框图的三个应用

王芹

一、用流程图计算

流程图在数学问题的解决过程中为我们提供明确的解题步骤和流程.正确识图、读图是学习流程图的一个重要方法.解题关键是要看懂流程图的含义. 借助流程图对问题进行分析使问题直观清楚地展现出来，降低问题的难度，体现了问题解决的动态过程.

例1  设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿[x]轴跳动，每次向正方向或负方向跳一个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点的运动方法共有       种（用数字作答）.

解析  设A（1，0），B（2，0），C（3，0），D（4，0），[A]（-1，0），

依照问题的情境，现用流程图表示为：

[O][A] [O][B][C] [B] [D] [B] [A] [A] [B] [C] [B] [A] [O] [A′]

即经过路程：

①[（0，0）→（-1，0）→（0，0）→（1，0）→（2，0）→（3，0）];

②[（0，0）→（1，0）→（0，0）→（1，0）→（2，0）→（3，0）];

③[（0，0）→（1，0）→（2，0）→（1，0）→（2，0）→（3，0）];

④[（0，0）→（1，0）→（2，0）→（3，0）→（2，0）→（3，0）];

⑤[（0，0）→（1，0）→（2，0）→（3，0）→（4，0）→（3，0）].

综上，跳动四次后，只有B点和D点可以跳到C点，故共有5种方法.

答案  5

二、利用结构图构建知识网络

熟悉知识结构才能正确地画出知识结构图.画知识结构图时，首先要对相关知识的每一部分都有深刻的理解和透彻的掌握，从头到尾抓住其主要脉络进行分解，然后将每一部分进行归纳提炼，形成一个个知识点，最后按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连.知识系统结构图能够帮助我们系统地梳理知识，建立起合理的知识结构.

例2  试写出我们认识数的过程的知识结构图.

解析  从大范围到小范围，逐步细化.如下图，

[复数][实数][虚数][无理数][有理数][分数][整数][自然数][负整数][真分数][假分数][正无理数][负无理数][纯虚数][非纯虚数]

三、框图与其它知识的整合

图形语言最突出的优点是形象直观、条理清晰，我们要养成用框图清晰地表达和交流思想的习惯. 例如下例情景新颖，涉及数列的累加、等比数列求和以及数列求最值等有关数列的基本知识，尤其是涉及到在框图情境下的转化能力，是培养大家理性思维和实践能力的一个好题.

例3  某企业生产的某种产品经市场调查得到如下信息，在不做广告宣传且每件获利[a]元的前提下，销售量为[b]件;若做广告宣传，销售量S与广告费n（千元）（[n∈N*]）的关系可用下图来表示：

（1）试写出销售量[S]与广告费[n]（千元）的函数关系式;

（2）当[a=10，b=4000]时该企业生产多少件产品，做几千元广告，才能获利？

解析  （1）设[Si]表示广告费为[i][（0≤i≤n，i∈N）]千元时的销售量，[ 结束 ] [输出[S]] [是][否][ 开始 ][输入[b]] [i>n？]

由上图可知[S0=b]，

[S1-S0=b2，S2-S1=b22，…Sn-Sn-1=b2n，]

上面各式相加得：[Sn-b=b2+b22+…+b2n]，

即销售量

[S=Sn=b+b2+b22+…+b2n=b（2-12n），n∈N.]

（2）当[b=4000]时，[S=4000（2-12n）].

设获利为[Wn]元，

则有[Wn=10S-1000n=40000（2-12n）-1000n]，

欲使[Wn]最大，需使[Wn≥Wn+1，Wn≥Wn-1，]

解得[n≥5，n≤5.]

故[n=5]时，[Wn]最大，此时[S=7875]件.

所以该企业应生产7875件产品，做5000元的广告，才能使获利最多.