s-弱拟正规与有限群的p-幂零性*

孙 杨，钱方生

(哈尔滨师范大学)

0 引言

众所周知，幂零群是一类重要的群．近年来，国内外的许多学者都从事过这方面的研究工作．钱国华和朱天平在文献［2］中给出了弱拟正规的概念:群G的子群H称为在G中弱拟正规，若对G的任意子群T，至少存在一个T的共轭子群Tx，其中x∈G，使得HTx=TxH．笔者试图利用这一概念，探究弱拟正规对有限群的p-幂零性的影响．

该文所涉及的群皆为有限群，π(G)表示能整除|G|的素数的全体．其余的符号和术语都是标准的．

1 预备知识

定义［2］群G的子群H称为在G中弱拟正规，若对G的任意子群T，至少存在一个T的共轭子群Tx，其中x∈G，使得HTx=TxH．若进一步限制T∈Syl(G)，则称H在G中s-弱拟正规．

定义2［5］群G的子群H称为在G中弱c*-正规，设H≤G，若存在G的次正规子群K，使得G=HK并且H∩K是G的s-拟正规嵌入子群．

引理1［2］若H在G中弱拟正规．则

(1)对于任意的N ＜G，NH在G中弱拟正规，HN/N在G/N中弱拟正规．

(2)对于任意的x∈G，Hx在G中弱拟正规．其中H*={hx=x-1hx|h∈H}是H的共轭子群．

证明 (1)由于H在G中弱拟正规，则对任意的P∈Sylp(G)，存在x∈G，使得HPx=PxH成立．因此

(HN/N)(PxN/N)=HPxN/N=PxHN/N=(PxN/N)(HN/N)．

所以HN/N在G/N中弱拟正规．

(2)由于H在G中弱拟正规，则对任意的P∈Sylp(G)，存在y∈G，使得HPy=PyH成立．故HxPyx=PyxHx．下令g=yx．于是任意的P∈Sylp(G)．存在g∈G，使HxPg成群．所以，Hx在G中弱拟正规．

注:对s-弱拟正规子群，有类似的结论．

引理2［3］设G为有限群，N≤G，K ＜ G．若N的极大子群在G中弱拟正规，则NK/K的极大子群在G/K中是弱拟正规的．

证明 对于任意M/K＜·NK/K．有M=M∩NK=(M∩N)K．设N1＜·N且M∩K≤N1．则N∩K≤N1∩K≤N∩K．即N∩K=N1∩K．故N1K ＜NK．又M=(M∩N)K≤N1K ＜NK．由M ＜·NK，故得M=N1K．由引理1(1)知，M/K=N1K/K在G/K中是弱拟正规的．

引理3［4］设G是p-可解的外p-超可解群，则G=F(G)M，F(G)∩M=1，其中 F(G)为G的唯一极小正规子群，|F(G)|=Pα，α＞1，F(G)为Pα阶初等Abel-p群，M为G的p-超可解极大子群．

引理4［6］设U，V，W是群G的子群，则下列条件等价．

(1)U∩VW=(U∩V)(U∩W)

(2)UV∩UW=U(V∩W)

引理5［7］设G是群，N ＜ G，H为G的s-拟正规嵌入子群．则

(1)H≤M≤G，H在M中s-拟正规嵌入．

(2)HN在G中s-拟正规嵌入，HN/N在G/N中s-拟正规嵌入．

(3)H是 G的 s-拟正规 p-子群，则Op(G)≤NG(H)．

(4)若对某个素数p，H≤Op(G)，则H在G中s-拟正规嵌入．

(5)H在G中s-拟正规嵌入且HG=1，则H的Sylow子群在G中s-拟正规．

引理5［10］设G是群，p是G的素因子且(G，p-1)=1，则若N是G的p阶正规子群，则N包含于Z(G)．

2 主要结果

定理1 设G是群，p是π(G)中的最小素数．P为G的一个Sylow p-子群．若P的所有极大子群在G中或者是s-弱拟正规，或者是弱c*-正规的．则G为p-幂零的．

证明 假设结论不成立，取G为极小阶反例．

(1)G有唯一的极小正规子群H，G/H为p-幂零的．且Φ(G)=1．

(2)Op'(G)=1．

若T=Op'(G)≠1，考虑=G/T．因为G/H为p-幂零的．所以/≌G/HT亦是p-幂零的．其中=HT/T．设=P1T/T＜·PT/T．其中P1＜·P．因为P1在G中或者是s-弱拟正规，或者是弱c*-正规．则可知在中或者是s-弱拟正规，或者是弱c*-正规．由G的极小性知为p-幂零的．所以G也是p-幂零的．矛盾．所以Op'(G)=1．

(3)Op(G)=1且G是非可解的．

若Op(G)≠1．由(1)知，H≤ Op(G)且Φ(Op(G))≤Φ(G)=1．因此G有极大子群K，使得G=HK且H∩K=1．因为Op(G)∩K ＞K，Op(G)∩K ＞H．因此Op(G)∩K ＞G．由H的唯一性有，H=Op(G)．且K为p-幂零的．显然P=HK=H(P∩K)，P1＜·P．使得(P∩K)≤P1，则P=HP1．由假设，P1在G中或者是s-弱拟正规，或者是弱c*-正规．若P1在G中是s-弱拟正规的，P1Kq≤G，且q≠p．从而P1＜Kq|q≠p＞ =P1Kp'≤ G．由于 |G:P1Kp'|=P，故P1Kp'＞ G．由(1)知H≤P1Kp'，从而H ≤P1．即P=HP1=P1．矛盾．若P1在G中是弱c*-正规的，则存在G的正规子群K1，使得G=P1K1且P1∩K1在G中s-拟正规嵌入．因此P1∩K1≤(P1)G．若(P1)G≠1，则由(2)知，H≤ (P1)G．故 P=HP1=P1．矛盾．则(P1)G=1．从而P1∩K1=1，P∩K1=P．由引理P∩K1∈Sylp(K1)．表明K1的Sylow p-子群为p阶循环群．又由于H≤P∩K．当然，H亦是p阶循环群．所以G/H为p-幂零的．因为p是π(G)的最小素数，(G，p-1)=1，所以由引理6知，有H≤Z(G)．所以G/Z(G)≤G/H，故G/Z(G)是p-幂零的．又由G的选取可知，G是p-幂零的．矛盾．因此Op(G)=1．结合(2)知，为非可解的．

(4)P的所有极大子群均在G中s-弱拟正规．

若否，则有P1＜·P在G中是弱c*-正规．存在K1＜ G，使得G=P1K1且P1∩K1≤Op(G)=1．表明K1的Sylow p-子群为p阶循环群．从而G是p-幂零的．矛盾．

(5)对任意的q≠p，GpGq＜G，GpGq为p-幂零的．

由［8．IV．Satz 28］知，Gp为非循环的．因此Gp至少有2个极大子群．设Gp=P1·P2，由假设PiGq≤G，i=1，2，因此GpGq≤G．由著名的pαqβ-定理及(3)知，GpGq＜G．由的极小性知，GpGq为p-幂零的．

(6)最后的矛盾．

由(5)知，［Gp，Gq］≤Gq，任意的q≠p．假设S1为 Gp的任一子群，记 NG(S1)=N1．因为［S1，(N1)q］≤Gp∩Gq=1．因此S1被(N1)p'中心化．由［9．10．32］知，G 是 p- 幂零的．最后的矛盾．

推论1 若G的每个Sylow子群的所有极大子群在G中或者是s-弱拟正规，或者是弱c*-正规的．则G一个具有Sylow塔的群．

证明 设p是π(G)中的最小素数．由定理1知，G是p-幂零的．设H为G的正规p-补．显然H满足定理假设．由归纳法知，H为一个具有Sylow塔的群．因此，G也一个具有Sylow塔的群．

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