一种旋转对称涂覆导体电磁散射高效分析方法

樊振宏　谭延君　陈如山

(南京理工大学电子工程与光电技术学院,南京 210094)



一种旋转对称涂覆导体电磁散射高效分析方法

樊振宏谭延君陈如山

(南京理工大学电子工程与光电技术学院,南京 210094)

摘要为改善传统方法分析旋转对称涂覆导体电磁散射问题的效率,提出了一种高效分析方法. 该方法在介质表面建立电磁流混合场积分方程(Electric and Magnetic Current Combined Field Integral Equation, JMCFIE),在导体表面建立混合场积分方程(Combined Field Integral Equation, CFIE),利用了旋转对称体在空间上的旋转周期性,只需要对表面的母线进行剖分,具有未知量少且阻抗矩阵条件数好的特点. 根据等效原理与边界条件推导了JMCFIE-CFIE方程,并与传统的PMCHW-CFIE方法对比了求解效率. 数值算例表明该方法能明显改善方程的收敛性.

关键词电磁散射;旋转对称体;涂覆导体;电磁流混合场积分方程

资助项目: 国家自然科学基金(61371037)； 南京理工大学自主科研专项计划(30920140121004)； 江苏省气象探测与信息处理重点实验室(南京信息工程大学)开放基金(KDXS1201)

联系人： 樊振宏 E-mail: zhfan@njust.edu.cn

引言

1积分方程的建立

分析如图1所示的绕z轴旋转的单层涂覆闭合导体结构,通常将旋转对称体(BodyofRevolution,BOR)目标上的矢量场分解为三个正交分量[2]:沿母线切向分量t,沿圆周切向分量φ和外法向分量n.

图1　旋转对称涂覆导体的结构示意图

图2是典型涂覆导体目标的横截面的示意图,由外而内分为三个区域:真空自由空间区域、涂覆介质区域和理想导体区域,分别用1区、2区、3区表示.εh,μh表示h区(h=1,2)中的介质的介电常数和磁导率,Sd是介质与真空的分界表面,Sc是导体表面,它们的单位外法向矢量分别用nd和nc表示. 研究电磁散射特性时,用Eh,Hh分别代表h区中的总电场强度和磁场强度,Ei, Hi表示均匀平面入射波的电场强度与磁场强度.

图2　涂覆导体目标的散射问题示意图

(1)

(2)

式中： 下标tan表示取切向分量； 算子Lh,Kh为:

Lh(X)=jωμh∫SxGh(r,r′)X(r′)dS′-

Kh(X)=-P.V.∫SxGh(r,r′)×X(r′)dS′.

(3)

式中: 下标h表示它是h区中的算子或相关量;

(4)

(5)

在导体表面r∈Sc建立EFIE与MFIE[7]:

(6)

(7)

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1.1　PMCHW-CFIE方程

该方案是目前文献中采用最多的方案,它是在介质表面建立PMCHW方程[6-7],在导体表面建立CFIE方程. 介质表面的PMCHW方程是将式(1)和式(2)分别减去式(4)和式(5)而得:

EFIE1-EFIE2,

(8)

MFIE1-MFIE2.

(9)

在导体表面建立CFIE方程,形式如下:

αcEFIEc+(1-αc)η2nc×MFIEc.

(10)

式中,实数αc是CFIE的混合因子,取值范围[0,1]. 联立式(8)、(9)、(10)得到PMCHW-CFIE方程.

1.2　JMCFIE-CFIE方程

在介质表面构造JMCFIE时,首先在介质的内、外表面建立电流混合场积分方程(Electric Current Combined Field Integral Equation, JCFIE)和磁流混合场积分方程(Magnetic Current Combined Field Integral Equation, MCFIE)[8-9],形式如下:

JCFIEh:αdEFIEh+(1-αd)ηhndh×MFIEh,

(11)

MCFIEh:αdηhMFIEh-(1-αd)ndh×EFIEh.

(12)

式中:αd是JMCFIE的混合因子,取值范围[0,1]; ndh表示介质表面指向h区的单位法向量. 采用与PMCHW方程类似的构造方式,得到Sd上的JMCFIE方程.

JCFIE1-JCFIE2,

(13)

MCFIE1-MCFIE2.

(14)

在导体表面上仍然采用式(10)所表示的CFIE方程,联立方程式(10)、(13)和(14),得到JMCFIE-CFIE积分方程组.

2旋转对称矩量法

采用矩量法进行分析,首先将电磁流密度用BOR基函数[6]展开为:

(15)

(16)

(17)

(18)

式中:Tn(t)是沿母线方向定义的分域三角形基函数； ejαφ是沿周向的基函数；ρ(t)表示位置r与旋转轴z轴之间的距离；α为整数,由于结构的圆周对称性,理论上取无穷多项可精确描述待求密度函数随着周向变化的特征,实际分析时取一个合理的截断数目Nm,使得α=-Nm,…,Nm.Nm的截取主要与入射平面波的特性有关,由于入射平面波仅在1区,其值采用文献[13]提出的自由空间截断经验公式:

Nm=Int[k1ρmaxsinθi]+1.

(19)

式中: Int[·]表示取大于它的最小整数;ρmax表示旋转对称体最大半径;θi为入射波的入射θ角.

对PMCHW-CFIE方程(8)、(9)、(10)采用Galerkin测试,利用各模式之间的正交性可得矩阵方程

α=-Nm,…,Nm.

(20)

类似地可得JMCFIE-CFIE矩阵方程为

α=-Nm,…,Nm.

(21)

上标第一项的J和M分别表示对应的是电型方程和磁型方程,此处将导体表面的CFIE也认为是电型方程. 分析JMCFIE方程的组合方式发现,对主对角矩阵对角元素贡献比较大的独立电流项和磁流项得以保留,而非对角矩阵的独立电流项和磁流项的贡献相互抵消,因此整个JMCFIE对应的阻抗矩阵特性良好,JMCFIE方程的阻抗矩阵的条件数优于PMCHW方程.

(22)

(23)

式中: 第一个上标t和φ表示基函数或测试函数对应的矢量方向; 第二个上标表示入射波的极化方式.利用上面的关系,可得电磁流系数的正负模式的关系,以JD为例,入射场取θ极化及φ极化时

(24)

这样,只需要求解α≥0模式的方程,对应的负模可由正模的解直接表示,节省了运算量. 求解出等效电磁流之后,可计算出远区散射场Esc,进而得到雷达散射截面(Radar Cross-Section, RCS)为

(25)

3数值算例

算例1是一个半径为0.4 m的导体球,涂覆了一层厚度为0.1 m、相对介电常数为2的介质,导体球沿母线均匀剖分21段,介质表面沿母线均匀剖分26段. 阻抗矩阵元素填充时,关于基函数与测试函数的积分在t方向分别取3点和4点高斯积分法则,在φ方向取32个均匀积分点. 均匀平面波的入射角度为θi=150°, φi=0°,频率为300MHz,对应的傅里叶模式截断数Nm=3. 观察φ=0°平面随θ变化的双站RCS(V-V极化). 在介质面上建立JMCFIE方程,在导体面上建立CFIE方程,混合因子αd=0.2,αc=0.2,采用GMRES(80)方法[14]求解,80表示GMRES迭代重启动(Restart)的数目.图3给出了JMCFIE-CFIE方法与PMCHW-CFIE方法和Mie级数解析解[15]的RCS计算结果对比,可以看出,三个方法的结果是吻合的.

图3　算例1双站RCS计算结果对比

表1给出了各个模式方程的矩阵条件数和GMRES迭代求解步数,可以看出,JMCFIE-CFIE方法的矩阵条件数κ2(A)=‖A‖2·‖A-1‖2比传统的PMCHW-CFIE方法至少小10倍. 迭代方法的收敛性能通常与矩阵的条件数相关,通常矩阵条件数小则收敛速度快,当然收敛速度还与右边向量的特性、重启动数的值有关系. 图4给出了傅里叶模式α=1时,JMCFIE-CFIE与PMCHW-CFIE方法的GMRES迭代收敛曲线,其中,PMCHW-CFIE方法需要迭代119步,而本文方法只需要56步即可达到收敛精度.

表1　算例1各模式下方程计算时的收敛性对比

图4　算例1模式1对应的迭代收敛曲线

算例2是介质涂覆的导体圆台,内层圆台的上下底面半径分别为0.3 m和0.6 m,高1 m,外层圆台的上下底面半径分别为0.35 m和0.65 m,高1.1 m,涂覆介质的相对介电常数为2.33,导体面沿上下底面和侧面的母线分别剖分为5、10、18段,介质表面的上下底面和侧面分别沿母线剖分为6、12、20段. 阻抗矩阵填充时基函数与测试函数在t方向分别取3个和4个高斯积分点,在φ方向取32个均匀积分点,均匀平面波的入射角度为θi=30°,φi=0°,频率为300 MHz,对应的傅里叶模式截断数Nm=4,观察φ=0°平面随着θ角变化的双站RCS(V-V极化). 在介质面上建立JMCFIE方程,在导体介质交面上建立CFIE方程,混合因子αd=0.2,αc=0.2,将计算结果与PMCHW-CFIE方法和FEKO矩量法的计算结果对比如图5所示,可以看出,三者结果是吻合的. 表2给出了各个模式方程的矩阵条件数和GMRES迭代求解步数,可以看出,JMCFIE-CFIE方法的矩阵条件数比传统的PMCHW-CFIE方法改善了至少9倍,在某些模式下改善幅度甚至达到了74倍. 图6给出了傅里叶模式α=1时,JMCFIE-CFIE与PMCHW-CFIE方法的GMRES(130)方法的迭代收敛曲线,其中,PMCHW-CFIE方法需要迭代251步,而本文方法只需要110步即可达到收敛精度. 从表2还可以看到,PMCHW-CFIE方法在一些模式中的GMRES迭代求解步数明显偏高,结合图6中的迭代收敛曲线可知,这主要是由于GMRES求解时通常需要重启动影响收敛性能,提高GMRES的重启动数可降低迭代步数,但是重启动数值越大,会消耗越多的内存,无法用于大尺寸问题的分析.

图5　算例2双站RCS计算结果对比

图6　算例2模式1对应的迭代收敛曲线

表2　算例2各模式下方程计算时的收敛性对比

4结论

本文针对介质涂覆旋转对称体的散射问题,提出了一种适用于分析旋转对称体的JMCFIE方程. 该方法利用了旋转对称体在角度上的周期性及各周期模式之间的正交性,只需要对母线进行剖分,求解的未知量少. 数值算例表明,通过在介质表面建立JMCFIE方程,在导体表面建立CFIE方程,与传统的PMCHW-CFIE方程分析技术相比,有更好的矩阵条件数和更快的迭代收敛速度.

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樊振宏(1978-),男,江苏人,南京理工大学电子工程与光电技术学院副教授， 博士生导师，主要研究方向为计算电磁学、天线分析与设计.

谭延君(1990-),男,江苏人,南京理工大学电子工程与光电技术学院硕士研究生,研究方向为计算电磁学、电磁散射与目标特性等.

陈如山(1965-),男,江苏人,南京理工大学电子工程与光电技术学院教授，博士生导师，研究领域包括微波毫米波集成电路与系统、电磁脉冲与瞬态电磁场、雷达与电磁兼容技术、计算电磁学.

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Efficient approach for electromagnetic scattering by coated

conducting bodies of revolution

FAN ZhenhongTAN YanjunCHEN Rushan

(DepartmentofCommunicationEngineering,NanjingUniversityofScienceand

Technology,Nanjing210094,China)

AbstractAn efficient method is proposed to analyze the electromagnetic scattering from the coated conducting bodies of revolution (BOR). In terms of the final matrix equation to be solved by method of moments, the size of BOR matrix is much smaller than that of general structure since one need just discretize the BOR structure along a longitudinal by taking advantage of the rotational property of the object. However, the matrix will be still huge when the object is electrically large and the iterative solver is indispensable. The convergence speed of iterative solver depends on the condition number of the coefficient matrix. To improve the solving efficiency, we establishes a well-conditioned equation called the electric and magnetic current combined field integral equation (JMCFIE) over the medium surface instead of the conventional PMCHW equation scheme, whereas employs the combined field integral equation (CFIE) over the conductor surface which is same as the conventional scheme. A numerical comparison of the iterative convergence speed is made between JMCFIE-CFIE and PMCHW-CFIE, which demonstrates the improvement of JMCFIE-CFIE against PMCHW-CFIE.

Key wordselectromagnetic scattering; body of revolution (BOR); coated conducting objects; electric and magnetic current combined field integral equation (JMCFIE)

作者简介

收稿日期：2014-12-17

中图分类号O441

文献标志码A

文章编号1005-0388(2015)06-1116-07