均匀分布场合下参数的极大似然估计

郝玉芹

(唐山学院 基础教学部，河北 唐山 063000)

均匀分布场合下参数的极大似然估计

郝玉芹

(唐山学院 基础教学部，河北 唐山 063000)

针对不同区间上的均匀分布，应用次序统计量，给出了未知参数的极大似然估计，并讨论了估计量的无偏性。

均匀分布；次序统计量；极大似然估计

0 引言

极大似然估计(Maximum Likelihood Estimate，简称MLE)是数理统计中最重要、应用最广泛的参数点估计方法，其思想始于Gauss的误差理论，1821年由Gauss首先提出，但当时并未获得广泛应用。R.A.Fisher在1912年对Gauss提出的MLE进行了理论探讨，将它作为一个一般的点估计方法提了出来，从而获得了大家的认同，之后许多统计学家探讨了MLE的性质，使这种估计方法得到了广泛的研究和应用。

在各种估计方法中，MLE相对地说比较优良，比如MLE的不变性(原则)作为一种统计思想有其合理性，得到了人们的认可。尤其是在大样本场合下，MLE的优良性更为明显，有很好的结果，比如相合性与渐近正态性等[1]。但也有不足之处，MLE要求样本联合分布有参数形式，在分布未知而要估计均值和方差时就无能为力了。同时，在小样本场合下，还不能显现出它的优良性。

设总体X服从均匀分布，(X1，…，Xn)是来自总体的一个样本，它们相互独立，与总体具有相同分布，(x1，…，xn)为样本的取值。记次序统计量为X(1)=min(X1，…，Xn)，X(n)=max(X1，…，Xn)，次序统计量的取值记为x(1)，…，x(n)，总体分布函数记为F(x)，总体的概率密度函数记为f(x)，总体的数学期望为E(X)。

在现实生活中，如计算机产生的随机数、正弦波的随机相位、候车时间和计算时“四舍五入”产生的舍入误差等问题通常都服从均匀分布，这显示了均匀分布的重要性。本文讨论不同区间上均匀分布参数的极大似然估计，并讨论估计量的无偏性。

1 均匀分布参数的极大似然估计

1.1 具有唯一极大似然估计的情形

1.1.1 总体X服从均匀分布U(0，θ)的场合

简记X～U(0，θ)，(X1，…，Xn)是来自总体的一个样本，(x1，…，xn)为样本的取值。

估计量的无偏性是一种优良的性质，但是在一个具体问题中，无偏性的实际价值如何，还必须结合问题的具体情况去考察。

1.1.2 总体X服从均匀分布U(θ，2θ)的场合

1.2 极大似然估计不唯一的情形

1.2.2 总体服X从均匀分布U(θ，θ+1)的场合

2 结论

似然函数是样本的联合分布密度，极大似然估计就是求似然函数的最大值点，对于均匀分布来讲，不能从似然方程L′(x1，…，xn；θ)=0求得。另外，参数的极大似然估计不一定唯一，也不一定是参数的无偏估计。

[1] 成平，陈希孺，陈桂景，等.参数估计[M].上海：上海科学技术出版社，1985：78.

[2] 沈恒范.概率论与数理统计教程[M].4版.北京：高等教育出版社，2003：80.

(责任编校：夏玉玲)

On Estimation of Parameter Maximum Likelihood in Uniform Distribution

HAO Yu-qin

(Department of Fundamental Science Teaching， Tangshan College， Tangshan 063000， China)

The author of this paper estimates the maximum likelihood of unknown parameters against the uniform distribution of different intervals and with order statistics， and discusses biasedness of the estimation.

uniform distribution； order statistics； maximum likelihood estimattion

O212.1

A

1672-349X(2015)06-0017-02

10.16160/j.cnki.tsxyxb.2015.06.007