谐振式光子晶体光纤陀螺环路建模与仿真

李建华，于怀勇，雷 明，吴衍记

(北京自动化控制设备研究所，北京100074)



谐振式光子晶体光纤陀螺环路建模与仿真

李建华，于怀勇，雷 明，吴衍记

(北京自动化控制设备研究所，北京100074)

谐振式光子晶体光纤陀螺；PI控制器；相对频率噪声；随机游走系数

0 引言

随着武器装备系统的发展，特别是在小型化飞航导航、高精度常规武器等领域，对小型化下高精度光纤陀螺提出了新的需求，迫切需要一种新型的小体积、高精度光纤陀螺产品。谐振式光纤陀螺原理上利用长度仅为几米至十几米的光纤谐振腔就可以实现很高的精度[1]，成为光纤陀螺小型化、高精度方向发展的潜力方案之一，也引起了研究者的广泛关注。但国内外研究单位三十几年的研究表明：非线性克尔噪声、热致偏振耦合噪声及光源相对频率噪声等因素严重制约了谐振式光纤陀螺的技术发展，其性能还不能满足应用需求[2-3]。

随着光子晶体光纤技术的发展，谐振式光子晶体光纤陀螺越来越受到人们的重视，为抑制非线性克尔噪声与热致偏振耦合噪声提供了一条崭新的技术途径。目前，国外光子晶体光纤陀螺研究的代表单位是美国Honeywell公司、Northrop Grumman公司、Standford大学等，其中Honeywell公司和Northrop Grumman公司将谐振式光子晶体光纤陀螺列到光纤陀螺中长期发展规划中，作为小型化下实现高精度光纤陀螺的主要技术方案[4]。

在非线性克尔噪声与热致偏振耦合噪声受到抑制的情况下，光源相对频率噪声成为制约谐振式光子晶体光纤陀螺精度的主要因素，对随机游走系数造成严重影响。为有效地改善系统的动态和精度指标，引入PI控制器设计回路控制系统，PI控制器在控制领域有着最广泛的应用[5]。本文通过设计PI控制器的控制参数，对环路模型进行仿真与优化。在此基础上，通过对检测带宽的设计，对相对频率噪声进行抑制，以减小随机游走系数，提高谐振式光子晶体光纤陀螺系统的检测精度，最终对不同精度谐振式光子晶体光纤陀螺设计提供指导。

1 基本原理

谐振式光子晶体光纤陀螺的检测原理为光学Sagnac效应，主要是通过敏感顺、逆时针两方向的频率差Δf来实现旋转角速度Ω检测[6]。谐振频率差Δf正比于旋转角速度，表示为

(1)

其中，D为环形谐振腔的直径，n为光纤折射率，λ为输入光的工作波长。

图1给出了谐振式光子晶体光纤陀螺系统框图。谐振式光子晶体光纤陀螺必须锁定顺、逆时针至少一个方向传播的光波，使其始终处于谐振状态。在逆时针方向上，光束通过分束器C1进入光子晶体光纤环形谐振腔，再通过耦合器C4由光电探测器PD1进行检测，进而由伺服回路驱动光源中心频率的改变，使其锁定在谐振腔逆时针谐振频率上；同理，在顺时针方向上，光束从谐振腔输出之后通过耦合器C3，由光电探测器PD2转化为电信号，并在第二个相敏解调器中进行解调。解调器输出的信号通过与光源的光波频率进行比较，给出了谐振腔相对于惯性空间旋转的幅值和方向。

图1 谐振式光子晶体光纤陀螺系统框图Fig.1 The structure of resonatorphotonic crystal fiber optical gyro

2 陀螺环路模型建立

2.1 陀螺环路理想状态模型

为便于系统分析，需建立谐振式光子晶体光纤陀螺环路模型，顺时针和逆时针方向环路结构相似，可以进行同等等效。理想情况下，在顺时针(CW)环路模型中，可以将光束频率调制及经过谐振腔到光电探测器输出的过程等效为增益KCW，将解调(DM)电路的增益等效为K1，将低通滤波器(Filter)等效为一阶惯性环节。根据以上分析，建立谐振式光子晶体光纤陀螺环路简化模型，如图2所示。

图2 谐振式光子晶体光纤陀螺顺时针理想环路模型Fig.2 The ideal clockwise loop model ofresonator photonic crystal fiber optical gyro

在谐振式光子晶体光纤陀螺工作的过程中，光源发出的激光(中心频率为f0)经过相位调制器之后，耦合进入环形谐振腔，形成顺时针方向上的谐振光束。顺时针方向的光波在环形谐振腔中环绕多次传输之后，由光电探测器转化成电信号输出。锁相放大器对光电探测器输出的电信号进行解调，解调输出信号作为反馈回路的误差信号，将光源的中心频率调节为f0+KMIF(KM为激光器频率调制系数，IF为控制激光器频率的反馈电流信号)。只要存在解调输出信号，反馈伺服将一直运行，直到光源的中心频率锁定在谐振腔顺时针方向的谐振频率上达到环路的平衡状态。根据上述顺时针工作机理的分析，顺时针环路开环传递函数表示为

(2)

式中，KL=KMKCWK1称为环路增益，τ为滤波器时间常数。可以看出谐振式光子晶体光纤陀螺系统为一典型的惯性系统。对于谐振式光子晶体光纤陀螺，虽然能够有效抑制非线性克尔噪声与热致偏振耦合噪声，但光源的相对频率噪声会严重影响随机游走系数，从而降低陀螺对旋转角速率的测量精度[4]。

2.2 陀螺相对频率噪声环路抑制模型

(3)

其中，G为环路系统频率响应的幅值，Sf为激光光源的初始频率噪声功率谱密度。Sf由洛伦兹激光线性光谱的半高全宽(FWHM)Δν决定

(4)

由式(3)与式(4)可得

(5)

系统频率响应的幅值是频率的函数。对于一阶环路来说，频率每降低十倍频程，环路增益会增加20dB，相应的频率噪声会随着频率的降低而减小。单纯的惯性环节无法消除阶跃响应的稳态误差[7]，也就无法较好地抑制相对频率噪声。因此，需要通过设计PI控制器提高系统的型别，来抑制可控频率噪声功率谱密度，此时顺时针环路新的模型如图3所示。

图3 谐振式光子晶体光纤陀螺顺时针环路相对频率噪声抑制模型Fig.3 The relative frequency noise control model of resonator photonic crystal fiber optical gyro clockwise loop

图3中PI控制器的数学描述为

(6)

式中，u(t)为控制器输出信号；e(t)=x(t)-o(t)为系统误差信号，x(t)为系统输入信号，o(t)为系统输出信号；Kp为比例系数；Ti为积分时间常数。通过调节比例系数Kp可以降低系统的稳态误差，而Ti决定积分作用强弱，积分环节能起到提高系统无差度的作用。因此，可以通过调节PI控制器的系数Kp和Ti来控制频率响应的幅值，进而实现对可控频率噪声功率谱密度的控制。

PI控制器的传递函数可以表示为

(7)

此时，系统开环传递函数表示为

(8)

系统的闭环传递函数及开环幅频响应的值为：

(9)

(10)

式中，定义K=KPKL为新的环路增益。加入PI控制器之后，系统由惯性系统变为二阶系统，提高了系统的型别[7]。

3 环路模型仿真与优化

在模型仿真的过程中关键是PI控制器参数的选取，包括比例和积分两个环节的参数Kp和Ti。从PI控制器对环路的影响考虑，PI参数选择应该满足超调量较小、带宽较大的原则，超调量也不能太小，否则会增大系统阻尼影响响应时间，故超调量一般选取为5%～15%[7]。

对于二阶系统，跟据式(9)可求得无阻尼振荡频率ωn和阻尼比ξ：

(11)

(12)

阻尼比ξ与超调量σP之间的表达式为

(13)

控制系统的闭环频率特性可以由闭环传递函数得出，并且可以写成

(14)

其中，A(ω)为闭环幅频特性。由式(8)可知开环传递函数中含有串联积分环节，则闭环幅频特性在ω=0处的值为A(0)=1。当闭环幅频特性降至0.707A(0)时，对应的角频率ωb为闭环系统的带宽[7]。此时系统闭环幅频特性的值为

(15)

系统的幅频响应如图4所示，通过对频率响应的分析可知，系统带宽分别为39.1kHz、38.3kHz、37.4kHz、36.7kHz、36.1kHz、35.6kHz，可知随着超调量的增加，系统带宽越来越小，谐振式光子晶体光纤陀螺系统能够获得大带宽，带宽越大，响应时间越小，预示着系统有较小的响应时间；系统的相角裕度分别为69°、67°、63°、59°、57°、55°，可见随着超调量的增加，系统的相角裕度越来越小，相角裕度是控制系统的重要指标，反映闭环系统远离临界稳定状态的程度，通常要求大于30°，故该谐振式光子晶体光纤陀螺系统能够得到较大的相角裕度。

图4 系统幅频响应示意图Fig.4 Magnitude response of the system

设计的谐振式光子晶体光纤陀螺系统带宽和相角裕度均能满足要求，可以用闭环系统的单位阶跃响应曲线，进一步检验系统的性能。系统的阶跃响应如图5所示，在不同的参数下谐振式光子晶体光纤陀螺系统都能很好地跟踪上阶跃响应，响应时间为1.3×10-4s(±3%)；系统的超调量越来越大，从8%增加到17%，超调量过大会造成陀螺的伪转动，使检测精度降低。综上可知，当将超调量设定为5%进行仿真时系统的性能最优，此时K=1.68，Ti=2.5×10-5s，得到的带宽为39.1kHz，且响应时间为1.24×10-4s，超调量为最小的8%，环路无震荡，满足谐振式光子晶体光纤陀螺系统设计的性能指标要求。

图5 系统阶跃响应示意图Fig.5 Step response of the system

获得理想闭环系统参数之后，进行检测带宽的设计，实现对随机游走系数的控制，通过推导得到随机游走系数与检测带宽及可控频率噪声功率谱密度之间的关系为

(16)

其中，ωf为检测带宽。因此，利用式(5)、式(10)、式(16)计算可得系统检测带宽与随机游走系数之间的关系如图6所示。

图6 检测带宽与随机游走系数关系图Fig.6 The relationship bwtweendetecting bandwidth and RWC

4 结论

本文对谐振式光子晶体光纤陀螺环路模型进行了仿真与优化，并进行检测带宽的设计，得到如下结论：

1)通过对相对频率噪声的分析，将经典控制理论运用于谐振式光子晶体光纤陀螺模型中，引入PI控制器，与理想情况下的一阶惯性环节构成反馈控制回路；

2)经过优化PI参数，得到谐振式光子晶体光纤陀螺模型的系统带宽为39.1kHz，响应时间为1.24×10-4s，超调量为8%，满足系统动态性能指标的要求；

3)将仿真得到的结果应用于谐振式光子晶体光纤陀螺模型中，根据谐振式光子晶体光纤陀螺性能指标的要求，通过检测带宽的设计实现不同精度谐振式光子晶体光纤陀螺，当检测带宽小于15Hz，谐振式光子晶体光纤陀螺精度满足战术级陀螺的要求，当检测带宽小于3Hz，谐振式光子晶体光纤陀螺精度满足导航级陀螺的要求。

[1] 张维叙.光纤陀螺及其应用[M].北京：国防工业出版社，2008：1-20.

[2] Glen A Sanders，Lee K Strandjordand，Tiequn Qiu.Hollow Core fiber optic ring resonator for rotation rensing[J]. OSA，2006：1-2.

[3] 于怀勇，吴衍记，雷明，李宗利.硅基波导谐振腔特性分析与实验研究[J].导航定位与授时，2015，2(2)：46-53.

[4] Glen A Sanders，Scottsdale，AZ(US)；Lee K Str-andjord，Tonka Bay，MN(US).System and met-hod forstabilizing light sources in resonator gyro[P].U.S.Patant NO.7372574，2008.

[5] 颜文俊，陈素琴，林峰.控制理论CAI教程[M].北京：科学出版社，2003：212-217.

[6] 孙众.谐振式激光学陀螺双路闭环信号检测技术研究[D]. 硕士学位论文.杭州，浙江大学，2012.

[7] 裴润，宋申民.自动控制原理[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2006：74-271.

Modeling and Simulation of Resonator Photonic Crystal Fiber Optical Gyro Structure Based on Multi-source

LI Jian-hua，YU Huai-yong，LEI Ming，WU Yan-ji

(Beijing Institute of Automatic Control Equipment，Beijing 100074，China)

Resonator photonic crystal fiber optical gyro； PI controller； The relative frequency noise； The random walk coefficient

2015 - 04 - 09；

2015 - 04 - 28。

李建华(1990 - )，男，硕士，主要从事光纤陀螺的研究。

TP273

A

2095-8110(2015)05-0058-05