电帆日心悬浮轨道稳定控制

王 昱 边炳秀 魏延明 李 永 于 洋

1.北京控制工程研究所，北京100080

2.通信卫星事业部，北京100094

随着人类探索空间步伐的加快，对空间推进技术提出了更高的要求，希望推进器不依赖、或仅需少量推进剂即可使航天器长期运行。一类依靠空间环境能源的新颖推进技术被相继提出，其中包括太阳帆、磁帆及电帆等。电帆［1］是由Janhunen教授提出的一种利用空间太阳风动能的无工质推进技术，通过电场偏转太阳风中的带电粒子来获取推力。相比其他无工质推进装置，电帆具有质量小、推力矢量可调等优点，在深空探测领域展现出极大的潜力。

电帆直接利用空间太阳风动能，无需消耗推进剂，理论上可以实现几乎所有的空间任务。目前，已提出了各种利用电帆的空间任务，如太阳系内行星之间的轨迹转移［2］、与危险小行星及彗星的交会［3］、远离太阳的深空探测［4］、利用连续推力形成人工拉格朗日点［5］及各种悬浮轨道［6］等。悬浮轨道是一类非开普勒轨道，其轨道面不包含中心天体，利用推进系统产生的连续推力平衡中心天体产生的引力，使航天器悬浮起来，根据中心引力体不同可以分为日心悬浮轨道和行星悬浮轨道。利用悬浮轨道特性可以开展一些传统技术很难实现的任务，例如Ulysses solar polar mission任务对太阳极区活动的连续观测［6］，Polar Observation任务实现对地球极区进行观测和通讯［7］。McInnes等［8］以太阳帆为推进器，对悬浮轨道作了大量研究，按照悬浮轨道周期的不同将悬浮轨道分成3类，并且分析了这3类轨道的稳定性，提出了轨道保持算法。Mengali等［6］在上述基础上研究了以电帆作为推进器的悬浮轨道，并对轨道参数在初值误差下的稳定性进行简要分析，但并未考虑到太阳风环境对悬浮轨道稳定性的影响。

电帆通过偏转太阳风中带电粒子获取推力，而太阳风中的粒子浓度、粒子速度及粒子能量在空间与时间分布上存在着极大的时变性，导致电帆实际产生的推力也存在强时变性。而利用电帆产生的连续推力所设计的悬浮轨道是一种临界稳定状态，轻微的外界干扰会使该平衡状态遭到破坏。目前，尚未有学者对电帆悬浮轨道的维持进行研究。本文首先分析了电帆悬浮轨道所需条件，建立电帆空间三维运动方程，基于该方程提出了一种适合电帆对象的悬浮轨道维持策略，利用工程上较成熟的最优二次型调节器(LQR)来实现轨道跟踪控制。该轨道保持策略对于所有的悬浮轨道都稳定，且对于不同太阳风环境具有较强的鲁棒性。

1 日心悬浮轨道

利用电帆可以实现图1所示日心悬浮轨道，电帆以角速度ω运行在距离黄道面高度h，半径R的圆轨道上。要实现日心悬浮轨道，必须使电帆产生的推力方向位于r-z平面内，因此，电帆推力角β=π/2，电帆在日心引力与推力作用下，维持周期性悬浮轨道，需满足［6］:

利用日心悬浮轨道能够实现一类有意义的与地球同步运行轨道，该悬浮轨道运动周期跟地球绕太阳公转周期相同，T=1年。选取r=0.9AU，φ=25°，那么该悬浮轨道与地球之间的距离为0.42AU，当地轴与黄道面呈66.5°自转运动时，利用该悬浮轨道可以对地球表面大部分地区进行持续的科学观测和通讯。通过式(1)计算可以知道，维持该悬浮轨道，电帆所需性能参数为a⊕=3.163mm/s2，推力角 α =34.9°。

图1 日心悬浮轨道

2 电帆运动学模型

建立电帆空间三维运动学方程如下所示［6］:

3 电帆推力及加速度模型

根据Mengali的研究工作，电帆特征加速度大小［1］为:

式中，mp为质子质量，vsw为太阳风速度，n为太阳风粒子浓度，∈0为真空介电常数，Te为电子温度，e为元电荷电量，V为导线电势，rw为导线半径。

值得注意的是，在电帆设计时，往往选定一个参考太阳风粒子浓度(n0)和最大导线电势(V0)来设计电源模块质量。而对于给定的电源模块，所能提供的功率是固定的。因此，电帆导线上的实际最大电势与太阳风粒子浓度存在耦合关系。即当实际太阳风粒子浓度大于参考粒子浓度时，导线上的电子电流增大，而电源模块的额定功率是一定的，因此导线上的实际最大电势降低。反之则使导线上的实际最大电势升高，这一过程的数学描述为:

式(4)表明电帆导线上实际允许的最大电势值不仅受到设计时理论最大电势的约束，同时太阳风环境中实际粒子浓度也影响实际最大电势值。上述描述说明电帆在实际的太阳风环境中工作时，产生的推力与加速度不仅是强时变的，而且具有饱和约束，具体的约束上界值根据太阳风环境参数的变化而变化。

4 太阳风环境对电帆性能影响分析

4.1 太阳风环境模拟

通过对电帆航天器加速度模型分析，可以知道太阳风参数中的太阳风速度vsw、粒子浓度n和电子温度Te的变化会对推力及加速度大小产生影响。本文选用美国空间科学数据中心(NSSDC)，OMNI数据库提供的实测太阳风数据作为太阳风环境仿真，包含1963～2014年间的日平均太阳风参数，用来观察实际太阳风环境对电帆性能影响。将上述庞大的数据去掉时间限制，作为一个数据集合用来对太阳风环境模拟，分析太阳风环境对悬浮轨道影响和控制策略的有效性。为了称呼方便，以下将该数据集叫做太阳风环境参数模拟数据集(SESD)。

4.2 太阳风环境对电帆性能影响

分析太阳风参数对电帆性能的影响，本文选取2010年的实际太阳风参数，研究在该太阳风环境中的电帆加速度变化。仿真结果如图2所示，发现2010年中太阳风速度、粒子浓度和电子温度均变化剧烈，且该年中电子温度数值普遍小于历年统计平均值，使得电帆加速度小于预先设计值，且波动范围较大。

图2 2010年太阳风参数变化及对电帆性能影响

上述结果表明，电帆在太阳风环境中产生的推力具有强时变性，且幅值波动较大。而日心悬浮轨道是一种临界稳定的平衡状态，环境扰动产生的轻微推力改变即会打破原有平衡状态，使悬浮轨道遭到破坏。

5 悬浮轨道保持的控制策略设计

5.1 控制策略设计

通过分析可以知道，针对悬浮轨道临界稳定，电帆产生的推力大小发生轻微的扰动即会导致悬浮轨道破坏。因此，有必要设计一种适合电帆对象的控制策略。电帆可以通过对单根导线上电势大小进行调节，控制单根导线上产生的推力大小，从而在帆面上产生净力矩用来调节帆面姿态，改变推力方向;也可以在维持帆面姿态不变的情形下同时按比例调节所有导线上的电势大小，来改变推力大小。因此，电帆在空间产生的推力大小与方向解耦，使得电帆能够通过改变帆面上各导线电势大小的方法来分别调节推力的大小与方向。考虑到电帆的帆面通常由几十至几百根超细长导线组成，是一种超大柔性的多体结构，其在空间姿态的改变较为困难，且具有较大延时响应，姿态调节精度较低等特点。因此，本文拟采用只改变推力大小，维持推力方向不变(也即保持α=34.9°，β=90°)的方式来进行悬浮轨道保持控制。

上述控制策略的数学描述为:根据电帆运动学方程式(1)，选取合适的控制率调节电帆特征加速度，使得电帆运行过程中跟踪期望状态量，针对第一节所描述的与地球同步运行日心悬浮轨道，电帆期望的各状态量为:

电帆悬浮轨道保持控制的输入为特征加速度大小，而实际电帆航天器可调对象为各导线电势大小，通过对式(3)分析可知，当导线上电势增大时电帆加速度增大，反之则减小。因此，建立执行机构的驱动方程，对式(3)进行逆向求解，建立电势跟特征加速度的关系:

其中有关太阳风的参数(vsw，n，Te)无法在线测量，本文以近10年的统计平均太阳风参数(Vsw=400km/s，n=7.3/cm3，Te=12.15eV)进行计算。通过式(6)获得的电势大小需同时满足式(4)及电帆允许最大电势值的约束。因此，在实际飞行中，电帆的实际电势大小是饱和受限的，且该饱和上界具有不确定性，跟具体的太阳风参数中粒子浓度有关。该特性导致悬浮轨道保持过程中控制输入(加速度大小)具有时变性、不确定性及饱和性。

5.2 控制算法设计

LQR最优控制是工业上一种较为成熟的理论，广泛的应用于航空航天等领域［9］。该方法适用于系统动力学方程是线性的，性能指标函数是二次型的状态反馈问题。因此，首先对无量纲化后的电帆运动学方程在期望工作点处进行线性化，得到:

上述计算所得的最优控制u是δu，用来调节系统状态使其回到期望工作点，因此，电帆总的控制输入为:

6 仿真及结果分析

选取第一节中所描述的日心悬浮轨道为仿真对象，LQR跟踪控制器参数为:

Q=［1;1;1;100;100;100］，R=1 ×108，每隔0.5天对电帆状态进行采样控制。

首先，假设悬浮轨道在初始时刻处于期望工作点处，初始时刻轨道参数偏差为0，仿真验证本文提出的轨道保持策略在不同模拟太阳风环境中的有效性及鲁棒性。采用随机从SESD数据集中选取一段时间的太阳风参数作为模拟太阳风环境。仿真结果如图3～5所示。

图3 太阳风环境中持续3年的日心悬浮轨道

从图3可以看到，由于太阳风环境参数的强时变性，导致电帆产生的控制输入变化较大，致使临界稳定的悬浮轨道遭到严重破坏，悬浮轨道失去周期性变化特点，轨迹无序运行且杂乱无章。采用本文提出的轨道保持策略加LQR跟踪控制器的方法，该悬浮轨道持续运行3年，轨道保持良好，从日心惯性坐标系中观察，几乎与标称轨道重合。相应的，从图4中可以看到整个轨道运行过程中，各状态量的偏差较小，相对误差均小于10-3量级，充分说明本文提出的轨道保持策略的有效性。图5为轨道保持过程中控制量变化曲线，可以看出由于太阳风环境扰动，轨道状态存在偏差，电帆通过改变特征加速度大小实时调节运行状态，实现悬浮轨道保持。

图4 轨道保持过程中各状态量偏差

图5 轨道保持过程中控制量变化

上述结果说明了本文提出的轨道保持策略对太阳风环境扰动的有效性。但是，由于悬浮轨道是一种脆弱的稳定状态，在轨道初始时刻的状态偏差同样会导致悬浮轨道的破坏。因此，选取初始时刻不同状态偏差 r(t0)=1.01 rd，φ(t0)=1.01 φd，分别在常值太阳风环境与模拟太阳风环境中仿真验证轨道保持算法对初值扰动的有效性，持续运行3年的悬浮轨道仿真结果如图6。

图6 初值扰动对持续运行3年的悬浮轨道影响

从图6可以发现，当电帆在初始时刻状态参数发生少量偏移1%的情况下，无论在常值太阳风环境(无环境扰动)还是在模拟太阳风环境(有环境扰动)中，该日心悬浮轨道均遭到破坏，轨迹随时间逐渐发散，同时在有太阳风环境扰动的情形下，轨迹显得杂乱无章，无序运动。当对具有上述初值扰动的悬浮轨道采用本文提出的轨道保持算法，可以明显看到，悬浮轨道保持完整，具有周期性变化，在常值太阳风环境中几乎与标称轨道吻合，而在太阳风环境扰动下也只发生极少量偏移。充分说明本文提出的悬浮轨道保持策略对于轨道初值扰动具有良好的抑制能力。

7 结论

针对电帆这一超大挠性体结构，提出了一种只调节推力大小而不改变推力方向的轨道保持策略，该方法能极大减少电帆姿态的改变，克服大挠性体姿态改变困难、精度较低的缺点。同时采用工程上较为成熟的最优状态调节器方法设计跟踪控制器，实现悬浮轨道保持控制策略。在模拟太阳风环境中，针对无初值扰动和有初值扰动情况下仿真验证本文提出的轨道保持策略的有效性。仿真结果表明本文提出的轨道保持策略能在外界环境干扰和初值扰动的情形下较好的维持悬浮轨道，该算法对于不同的太阳风环境均具有良好的性能，表明本文提出的算法具有较强的鲁棒性。

［1］ Mengli G，Quarta A A，Janhunen P.Electric Sail Performance Analysis［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，2008，45(1):122-129.

［2］ Quarta A A，Mengali G，Janhunen P.Optimal interplanetary rendezvous combining electric sail and high thrust propulsion system［J］.Acta Astronautica，2011(68)，603-621.

［3］ Quarta A A，Mengali G.Electric sail missions to potentially hazardous asteroids［J］.Acta Astronautica，2010(66):1506-1519.

［4］ Quarta A A，Mengali G.Electric sail mission analysis for outer solar system exploration［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2010，33(3):740-754.

［5］ Aliasi G，Mengali G，Quarta A A.Artificial equilibrium points for a generalized sail in the circular restricted three-body problem［J］.Celest Mech Dyn Astr，2011(110):343-368.

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［7］ McInnes C R.Solar sail mission applications for nonkeplerian orbits［J］.Acta Astronautica，1999(45):567-575.

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［9］ 郭延宁，李传江，马广富.基于LQR的小卫星磁姿态控制设计［J］.空间控制技术与应用，2008，34(5):61-64.(Guo Yanning，Li Chuanjiang，Ma Guangfu.An LQR-Based magnetic attitude control design for small satellite［J］.Aerospace Control and Application，2008，34(5):61-64.)

［10］ Dukeman G A.Profile-following Entry Guidance Using Linear Quadratic Regulator Theory［C］//AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference and Exhibit.5-8 August 2002，Monterey，California.