极限概念中的文化涵义探析

王 波

(湖北科技学院 数学与统计学院，湖北 咸宁 437100)

极限概念中的文化涵义探析

王 波

(湖北科技学院 数学与统计学院，湖北 咸宁 437100)

极限是高等数学中的核心概念，极限的思想方法更是整个微积分的理论和应用基础。但由于各种原因，许多大学生在学习极限概念时都会产生较大困惑，对极限概念的理解也经常流于肤浅和表面。基于数学文化观的教学，在极限概念教学中，通过回溯极限产生的历史渊源，揭示其产生发展过程中蕴藏的思想方法、思维方式、理性精神等文化内涵，不仅有利于加深大学生对极限概念的理解和应用，更可以开阔学生视野，提升大学生的数学文化素养，激发学生学习热情和创新能力。

极限概念；文化涵义；思想方法

一、问题的提出

高等数学课程在高校的开设越来越普及，但是在教学过程中还是存在着许多值得探讨的问题。众所周知，高等数学最大的特点就是变量和无限，像极限、导数、定积分这些基本概念都是建立在动态变化和无限趋近等思想上，对学生来说极为抽象，很难一下子接受和全面理解。比如极限概念，它是整个高等数学的核心，极限的思想方法更是微积分的灵魂。但是极限概念的教学效果一直令人堪忧，许多大学生在学习极限概念时都容易产生较大困惑，对极限概念的理解往往流于表面和肤浅，这对于学生学习和掌握整个微积分是及其不利的。

数学文化的理论研究与教学是我国近三十年发展较为迅速的课题，一些重点高校的数学文化教学颇有成效。受数学文化观念的启发，我们发现，在极限概念的教学中追溯其产生的历史渊源、文化背景，利用“历史相似性原理”来预测学生学习时可能产生的困难并采取相应措施突破难点，揭示其产生发展过程中蕴涵的思想方法、思维方式、理性精神等文化内涵，引导学生欣赏极限概念中的辩证思想以及符号魅力，这样的教学具有示范和潜移默化的作用，不仅可以让学生深刻理解极限概念及其思想方法，更可以感受数学深厚的历史文化意蕴，开阔学生的视野，对于激发学生的创新热情和提升学生数学素养都有着十分积极的影响。

二、数学文化观下的极限概念的教学

基于数学文化的教学，很多时候要借助于数学的发展历史，这一方面是因为个体知识的发生与历史上人类知识的发生的一致性，因而对孩子的教育必须符合历史的顺序。另外也是因为数学的思想方法、理性精神等也往往体现在数学知识规律产生形成发展的过程中。正如M．克莱因所言：历史上大数学家遇到的困难，正是学生也会遇到的障碍，因而历史是教学的指南。波利亚说过：只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这些知识做出更好的判断。但数学专著和教材，由于其逻辑上要求的严谨与简练，常常把探索定理、发现证明的思路作为修建大厦的“脚手架”给拆除了，把证明中的思想方法作为建筑图纸收藏起来。而科学的教学方法是诱导人去做科学的思考，而不是一开始就去碰冷漠的、经过科学洗练的系统。所以在数学的教学，尤其是原始概念的教学中，教师一定要善于挖掘概念产生的历史渊源，还原历史本来面目，揭示发生发展的脉络、发现探索的思路以及遭遇的困难障碍等，以引导学生领悟其思想方法、社会背景等文化内涵，更好的理解和接受概念。比如极限概念的教学，在教学中可以始终渗透历史文化，通过追溯极限概念产生发展的过程，让学生在极限思想的起源、极限方法的雏形、极限概念的明确、极限理论的完善等循序渐进的过程中体会数学家们的辛勤、智慧和意志，领悟极限的思想方法及辩证思维、欣赏数学符号独特的魅力，真正理解和掌握极限的概念，使抽象难懂的极限概念形象化、具体化，消除学生对极限概念的困惑。

1.极限概念的教学步骤

教学具体步骤如下：第一，结合历史与实例，体会极限的思想方法及极限概念发生发展的过程；第二，充分感知，经历抽象，定性描述数学极限；第三，超越直观与运动，走向理性，定量描述极限概念；第四，在数列极限的基础上用类比的方法学习函数极限。

从极限概念教学中采取的这几个步骤，我们可以看到极限概念的形成历程：从定性到定量，从语言到符号，从动态到静态，从感性到理性，从直观到形式化。这样的过程不仅体现于历史的发展，也是一般数学概念的真实形成过程，更是符合学生的学习心理规律的。在教学过程中我们跟学生一起体会到，极限的实质就是变化趋势、是用有限表示无限、以静态描述动态、用常量刻画变量。极限概念的形成也体现了这样一个哲理：稳定不变的事物是过程、运动的结果，极限是无限与有限、常量与变量、静与动等矛盾关系的辩证统一。通过这样的教学，学生也进一步体会到通过有限来认识无限，用常量来刻画变量，通过变量研究常量等思想方法。另外，还可以引导学生通过古诗“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”的文学意境来比拟数学中极限的意境，沟通了文学和数学的联系。

2.极限教学中的文化涵义

(1)极限思想方法的渊源及本质

极限的思想方法和概念不仅蕴藏着微积分的思想精髓，而且有着巨大的文化价值。极限概念的理解和掌握不仅对大学生高等数学的学习起着至关重要的作用，对极限概念文化涵义的挖掘，更可以帮助大学生了解极限的来源、文化背景及其蕴藏的思想方法，对深刻理解极限和微积分有着积极的意义。但是在许多高等数学的教学中，有关极限的概念教学总是蜻蜓点水一带而过，不讲极限的思想方法的来源和实质，不讲极限概念的发展与困惑，不讲极限概念中的蕴藏着的丰富的辩证思想，这样的教学不仅让学生无法深刻理解极限的概念，更是无法体会到数学的文化价值。

极限思想方法是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。其实质是通过预测变化趋势来解决问题，所以早在两三千年以前就有极限思想的萌芽及应用。如古希腊数学家欧多克斯的穷竭法，德谟克利特的原子理论，阿基米德面积体积的计算方法，我国古代数学家刘徽的割圆术等等，都体现了早期极限思想方法的应用。而近代微积分产生前开普勒的旋转体体积、卡列瓦力的不可分量原理、笛卡尔的圆法、费马的极大值极小值求法、巴罗的微分三角形、沃利斯的无穷算术等更是体现了极限思想方法的深刻运用，直接促成了微积分的产生。

极限描述的是自变量的某个变化过程中，函数的变化趋势。用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。通过研究函数的变化趋势解决问题的方法叫极限方法。其实，极限方法的精神就是为了确定某个数量，最先确定的不是这个数量本身，而是一连串愈来愈准确的近似值，分析这一连串近似值的变化趋势，就能够将这个量的准确值唯一地确定下来。这是一个从量变到质变的飞跃过程，在本质上是一个深刻的辩证法，使人们意识到稳定不变的事物是过程和运动的结果。

(2)极限概念的渐进性产生和完善的历史

极限的思想和方法早已有之，但极限作为数学中的一个概念被明确提出，却是在微积分的诞生之后。19世纪，数学家们转向微积分基础的重建，极限概念才被置于严密的理论基础上。

英国数学家瓦利斯(1616—1703)最早提出变量极限的概念；欧拉、达朗贝尔、波尔查诺第一次把微积分的概念建立在极限的基础上；法国著名数学家柯西(1789—1857)在极限概念严谨化方面功不可没，他定性描述了极限的概念，把无穷小量定义为极限为“0”的量；在柯西、戴德金解决了实数理论之后，德国数学家魏尔斯特拉斯(1815—1897)引进了“ε—δ”语言，极限概念的严格化最终完成。

极限概念的形成经历了这样几个变化过程：从定性描述到定量描述；从语言到符号；从动态到静态，从几何到代数。

第一步：客观定性的描述：随着n的无限增大，xn与a无限接近；

第二步：引进距离概念是代数化精确化的第一步。xn与a无限接近相当于xn与a的距离|xn-a|无限小，意即距离要多小就有多小，也即距离可以小于任意给定的很小很小的数；

第三步：也是代数化最为关键的一步，引进符号“ ε”，代表任意给定的很小很小的正数。

(3)极限概念中的辩证法欣赏

高等数学的实质就是变量数学，是刻画运动和过程的数学。在高等数学中，几乎处处都充满了辩证法。正如恩格斯所言：数学的转折点就是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学。所以在高等数学的教学中，教师要善于揭示概念、公式、符号、解题方法中的辩证思想，让学生感受数学的哲学含义，感受高等数学中矛盾统一的和谐和美妙，提升数学和哲学素养。比如极限概念中，通过常量刻画变量，通过变量研究常量；用有限来把握无限；任意与给定的矛盾统一等等，就蕴含了潜无限和实无限(历史上的困扰或障碍)、有限与无限、定性与定量、动与静、常量与变量、近似与精确、量变与质变、直观与逻辑、几何与代数等辩证思想和矛盾双方的转化与统一。

(4)极限概念中数学语言符号的魅力

数学是一个符号的世界。数学符号是人们对客观事物运动变化规律最直观最简洁的表达方式，是交流和传播数学思想的媒介，也是唯一通用的世界语言。因此，对数学符号的深刻理解和运用至关重要。进一步地，如果我们能够知道数学符号的来源、含义，甚或美学价值，那么我们对数学符号的感悟则会深刻得多，更有助于我们的数学学习和提升数学素养。比如，极限概念中的那个小小的符号“ ε”，它本身的含义是：“任意给定的一个正数”，仔细分析和欣赏它，探究它在微积分严密化的进程中带来的巨大作用，你就会发现，这真的是一个神奇的符号！它是“任意”的，却又是“给定”的，矛盾吧？！它确实是一个完美的矛盾统一体！它集任意性与确定性于一身，解决了用有限刻画无限的难题，克服了极限概念中动态、直观描述的不精确性，使几百年来极限概念严格化的进程画上了一个完美的句号！这确实称得上是神奇了。

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2095-4654(2015)05-0014-03

2015-02-08

湖北科技学院教研项目(2014-XB-041)

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