基于度量误差模型方法建立的林分相容性树高曲线方程组

高东启，邓华锋，程志楚，刘琼阁

(1 北京林业大学，北京 100083；2 国家林业局 调查规划设计院，北京 100714)

基于度量误差模型方法建立的林分相容性树高曲线方程组

高东启1，邓华锋1，程志楚2，刘琼阁1

(1 北京林业大学，北京 100083；2 国家林业局 调查规划设计院，北京 100714)

【目的】 研究北京市蒙古栎天然林的林分树高生长规律，为林分的科学、合理经营管理提供参考。【方法】 根据北京市蒙古栎一类清查数据，以Richards方程为基础，采用度量误差模型方法建立林分相容性平均树高曲线方程组。【结果】 经检验，所建模型在置信水平α=0.05时显著，对林分树高、胸径的预估精度分别为96.39%和97.23%。随着蒙古栎林分林龄的增长，胸径生长速生期滞后于树高生长速生期，大约在15年时，林分树高生长速度最快，大约在23年时，林分胸径生长速度最快；而林分树高随其胸径的生长变化则是在林分胸径为10 cm左右时生长最快，此后逐渐减缓。【结论】 所建立的林分树高曲线联立方程组比较合理，既使得林分树高曲线与林分胸径、树高生长过程曲线之间具有相容性和一致性，也考虑了模型中自变量的度量误差。

蒙古栎；度量误差模型；树高曲线

树高曲线是指树高与胸径之间的相关曲线，是林分生长与收获预估的基本模型。在野外实际调查中，实测树高比较困难，且工作量大，而建立合理的树高曲线方程则能有效预测林分的平均树高。目前关于树高曲线的研究较多，在国外，Calama等[1]采用混合模型的方法研究了石松(Pinuspinea)的树高曲线；Peng等[2]在研究短叶松(Pinusbanskiana)、黑云杉(Piceamariana)、白云杉(Piceaglauca)等9个树种的最优树高曲线时，认为Richards、Weibull和Schnute 3个方程适用性较好；Temesgen等[3]不仅考虑了树高曲线中树高与胸径的关系，还考虑了其他因子对树高的影响。在国内，王明亮等[4]、魏晓慧等[5]在研究杉木 (Cunninghamialanceolata)的树高曲线时发现Richards方程最优；孙拥康等[6]、岑巨延等[7]通过划分径阶的方法，分别研究了杉木(Cunninghamialanceolata)、桉树(Eucalyptus) 的相对树高曲线；赖巧玲等[8]采用核密度估计的方法研究了思茅松(Pinusyunnanensis)的树高曲线；赵俊卉等[9-10]采用多个方程，对比研究了云杉(Piceakoraiensis)、冷杉(Abiesholophylla)和红松(Pinuskoraiensis)的最优树高曲线与标准树高曲线；马武对吉林地区蒙古栎(Quercusmongolica)的普通树高与标准树高曲线进行了研究[11]。

现有关于树高曲线的研究绝大多数为单木水平[1-5,8-11]，也有径阶水平[6-7]，但对林分水平的树高曲线研究较少，且传统的树高曲线通常认为自变量(胸径)的观测值不含任何误差，而因变量(树高)的观测值含有误差。但在实践中，胸径的观测值往往也含有各种不同的误差[12]，且树高、胸径、年龄三者之间都存在着密切的相关关系，如果只单纯考虑树高与胸径的关系，而不考虑树高与年龄、胸径与年龄的关系，则可能导致这3个因子之间不相容，即单独以其中2个因子为自变量分别预测第3个因子时，结果可能不一致。为此，本研究以北京市蒙古栎(Quercusmongolica)天然林为例，利用度量误差模型的方法建立林分相容性树高曲线方程组，既考虑模型中自变量的误差问题，又使得树高、胸径、年龄3个因子相互预测时保持相容性和一致性，并对蒙古栎林分的生长情况进行了分析，以期为林分的科学、合理经营提供参考。

1 研究地概况

北京市位于北纬39°28′-41°05′，东经115°25′-117°30′，地处华北平原北端，北以燕山山地与内蒙古高原接壤，西以太行山与陕西高原毗连，东北与松辽平原相通，南与黄淮海平原相连；北京市气候属于暖温带半湿润大陆性季风气候，四季分明，夏季炎热多雨，冬季寒冷干燥，夏季降水量占全年降水量的74%。据第7次森林资源清查统计[13]，蒙古栎林占北京市森林面积总量的28.6%，占林分蓄积总量的15.8%。

2 样地调查方法及数据整理

试验所采用的数据为北京市森林资源第5，6和7次一类调查数据，调查样地固定，每隔5年调查1次，第5，6，7次调查分别于1996，2001，2006年进行，调查样地的面积为0.066 7 hm2，调查因子有：林木胸径、林分年龄、林分平均高度、林分蓄积量、郁闭度、水平距、坡向、坡位、坡度、海拔高度、土层厚度等。从样地中挑选出蒙古栎天然林样地138块，从中剔除记录不详、明显有误和离散异常的样地，最终剩余蒙古栎天然林样地133块，样地林分年龄最小为8年，最大为75年，平均35年；林分平均胸径最小5.9 cm，最大19.3 cm，平均11.9 cm；林分平均树高最小4.0 m，为最大12.7 m，平均7.7 cm。

3 研究方法

3.1 平均树高曲线方程

用来模拟平均树高曲线的方程很多，有Richards方程、Wykoff方程、Korf方程、Logistic方程、幂函数方程、Bates方程、单分子型方程、抛物线方程、唐守正树高曲线方程等[10,14]。本研究经初步试验发现，Richards方程拟合蒙古栎平均树高曲线的效果最好，同时考虑到当树高H=1.3时，胸径D=0，所以最终确定平均树高曲线的Richards方程形式为：

H=1.3+a1[1-exp(-a2D)]a3。

(1)

式中：H为林分平均树高，D为林分平均胸径，a1、a2、a3为参数。

3.2 非线性度量误差联立方程组

通常在研究平均树高曲线时，假定自变量D的观测值不含误差，而因变量H的观测值含有误差，这个误差一般统称为度量误差(Measurement error)。但实际上D由单木胸径推算而来，可能存在着抽样误差或测量误差等，因此自变量也是含有度量误差的。当自变量D和因变量H的观测值都含有度量误差时，通常的回归模型估计方法就不适用于平均树高曲线，而必须采用误差变量模型方法[15]来建立预估模型。

林分D、H与平均年龄(T)三者之间存在相关关系，因此在研究平均树高曲线时不能只单纯考虑H与D的关系，还应综合考虑与T的相关关系，即要考虑平均树高曲线方程(H-D)、林分平均胸径生长过程曲线方程(D-T)、林分平均树高生长过程曲线方程(H-T)的相容性。此时涉及到多个方程的联合估计问题，因此必须采用多元非线性误差变量联立方程组[16-19]。多元非线性误差变量联立方程组也称非线性度量误差模型，其向量形式为[15]：

(2)

式中：f是m维向量函数；yi是p维误差变量(Error in variable)的观测数据；xi是q维无误差变量(Error free variable)的观测数据；c是参数；Yi是yi的未知真值；ei是度量误差；E(ei)是ei的期望；cov(ei)=σ2ψ为误差的协方差矩阵，其中ψ是ei的误差结构矩阵，σ2为估计误差。

在林分D、H、T三者之间的相关关系中，H-D、D-T的关系中包含着H-T的关系，即由H-D和D-T构成的联立方程组包含着H-T方程。本研究仍然选用Richards方程来拟合林分平均胸径生长过程曲线，形式如下：

D=b1[1-exp(-b2T)]b3。

(3)

式中：b1、b2、b3为参数。

联立(1)式和(3)式即得非线性度量误差联立方程组(4)式，将(4)式称为树高曲线联立方程组。

(4)

在(4)式中，林分平均胸径D由单木胸径推算而来，林分平均树高H和平均年龄T是估测得到的，因此认为H、D、T均为误差变量。对于(4)式采用非线性度量误差模型方法来求解各个参数，以保证H-D方程、D-T方程和H-T方程三者之间的相容性和一致性。

3.3 参数估计与模型检验

综合应用ForStat 2.1、Excel 2007进行数据处理和参数估计，设定误差的协方差矩阵为UI基本型，统计参数的估计值和相关系数。对所拟合的方程进行t检验，并通过计算平均绝对偏差(MAD)、均方根误差(RMSE)和预估精度(P)等几个指标来检验模型的预测能力，其数学表达式如下：

(5)

(6)

(7)

4 结果与分析

4.1 研究结果

使用ForStat 2.1软件中的非线性度量误差联立方程组求解得到蒙古栎H-D、D-T方程的参数，并计算各个方程的MAD、RMSE和P，统计结果如表1、表2所示。

从表2中可知，蒙古栎树高曲线拟合的相关系数(r)为0.604 5，MAD为1.302 2、RMSE为 1.604 7，预估精度达到96.39%；胸径生长过程曲线拟合的相关系数(r)为0.797 9，MAD为1.508 9、RMSE为1.914 2，预估精度达到97.23%。说明所建立的树高曲线联立方程组比较合理，对蒙古栎林分平均树高、平均胸径的生长预测较为准确。

进一步对蒙古栎树高、胸径的实测值与预测值做成对t检验，结果在置信水平α=0.05时显著，说明所建立的树高曲线联立方程组对蒙古栎树高、胸径的预测效果较好。

4.2 生长过程分析

分别绘制蒙古栎的树高曲线和胸径生长过程曲线，结果如图1、图2所示。从图1、图2可以看出，蒙古栎林分的树高为4～13 m，胸径为5～20 cm，年龄为8～78年。蒙古栎天然林在81年时达到成熟龄，21～40年为中年龄[20]，据此及图2可知，北京市蒙古栎天然林多为中龄林、近熟林，少量为幼龄林。由图1和图2 还可知，随着林分年龄的增长，大约在23年时，林分胸径的生长速度最快，此后胸径的生长速度趋于缓慢；而树高随林分胸径的生长变化则是在胸径为10 cm左右时生长最快，此后逐渐减缓。

图1 北京市蒙古栎林分的树高曲线
Fig.1 Height-DBH curve forQuercusmongolicain Beijing

图2 北京市蒙古栎林分的胸径生长过程曲线
Fig.2 Diameter-age curve forQuercusmongolicain Beijing

根据所建立的树高曲线联立方程组中H-D、D-T的相关关系可推导出H-T的关系，即蒙古栎林分树高与林龄的关系，绘制蒙古栎林分树高生长过程曲线(图3)，并将树高生长过程曲线与相应的林分胸径生长过程曲线进行对比，结果如图4所示。从图3、图4可以看出，随着林龄的增长，在15年左右时，蒙古栎林分树高生长速度最快，此后逐渐下降。而在图2中，林分胸径大约在23年生时增长速度最快，这说明随着蒙古栎林分年龄的增长，胸径生长速生期要滞后于树高生长速生期，大约在林龄为15年时，林分树高生长速度最快，大约在23年时，林分胸径生长速度最快。

5 讨论与结论

本研究利用北京市森林资源第5，6和7次一类清查数据，基于Richards方程采用度量误差模型方法建立了北京市蒙古栎天然林的树高曲线联立方程组，经检验，预测效果较好，对蒙古栎林分树高、胸径的预估精度都在95%以上。随着蒙古栎林龄的增长，胸径生长的速生期要滞后于树高生长的速生期，大约在15年时，林分树高生长速度最快，大约在23年时，林分胸径生长速度最快；而林分树高随其胸径的生长变化则是在胸径为10 cm左右时生长最快，此后逐渐减缓。

所建立的树高曲线联立方程组中包含了树高生长过程曲线方程，使得林分的胸径、树高生长过程曲线与林分树高曲线之间具有相容性和一致性，即分别通过林分树高曲线、树高生长过程曲线来预测林分树高时结果是一致的；所建立的树高曲线联立方程组还考虑了林分树高、胸径、年龄3个变量的度量误差，采用度量误差模型的方法建模能优化模型结构，可以减小外业调查的测量误差对预测结果的影响，使模型具有较强的生物学意义和解释性。

同时，本研究在建立树高曲线联立方程组的基础上尝试从林分水平对树高曲线进行研究，从而为从林分水平预测蒙古栎的树高提供了参考和依据，也可为以森林资源一类清查数据为基础的北京市蒙古栎林分蓄积、生长与收获模型的相关研究提供基础依据。由于本研究所用数据资料多来自于蒙古栎中、近熟龄阶段，对于幼龄和成、过熟龄阶段林分的生长变化规律还需做进一步研究。另外，本研究数据资料来自于3个不同的时间段，没有考虑时间效应对建模的影响，下步研究可以引入混合模型[21]的方法使得建模结构更加合理。

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Measurement error model based compatible system of equations for height-DBH curve

GAO Dong-qi1,DENG Hua-feng1,CHENG Zhi-chu2, LIU Qiong-ge1

(1BeijingForestryUniversity,Beijing100083,China;2AcademyofForestInventoryandPlanning,StateForestryAdministration,Beijing100714,China)

【Objective】 The growth rule of average tree height forQuercusmongolicanatural forest was studied in Beijing to provide reference for scientific manage of stands.【Method】 According to continuous forest inventory data ofQuercusmongolicaand Richards equation,the compatible system of equations for average height-DBH curve of the stands was established based on measurement error model.【Result】 The constructed models were significant atα= 0.05 level with accuracies of 96.39% and 97.23% for estimating average height and average DBH.With the increase ofQuercusmongolicastand age,fast-growing period of average DBH was later than that of average height.The growth of average height was fastest approximately at year 15,while the growth of average DBH was fastest approximately at year 23.The growth of average tree height changing with the stand average DBH was fastest when the average DBH was about 10 cm,then it decreased gradually.【Conclusion】 The established system of equations for average height-DBH curve was reasonable,which considers both the compatibility and consistence of average height-DBH curve,average DBH-age curve and average height-age curve and the measurement error of independent variable.

Quercusmongolica;model with measurement error;height-diameter curve

2013-12-09

北京市教育委员会科学研究与科研基地建设项目(省部共建重点实验室)；林业公益性行业科研专项(201004008)

高东启(1986-)，男，云南曲靖人，硕士，主要从事森林可持续经营研究。E-mail：511602746@qq.com

邓华锋(1966-)，男，湖南涟源人，教授，博士，主要从事森林可持续经营研究。E-mail：denghuafeng@bjfu.edu.cn

时间:2015-04-13 12:59

10.13207/j.cnki.jnwafu.2015.05.033

S758.5+4

A

1671-9387(2015)05-0065-06

网络出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1390.S.20150413.1259.033.html