极限（1+）x=e 的证明研究

吴晓丽

（江苏省常州市建东职业技术学院）

极限的定义及两个重要极限是高等数学极限一章中的重要内容，从表面上看，两个重要的极限解决了某些类型的极限的求法，但是这两个重要极限是高度抽象的，它们的意义不容忽视。由于大部分书都将两个重要极限的应用作为重点来讲， 但我们也不能忽视对两个极限本身的证明。 作为学生思维方法的拓展，这两个极限本身的证明就意义重大。 对第二个重要极限的证明，前人也有许多的研究，本文就第二个重要的极限的证明，给出了自己的方法。

对第二个重要极限的证明大部分书中采用的方法不外乎两种，一是列出数值表观察其变化趋势法；二是采用牛顿二项式定理展开，用单调有界来证明。 当然也有其他的证明方法，如导数定义法、无穷小量法、洛必达法则法等。大一学生刚刚从高中进入大学，初等数学的印象还在，用初等数学的方法证明，学生会更好地理解这个极限。 下面我们采用初等数学的方法——构造函数的方法来证明此极限。

首先不用证明给出下列几个定理。

定理1：（单调有界原理）单调有界数列必有极限。

定理2：（夹逼准则）若x∈N（x＾0，δ）（其中δ 为某个正常数）时，有

下面用函数构造法证明：

故有g（x）＞0 即f＇（x）＞0

故数列｛an｝=｛（1+）n｝是单调递增数列，又a1=2≤an=（1+）n

即数列｛an｝=（1+）n｝单调递增有界，故（1+）n存在且（1+）n=e，从而极限（1+）x=e。

令y=-x，x→-∞，y→+∞

［1］甄海燕.两个重要极限的一种证明方法［J］.高师理科学刊，2013（02）.

［2］葛亚平，张海燕，陈文亚.应用数学［M］.1 版.北京：高等教育出版社，2014.