小子样下火炮连发密集度的分析与评估

杨杰，赵保伟，刘林，孙义阳

（华阴兵器试验中心，陕西华阴714200）

小子样下火炮连发密集度的分析与评估

杨杰，赵保伟，刘林，孙义阳

（华阴兵器试验中心，陕西华阴714200）

针对火炮连发模式下射弹散布不完全服从正态分布，而缺乏有效密集度估计方法的问题，提出了基于二维云模型和蒙特卡罗方法相结合的火炮连发密集度估计新方法。首先应用蒙特卡罗抽样解决火炮射击样本量少的问题，然后应用二维逆向云算法对火炮射击结果进行密集度估计，最后用二维正向云发生器模拟生成新的射弹散布数据，进而直观地看出弹点分布情况。实例分析表明，该方法更符合火炮连发射弹散布真实情形，分析结果更准确可靠，从而为基地火炮连发密集度试验数据分析与评估提供了一种有效的方法。

连发密集度，小子样，二维云模型，蒙特卡罗方法

0 引言

立靶密集度是武器直射精度的重要表征量，是火炮射击精度试验评估的一个重要指标。国军标中规定的立靶密集度估计方法是在假定弹着点呈正态分布的前提下进行的［1］，当火炮采用单发射击模式时，同种弹一组中每发弹符合独立同分布的特性，故其密集度可按正态分布处理；但在连发射击模式下，由于火炮射速高，后发弹是在前发弹炮口运动尚未恢复射前状态时即射出，其散布特性不再严格服从正态分布，而且已有试验数据分析结果表明，火炮连发立靶数据未通过正态性检验的现象在已定型航炮中普遍存在，它反映了试验数据不满足独立同分布正态模型的条件，如果再用正态分布来处理就会带来较大误差。

因此，需要建立新的、能反映火炮连发射击射弹散布特征的分布模型。李德毅教授1995年提出的云模型［2］是一种定性定量转换模型，其中正态云分布（又称泛正态分布）是最具普适性的一种云模型，泛正态分布的产生条件比正态分布更宽松，又比概率理论中一般意义的联合分布直观、简便、可行。火炮精度试验一次三组，根据火炮口径大小的不同每组试验发数不尽相同，最多不超过10发，从数理统计的角度属小样本。为此，本文将正态云模型和蒙特卡罗（Monte-carlo）方法相结合，提出了一种小子样下火炮连发密集度的分析与评估的新方法。

1 火炮单发立靶密集度估计

火炮立靶密集度测量就是通过射击试验，获取弹丸散布坐标，采用数理统计方法，得到射弹散布概率误差和散布中心。设有一组射弹，其立靶散布坐标随机数为（Yi，Zi），i=1，2，…，n，n为一组射弹总数，Yi表示高低散布坐标，Zi表示方位散布坐标。

根据数理统计知识，小样本量时立靶射弹散布坐标的均方差为：

Y、Z表示每组试验的平均弹着点坐标。立靶射弹散布坐标的概率误差与均方差之间的关系为［3］：

该数据处理方法按弹着点符合正态分布的特性进行计算。很明显，单发射击时，每发弹相互独立，采用正态分布很容易得到公认；但连发射击时，由于武器射速高，在前发射击引起的身管振动状态下，次发弹即射出，在此情况下，弹着点是否仍然符合正态分布，需要进行正态性检验验证。

此外，由上述计算方法可以看出，对火炮密集度的评定分别从高低和方向上进行统计分析，即在一维论域上进行处理，而实际上火炮弹着点位于二维平面上，这种做法人为地割裂了弹着点在高低和方向上的关联性，从而不能全面反映火炮的射击水平。

2 云模型方法

2.1 基本概念

李德毅院士提出云模型目的是同时处理自然语言中的随机性和模糊性，云用期望Ex、熵En和超熵He 3个数字特征来整体表征一个概念。

定义1:设U是一个普通集合U={x}，称为论域，T为U上的一个概念，CT（x）是U到闭区间［0，1］的映射，对于任意元素x∈U，都存在一个有稳定倾向的随机数CT（x），则称CT（x）在U上的分布为云模型，即：

每一个x称为一个云滴。

2.2 正态云模型

正态云是云模型中最具普适性的一种，正态云模型是在正态分布和钟形隶属函数的基础上发展起来的全新模型。正态分布广泛存在于自然现象、人类社会、科学技术及生产等领域之中，正态分布的前提条件是：如果某一现象决定于若干独立的、微小的随机因素的总和，并且各个因素的单独作用相对均匀地小，那么这一现象一般近似于正态分布。但是，在很多情况下，影响结果的诸多因素中，常常可能某一种或几种因素的作用比较突出，也未必相互独立，此时如果简单地用正态分布来分析问题，就不能真实地反映客观情况。对此，正态云提供了一个弱化形成正态分布条件的参数He。

在火炮连发密集度试验中，He可以用来反映炮口振动因素对射击结果的影响。如果炮口振动因素影响小，He就较小，En2+He2和En2差距就小，连发射弹散布接近于正态分布；而如果炮口振动因素影响大，He就较大，En2+He2和En2差距也大，连发射弹散布不再服从正态分布。当He=0时，正态云退化为正态分布。正态云如图1所示。

图1 正态云图

定性概念到定量表示的转换过程称为正向云发生器，由定量表示到定性概念的转换过程称为逆向云发生器。正向云发生器是由云的3个数字特征产生满足条件的云滴drop（x，μ），逆向云发生器则是通过已知一定数量的云滴drop（x，μ）来得到描述定性知识的云的3个数字特征（Ex，En，He）的过程。

3 火炮连发密集度估计新方法

3.1 射弹散布正态性检验

国际标准化组织统计分委会对比各种检验方法后，认为W检验和EP检验是最好的，原因是它们犯第二类错误的概率最小。火炮立靶密集度试验，按照国军标规定，每种条件下射击3组，每组最多10发，从统计的角度属小样本，故本文选用W检验作为火炮连发立靶弹着点是否符合正态分布的检验方法。W检验的操作步骤是：

假设H0：总体为正态分布。

（1）样本排序x（1）≤x（2）≤…≤x（n）

（2）计算检验统计量W=s2/nm2

其中，m2为样本的二阶中心距，

当n为偶数时，d=n/2；n为奇数时，d=（n-1）/2。系数ak根据n大小查表获得。

（3）确定显著性水平α，根据α和样本量n查表得统计量W的α分位数Wα。

（4）判断：若W≤Wα，则拒绝原假设，否则保留原假设。

3.2 蒙特卡罗抽样

火炮密集度试验中，在分布未知的情况下，如何确定其分布，用高低或方向仅有的10个数据，显然是很难保证推断或检验的精度的。为解决试验样本量少不能准确估计分布的问题，本文引入蒙特卡罗方法进行重抽样。

蒙特卡罗方法［4］以随机模拟和统计试验为手段，从随机变量的概率分布中，通过随机选择数字的方法产生一种符合该随机变量概率分布特性的随机数值序列，作为输入变量序列进行特定的模拟试验、求解。

记x=（x1，x2，…，xn）为试验获得的样本值，依据样本值作抽样分布Fn，即：

式中，x（1）≤x（2）≤…≤x（n）为x1，x2，…，xn按从小到大排序后所得的统计量，从抽样分布Fn中重新抽样的方法如下：

（1）产生［0，1］区间内均匀随机数r。

（2）求出p=（n-1）r，确定正整数I，这里I=［p］+1，其中［p］是取p的整数部分。

（3）令x=x（I）+（p-I+1）（x（I+1）-x（I）），则x～Fn，即为所求的随机数。这种方法不需要求出经验分布函数Fn，产生的随机数取值区间为［x（1），x（n）］。

对于二维分布来说，分别生成每个维度的随机数分量，然后组合成二维随机数向量即可得到服从联合分布的随机数。

3.3 基于二维逆向云的连发密集度估计

二维云算法是在一维云的基础上发展起来的，本文引入二维逆向云算法对火炮射击密集度进行分析，在云模型中，火炮每次射击的弹着点可以看作是一个云滴，射击若干次后形成的云团的整体特征反映了火炮射击的总体水平。二维逆向云用{Ex1，Ex2；En1，En2；He1，He2}这6个数字特征来表示，其中，期望值（Ex1，Ex2）表示射弹散布中心，（En1，En2）表示弹着点相对于平均点的离散度，超熵（He1，He2）表示熵的离散程度，反映了射击稳定性。

二维逆向云模型对应算法如下［5］：

图2 二维逆向云发生器

算法1：二维逆向云发生器的实现

输入：样本点（x1i，x2i），其中i=1，2，…，N

输出：二维云的数字特征（Ex1，Ex2；En1，En2；He1，He2）

（1）由云滴的平均值，估算出Ex1，Ex2，求标准差估算出En1，En2；

（2）在（Ex1-5%En1）＜X＜（Ex1+5%En1）内截得云滴映射到YZ平面上；

（3）在YZ平面上由曲线拟合法，得到Ex2；

（5）求En2的标准差得He2；

（6）同理可得Ex1，En1，He1。

由于立靶密集度试验是分组进行的，最后要综合三组试验结果才是最终结果，记第i组试验结果的云数字特征为（Exi1，Exi2；Eni1，Eni2；Hei1，Hei2），设En11＜En21，引入如下云运算：

首先进行第一组和第二组的计算，再将计算结果和第三组进行计算，得三组数据的融合结果（Ex1，Ex2；En1，En2；He1，He2），最后，由云模型的数字特征计算中间误差的公式为：

式中：EY、EZ分别为射弹的方向和高低中间误差。

3.4 基于二维正向云的连发密集度还原

通过二维逆向云发生器获得了弹点散布特征后，即可用二维正向云发生器模拟生成新的弹点散布数据，进而直观地看出弹点分布情况。二维云的实现算法如下［6］：

图3 二维正向云发生器

算法2：二维正向云发生器算法

输入：（Ex1，Ex2；En1，En2；He1，He2，n）。

输出：drop（x1i，x2i，μi），i=1，2，…，n。

（1）产生一个期望值为（En1，En2），方差为（He1，He2）的二维正态随机数（En1i'，En2i'）；

（2）产生一个期望值为（Ex1，Ex2），方差为（En1i'，En2i'）的二维正态随机数（x1i，x2i）；

（4）令（x1i，x2i，μi）为一个云滴；

（5）重复步骤（1）到（4），直到产生n个云滴为止。

4 实例

某航炮立靶密集度指标为连发Ey、Ez不大于2.6 mrad，采用本文提出的火炮连发密集度分析方法对其立靶密集度试验测试数据进行分析。榴弹和穿甲弹的立靶密集度测试数据如表1所示。

正态性检验结果表明，每种弹均有未通过正态性的情况出现，如果仍然采用正态方法处理数据，并作为评价产品立靶密集度的依据，必将影响试验结论的可信性。下面应用本文方法对测试数据进行分析。

表1 航炮立靶密集度测试数据

以试验测试所得数据作为原始样本，首先进行蒙特卡罗抽样，然后利用二维逆向云算法得到反映火炮射击水平的数字特征{Ex1，Ex2；En1，En2；He1，He2}，再根据{En1，En2；He1，He2}计算出高低和方向中间误差，表2给出了分析结果。其中，期望值{Ex1，Ex2}是所有云滴（弹着点）在靶上的平均点的坐标，熵{En1，En2}体现了射中的程度，也反映弹着点相对于平均点的离散度，超熵反映了熵的离散程度，体现了火炮射击的稳定性。由中间误差的结果可以看出，该炮两种弹射击结果均小于规定指标，立靶密集度满足指标要求。

表2 立靶密集度分析结果

根据云模型的数字特征进一步应用二维正向云算法得出火炮榴弹和穿甲弹射弹散布的还原结果如图4、图5所示，左列为弹点散布二维云模型，右列为二维正向云还原的弹着点，可以直观地看出弹点的分布情况。与文字性、概念性方式相比较，视觉感受无疑更普遍、更直接、更形象、更富整体性。

图4 榴弹散布还原

5 结论

本文提出的基于二维云模型和蒙特卡罗方法的立靶密集度分析方法和国军标中规定的立靶密集度数据处理方法相比有以下优点：

1）原方法是在假设弹着点呈正态分布的前提下进行的，而云模型是用来分析泛正态分布数据的，因此，云方法较原方法更符合火炮连发射击弹着点的实际分布特征；

2）火炮射击的弹着点是在二维平面上，二维云分析比一维概率统计分析更全面、更符合火炮实际作战评估；

3）二维逆向云的数字特征不仅提供评估精度所需的射击的离散度，其中的超熵更体现了射击的稳定性，较原方法具有更丰富的评估信息；

4）二维正向云还原弹着点散布特征的方法，为小样本试验客观评估武器精度提供了直观可信的理论依据。

图5 穿甲弹散布还原

［1］GJB 2974-1997.火炮外弹道试验方法［S］.北京：总装备部，2006.

［2］李德毅，孟海军，史雪梅.隶属云和隶属云发生器［J］.计算机研究和发展，1995，32（6）16-21.

［3］王宝元，衡刚，周发明，等.火炮立靶密集度测量方法［J］.测试技术学报，2011，25（6）：529-535.

［4］郑小兵，董景新，张志国，等.基于蒙特卡罗法的弹道导弹落点密集度验前估计［J］.中国惯性技术学报，2011，19（1）：116-121.

［5］杨朝晖，李德毅.二维云模型及其在预测中的应用［J］.计算机学报，1998，21（11）：961-969.

［6］吕辉军，王晔，李德毅，等.逆向云在定性评价中的应用.计算机学报，2003，26（8）：1009-1014.

Density Analysis and Prediction of Automatic Gun under Small Sample Conditions

YANG Jie，ZHAO Bao-wei，LIU Lin，SUN Yi-yang
（Huayin Ordnance Test Center，Huayin 714200，China）

In order to solve the problem that there is no effective dispersion investigating method to analyze automatic gun distribution which is not normal，a new method based on 2D cloud model and Monte-calo method is proposed.First the Monte-calo resample method is used to increase the sample quantity，then 2D backward cloud model is used to analyze the gun shooting distribution，at last 2D forward cloud model is used to produce new shooting distribution data which show the shooting result intuitively.Example shows that，this method is consistent with the automatic gun shooting distribution，the analysis result is more precise which provides an effective method for the base to analyze the test data of automatic gun dispersion.

automatic gun dispersion，small sample，2D cloud model，Monte-calo method

TJ31

A

1002-0640（2015）02-0165-05

2014-01-25

2014-02-06

杨杰（1983-），女，河北枣强人，工学博士。研究方向：火炮试验与鉴定。