对职前数学教师关于集合概念理解的调查研究

毛耀忠 张锐 李曼生

摘 要：集合理论是整个数学大厦的基础，论文通过问卷测试发现职前数学教师对于集合概念的理解并不理想：仅有65.9%的职前数学教师能够回答正确集合的定义；缺少描述法表征集合是不少职前数学教师的通病；89.2%的职前数学教师把集合的等价与集合的相等混为一谈；62.5%的职前数学教师对于有限集合的定义理解不深；69.9%的职前数学教师并没有理解全集的实质；仅有14.8%的职前数学教师理解了补集的概念；84.1%的职前数学教师不知道区间是集合的事实。职前数学教师教育课程体系应该进行调整，开设一些可以宏观理解整个数学体系的课程；职前数学教师教育者应该重视日常教学，使教学过程更具有效性；职前数学教师应当掌握基础数学教育中的核心概念，理解不同数学概念之间的关联。

关键词：职前数学教师 集合 概念理解 调查

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）08（c）-0158-03

Investigation and Analysis about Comprehension Levels of Pre-service Mathematics Teachers on the Concept of Set

Mao Yaozhong Zhang Rui Li Mansheng

（School of mathematics，Lanzhou City College，Lanzhou Gansu，730070，China）

Abstract：Set theory is the foundation of the whole mathematics building.Investigation shows that Pre-service Mathematics Teachers do not have adequate level on the concept of set. The paper puts forward some suggestions to improve education quality of pre-service mathematics teachers.

Key words：Pre-service mathematics teachers；Set；Comprehension on concept；Investigation

职前数学教师的概念学习对于其专业发展至关重要。因此，评价职前数学教师的学习成就不仅要关注程序性的知识更要强调概念性的知识。值得注意的是，职前数学教师拥有的诸多概念知识当中，有很多并没有反应出概念的本真意义，甚至是完全错误的。简言之，职前数学教师的概念体系当中具有较多的迷思概念。迷思概念对于职前数学教师认知活动产生的危害难以估量，其会让职前数学教师的认知活动呈现出“劣币驱除良币”的状态，使认知结构产生严重偏差。集合理论是整个数学大厦的基础，通过问卷测试职前数学教师对于集合概念的理解情况，以管窥豹，发现问题，提出改进职前数学教师教育的建议具有重要的理论及现实意义。

1 研究设计

1.1 研究问题

论文主要围绕职前数学教师关于集合概念的理解水平是怎样的这样一个核心问题展开。

1.2 调查对象

调查选取了甘肃省三所师范类高校数学与应用数学专业的176名大三学生，其中男生62名，女生114名。

1.3 测试题

论文选取了7道有关集合概念的开放式问题作为测试题，依次如下：

（1）什么是集合？

（2）可以用哪些方式表征集合？

（3）整数集合与偶数集合等价吗？

（4）空集是有限集合吗？请说明理由。

（5）全集是永恒唯一的吗？

（6）一个集合的补集可以不同吗？

（7）区间是集合吗？请说明理由。

1.4 数据分析工具

Excel2003软件被用来处理调查得来的数据。

2 调查结果及分析

2.1 对于“什么是集合？”的调查结果及分析

对于问题“什么是集合？”的回答，65.9%的职前数学教师回答正确，1.1%的职前数学教师回答部分正确，33.0%的职前数学教师回答错误。集合是一些明确规定且彼此不重复的对象的全体。那些回答部分正确的同学仅仅认为，“集合就是明确规定的对象的整体”，缺少了“对象不能重复”这个关键点。

学生对于集合定义的错误理解其实与平时的集合定义教学存在很大的关联。在教学过程中，很多教师往往会直接教授集合的定义、规则及运算，缺少正反例证，没有细致分析哪些对象的全体能够或者不能够形成集合。比如，互相之间不存在共同特征的对象以及彼此不能够共存的对象的全体就无法构成集合。

2.2 对于“可以用哪些方式表征集合？”的调查结果及分析

集合有三种表征方式，分别是列举法、描述法和韦恩图法，缺少描述法是大多数部分回答正确学生的通病。总的来看，女同学的正确率（74.6%）明显高出男同学的正确率（56.5%）。

集合的不同表征往往能促使学生更加深刻、全面地认识集合。然而从调查结果看，不少学生对描述法表征集合的认识比较欠缺，这其实与描述法相对更加抽象有关。因此，在日常教学中教师应该加强集合表征方式的教学，不仅要让学生熟悉各种表征方式，而且要重点训练让学生学会在各种表征方式之间进行转换。

2.3 对于“整数集合与偶数集合等价吗？”的调查结果及分析

对于问题“整数集合与偶数集合等价吗？”的回答，绝大多数学生（89.2%）的回答都是错误的，认为整数集合包含奇数集合与偶数集合，偶数集合是整数集合的真子集，所以整数集合与偶数集合不等价。他们的疑惑体现在：与原集合不相等的真子集怎么能和原集合等价呢？部分怎么能等价于整体呢？事实上，根据一一对应的原理偶数集合与整数集合是等价的。相对来讲，男学生（17.7%回答正确）的结果好于女学生（7.0%回答正确）。此外，很多学生的答案答非所问，没有按照题目的要求作答。

集合中的元素如果能被数完就是有限集合，如果数不完就是无限集合。有限集合不能等价于除本身之外的任一子集，而无限集合可以等价于它的某个真子集（如通过一一对应就可以使整数集与偶数集等价）。将近九成的学生（89.2%）都对此做出了错误的回答，错误的原因主要是学生缺少集合等价的知识，不知何为集合的等价，把集合的等价与集合的相等混为一谈。在集合的教学活动中，教师应该补充集合等价的理论，并让学生明确区分集合的相等与等价。

2.4 对于“空集是有限集合吗？”的调查结果及分析

空集是一个有限集合，但是很多学生基于“空集中没有元素”这个事实，认为：“空集很含糊，不能讨论其有限性”；“空集中没有元素，不好做任何解释”；“空集既不是有限集合，也不是无限集合”。

学生对这个问题的回答不太理想（62.5%的学生回答错误）主要是因为学生对于什么是有限集合的定义理解不深。大多数学生只是感官上觉得集合中的元素如果能被数完就是有限集合，而空集中没有元素他们就主观地认为不能数数了，自然也就不属于有限集合。在今后的教学活动中，必须强化有限与无限集合定义的本质特征，以是否可以与其真子集等价作为判断有限集合与无限集合的标准。

2.5 对于“全集是永恒唯一的吗？”的调查结果及分析

全集并不是永恒不变或者唯一存在的，它随着处理问题的差别可以取许多不同的形式，甚至对于同一个问题由于所用数学方法或者看问题的角度不同都可以取不同的全集。但是，很多学生（69.9%）并没有理解全集的实质，做出了错误的回答。

对于全集的认识不能“望文生义”，很多学生的回答只是汉语意思的臆测，比如“全集是指包含所有个体及运算的集合”，“最大的集合”等。这主要是学生不理解全集的本原意义，不知道根本就不存在最大的集合这个事实。因为如果存在最大的集合，那么将其作为新的元素，又可以生出更大的集合。事实上，全集是应用一定方法讨论问题时关于对象范围的限定，问题不一样，方法不一样所选取的全集就可能不一样。

2.6 对于“一个集合的补集可以不同吗？”的调查结果及分析

对于问题“一个集合的补集可以不同吗？”的回答，虽然男同学的回答正确率（24.2%）高于女同学的正确率（9.6%），但是总体来看，回答正确率显著偏低（总体回答正确率为14.8%）。

补集确定的基础是全集，学生对于全集理解的偏差会导致对于补集的错误理解。数学是一门前后内容密切关联的学科，对于一些关键的核心概念一定要形成正确、牢固的认识，为后续概念的掌握提供支持，避免“错一处而乱全局”的困境出现。

2.7 对于“区间是集合吗？”的调查结果及分析

区间是一种特殊的集合，然而调查结果显示大多数学生（84.1%）并不知道这个事实或者曲解了这个事实。

区间是一类特殊的集合，它的元素均是实数，之所以很多学生否定这个事实，主要在于区间的写法与集合的描述法、列举法的写法存在形式上的不同。学生们在学习集合这个概念之初就熟悉用花括号的记法，而区间用的是圆括号和方括号，这个明显的差异导致许多学生认为区间不是集合。因此，对于集合概念的教学应该突出概念的本质，不要拘泥于概念的形式，也就是要“注重实质，淡化形式”。

3 建议

从前述的调查结果可以看出，职前数学教师对于集合概念的理解并不理想，与调查之初的预想存在较大的反差。职前数学教师所掌握的集合知识缺少完整度，知识与知识的联系比较松散；对于概念的理解主观腻断，往往会“望文生义”出现似是而非的错误理解；缺少数学探究的理性精神，学习中很少“打破砂锅问到底”；对于许多有关集合概念的知识存在学习盲区，欠缺部分必要的学科知识。基于存在的这些问题，笔者提出以下一些建议。

3.1 对高师课程改革的建议

基础教育课程改革如火如荼，但与之紧密联系的高师课程改革则严重滞后。基础教育课程改革的核心之一就是提升教师的知识与能力，需要高师院校培养适应新课程的新教师，高师课程改革迫在眉睫。2012年，教育部组织出版了各科的《中小学教师专业发展标准及指导》，[1]为高师课程改革提供了依据，广大高师院校应该认真落实，对自身的课程体系进行调整以适应新形势的需要。在具体操作中，职前数学教师教育课程应该消除高等数学与初等数学的界限，并针对当前绝大多数数学教师的数学史与数学文化知识整体欠缺的现状，[2]开设一些诸如《高观点下的初等数学》《数学史》《数学文化》等宏观理解整个数学体系的课程；同时，应该增加数学教学知识类课程的比重，使学生能够把中小学数学的学术形态转化为教育形态，从而体现出数学教师工作的专业性；最后，职前数学教师教育课程应设置实践性及研究性的课程，增强职前数学教师的学习主动性和探究性，达到对于特定专题的深刻理解与掌握。

3.2 对职前数学教师教育者的建议

作为职前数学教师教育者，首先应该在思想上重视日常的教学，不能把教学工作简单地理解为照本宣科，而应当想办法做实事，使整个教学过程更具有效性；其次，职前数学教师教育者在教学中应该告诉学生知识的来龙去脉，避免“烧中段”式的灌输教学；再次，职前数学教师教育者应该研究教学过程的规律，把教学与教学研究结合起来，促进自身教学水平的提高；最后，应该改变当前职前数学教师教育者过于偏重科研的现状，把教学绩效与科研绩效放在同等重要的位置，使其愿意投身教学及教学研究。

3.3 对职前数学教师的建议

作为一名职前数学教师，应当熟练掌握基础数学教育中的核心数学概念，对不同数学概念之间的关联应该深入理解，比如要知道基础数学教育中有哪些关键的数学概念，哪个概念是某一概念的上位或并列概念，采用怎样的形式设计某个数学概念的教学过程等。职前数学教师如果能弄清楚这些问题，就能够在将来的教学过程中游刃有余，进而避免复制粘贴式地教“教材”，做到因时、因地、因人地用“教材”教。[3]

4 结语

有好的教师，才有好的教育。未来教育对教师的素质提出了更高更新的要求，也对未来的教师——职前数学教师提出了更高更新的要求。[4]职前数学教师教育者应该帮助职前数学教师正确理解初等数学中的核心概念，打好整个概念体系的基桩，贯通概念之间千丝万缕的联系，以减少迷思概念产生的机率。职前数学教师教育课程体系应该进行调整，开设一些诸如《高观点下的初等数学》《数学史》等可以宏观理解整个数学体系的课程；职前数学教师教育者应该重视日常教学活动，使教学过程更具有效性；职前数学教师应当掌握基础数学教育中的核心概念，理解不同数学概念之间的关联。

参考文献

[1] 中小学教师专业发展标准及指导课题组. 中小学教师专业发展标准及指导（数学）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 李保臻， 孙名符. 新课改背景下高中数学教师数学史与数学文化知识的现状调查[J].数学教育学报， 2013（2）：49-53.

[3] 毛耀忠， 张锐， 刘永平.小学数学教师的课程取向的调查与分析[J].宁波大学学报：教育科学版，2012（5）：121-125.

[4] 苗深花.论师范生“为教而学”学习观的构建[J].教育研究， 2012（5）： 90-94.