已经成为“一种研究行为科学的通用语言”.

(1)博弈论与统计力学.现在博弈论和物理学在一些前沿领域中的结合已相当紧密.物理学家一直在寻找描述自然界的大统一理论，在此过程中博弈论有望大显身手.统计力学是物理学家用于描述世界复杂性的一个最有力的万能工具.在过去的一个多世纪中，物理学家一直在用它来描述诸如气体、化学反应、磁性材料特征等问题——更确切地说就是定量研究物质在各种不同环境下的行为特征.这是在缺乏具体数据的情况下研究物质行为这幅“巨画”的有效途径.举个例子，房间内游离了数以万计的气体分子，你不可能跟踪每一分子的轨迹，但统计力学可以通过研究大量粒子的统计学行为来解释空调为何能改变环境温度［7］.

(2)博弈论与生物学.博弈论在进化生物学研究中起到重要作用，这毫不令人吃惊.博弈论是关于竞争的理论，而生物进化就像永无休止的奥林匹克竞赛.如果复杂的生命产生进化过程遵循博弈论原理，那么人脑的发展变化无疑也应该遵循同样的规律.大脑科学家想要挖掘人们经济决策背后的神经生理学机制，就要设法了解人脑是如何工作的，因此，博弈论在该领域的盛行是一件非常自然的事情.反过来，人脑又决定了人类所有其他行为，如个人的行为、人与人之间的行为、社会行为、政治行为以及经济行为.所有这些行为又决定着个人、社会、政治和经济活动体系的发展变化.

(3)博弈论与化学.参加化学反应的分子似乎不需要任何的生存竞争，但实际上，竞争一直存在.博弈论和统计力学之间的联系肯定能为博弈论在化学中寻找到用武之地.比如说，参加反应的分子总是在寻找能量最小的状态以达到稳定.分子的这种对能量最小化的“渴望”与生物机体对最大程度适应环境的“渴望”没有什么太大的差别，对它们的研究可以用到类似的数学方法或者可以说从数学的观点看，它们就是一回事.

(4)博弈论与物理学.物理学覆盖的领域要远远大于统计力学，还有天体物理学、宇宙学以及亚原子领域.在近几年，物理学家和数学家相互合作共同创立了量子博弈论.迄今为止，量子理论似乎正在丰富着博弈论，然而这种丰富也可能是相互的.现代科学界非常着迷信息论，他们利用信息论的数学思想和隐喻去描述从黑洞到人脑计算活动的各类科学.在过去的几十年间，量子信息论导致了人们对量子物理学的再认识，从而产生了对量子物理学的许多新描述，不仅如此，许多理论家还认为信息论思想是统一量子场和引力场的关键，也许是通往万物“终极理论”的必由之路.沃尔伯特推测，“博弈论可能是寻找这一终极理论的一个必不可少的工具，有了它成功的可能性就大大提高了.”［8］

这样我们可以认为博弈论的数学思想，使它成为很多学科处理问题的工具.那些困扰着科学界的复杂系统——比如躯体、大脑、社会.它们不是人们按照某种计划设计的，而是源于各单元间的联系，比如细胞与细胞之间的相互作用或人与人之间的关系，这些都属于竞争性相互关系，而博弈论针对的正是这类问题.很明显纳什的数学理论提供了一个反映现实世界规律的前所未有的方法.或许我们也能看到纳什的数学理论是如何作为将经济学、心理学、人类学和社会学与生物学和物理学之间做合并进而创造出包含宏观生命科学、人类个体行为乃至整个物质世界的大一统理论.在这个过程中，我们应该放开眼界看待这个迅速兴起的研究领域，它将把20世纪50年代纳什的数学的思想与19世纪的物理学和21世纪的神经科学结合起来.

［1］O.D.Kellogg.Foundations of Theory［M］.New York:Dover Publications，1954.

［2］L.C.Evans.Partial Differential Equations［M］.Providence:American Mathematical Society，1998.

［3］Dixit，A.K，S.Skeath.Games of Strategy［M］.New York:Norton ＆ Company，2004.

［4］Osborne M.J.An introduction to game theory［M］.Oxford:Oxford University Press，2003.

［5］［美］汤姆·齐格弗里德.纳什均衡与博弈论［M］.洪雷，陈玮，彭工，译.北京:化学工业出版社，2011.

［6］谢识予.经济博弈论［M］.上海:复旦大学出版社，2002.

［7］［美］迈尔森.博弈论［M］.于寅，费剑平，译.北京:中国经济出版社，2001.

［8］［美］迪克西特，［美］奈尔伯夫.策略思维［M］.王尔山，译.北京:中国人民大学出版社，2013.