一基于贝塞尔函数的位相型超分辨光瞳滤波器的设计

南玉杰, 朱化凤, 徐 军, 王秀民, 云茂金

(1.中国石油大学胜利学院 基础科学学院,山东 东营 257000; 2.中国石油大学 理学院,山东 青岛 266555;3.青岛大学 物理学院,山东 青岛 266071)

一基于贝塞尔函数的位相型超分辨光瞳滤波器的设计

南玉杰1, 朱化凤2, 徐 军2, 王秀民2, 云茂金3

(1.中国石油大学胜利学院 基础科学学院,山东 东营 257000; 2.中国石油大学 理学院,山东 青岛 266555;
3.青岛大学 物理学院,山东 青岛 266071)

研究设计了一种基于零阶贝塞尔函数的分区位相型超分辨光瞳滤波器。数值模拟了设计参量对超分辨性能参量(光斑压缩比G,斯特尔比S和旁瓣因子M)的影响。结果表明：通过对各个参数进行合理的取值,可以在取得较高的斯特尔比的情况下实现较好的光斑压缩比。该滤波器第二区相对半径的改变对超分辨性能的影响较小,抗设计误差能力强;该方法适用于波面是轴对称的零阶贝塞尔函数的径向分布的阶跃型光瞳滤波器。

信息光学;贝塞尔函数;超分辨;光瞳滤波器

如何在光学系统中实现更好的超分辨效果是近几年来光学超分辨领域研究的热点问题。现在对光瞳滤波器的研究大多是基于对光瞳函数的改变和优化。出现了振幅型光瞳滤波器[1]、位相型光瞳滤波器[2]、复振幅型光瞳滤波器[3- 4]、可调谐的光瞳滤波器[5]等。本文提出一种新的光瞳函数,设计了基于零阶贝塞尔函数的位相型光瞳滤波器,分别讨论了参数a、b和各区半径对超分辨性能参量的影响,理论分析结合Matlab数值模拟表明,这类光瞳滤波器能够达到较好的超分辨效果,研究表明设计半径误差对超分辨性能的影响很小,这将为设计特殊需要的光瞳滤波器提供一种新的手段。

1 实现超分辨的基本原理和性能参量

根据Born等人的超分辨理论,使入射光波为单色光时,焦点附近的复振幅归一化分布可表示为

(1)

式中，ρ为归一化的半径;P(ρ)为系统的光瞳函数;J0(vρ)为零阶贝塞尔函数。

当u=0时,根据式(1)可得光学系统焦平面上的横向复振幅为

(2)

当v=0时,对应系统轴向的复振幅表达式

(3)

可得到焦点附近的横向和轴向的强度点扩散函数

I(v,0)=U(v,0)U*(v,0) ,

(4)

I(0,u)=U(0,u)U*(0,u) .

(5)

通常用光斑压缩比G、斯特尔比S、旁瓣因子M三个物理参量来评定光瞳滤波器的超分辨性能。光斑压缩比G:加光瞳滤波器与不加光瞳滤波器时的主瓣第一极小值半径之比;斯特尔比S:加光瞳滤波器与不加光瞳滤波器时的主极大强度之比;旁瓣因子M:加光瞳滤波器时的最高旁瓣强度与主极大强度之比。G、S、M之间是相互制约的关系,在设计光瞳滤波器时,对这三个性能参量应综合考虑。为了获得较好的超分辨效果,一般要求G、M尽量小,S尽量大。

2 基于贝塞尔函数的光瞳滤波器的超分辨性能分析

根据超分辨理论和设计位相型光瞳滤波器的原理,设滤波器的光瞳函数为

(6)

式中,φ=J0(bρ),a、b为设计参数,ρ1、ρ2为第一、二区的相对半径。

下面分别讨论参数a、b和两区相对半径分别变化时,光瞳滤波器的横向和轴向的超分辨性能特点。

2.1 改变参数a,光瞳滤波器的横向光学性能分析

在研究的过程中,主要采用直接搜寻法进行数值模拟研究。首先通过大体尝试把半径参数设为ρ1=0.35、ρ2=0.4,并令b=1.6π,在这些参数附近可以实现超分辨,将参数代入到式(1)～(4)和(6),并利用Matlab作图,可得到如图1所示横向光强分布曲线图,表1是与此对应的各超分辨性能参量的值。

图1 改变参数a时,横向光强分布曲线

表1 参数a变化时,超分辨性能参量的值

由图1和表1可知,a在一定范围内取值,光瞳滤波器是可以实现超分辨的。比较分析表1各组数值发现,它是符合超分辨能力的提高,是以斯特尔比的下降和旁瓣能量的提高为代价的规律的。当参数a的取值由7/4π变为13/4π后,光斑压缩比G(由0.763 2变为0.842 1)是增大的,但斯特尔比S(由0.436 5变为0.436 2)的值却几乎不变,参数a的取值由5/4π变为11/4π时,其G和S具有与此相似的变化趋势。这一特点将为光瞳滤波器在特殊领域的应用提供理论依据。

2.2 改变参数b,光瞳滤波器的横向光学性能分析

将参数a=5/4π,半径ρ1=0.35、ρ2=0.4时的光瞳函数代入到(4)式,并作图。图2为参数b变化时,横向光强的分布曲线图,表2是相应的各性能参量的值。

图2 参数b取不同值时,横向光强分布曲线

表2 参数b取不同值时,各性能参量的值

根据图2和表2可知,b的取值在一个小的范围内变化时具备一定的超分辨能力,和a的取值相比,具有超分辨能力的b的取值范围要小得多,参数b取值的变化对超分辨能力的影响比参数a要明显得多。但此类光瞳滤波器有一个缺点,就是旁瓣能量较高,即较多的主瓣能量转移到旁瓣上,不利于成像质量的提高,降低成像对比度,但这可加入共焦扫描显微系统来加以抑制,来获得较低的旁瓣能量。

2.3 改变参数a或参数b,轴向光学特性分析

图3和图4分别为参数a和参数b取不同值时所对应的轴向光强分布曲线图。也就是把(参数a取不同值,b=1.6π,半径ρ1=0.35、ρ2=0.4)和(参数b取不同值,a=5/4π,半径ρ1=0.35、ρ2=0.4)时的光瞳函数分别代入式(5),利用数值模拟作图得到的。

图3 参数a变化时,轴向光强分布曲线

图4 参数b变化时,轴向光强分布曲线

通过比较图3和图4可知,随着参数a或参数b的增大,轴向主峰值是减小的,但减小到某一值时,主峰值将趋于不变。参数a或b取较小值时(a=3/4π,5/4π;b=π,1.4π),轴向光强出现了较大的焦移,也就是光强主峰值的位置与焦点不再重合,而是出现了一定的偏移。但是a、b取较大值(a=11/4π,13/4π;b=3π)时,光强主峰值的位置与焦点是基本重合的,参数a变化时的重合性比参数b变化时的重合性要好,这将大大提高主瓣的能量,对光学系统成像对比度的提高是有利的。

2.4 改变半径ρ1,光瞳滤波器的横向光学特性分析

图5为参数a=3/2π,b=1.6π,半径ρ2=0.4,ρ1取不同值的光瞳函数所对应的横向光强随横向距离变化的曲线图。表3为相应的超分辨性能参量值。

综合图5和表3可知,半径ρ1增大,横向光斑压缩比GT越小,这意味着横向超分辨效果越来越好。但斯特尔比S越来越小,即主瓣的能量利用率越来越低,旁瓣因子M越来越大,即旁瓣噪声有所升高,但总体来说旁瓣因子并不是很大,适合于高质量的成像系统中应用。

图5 半径ρ1取一系列值,横向光强分布曲线

表3 半径ρ1取一系列值,超分辨性能参量的值

2.5 相对半径ρ2对横向光强分布特性的影响

图6为参数a=3/2π,b=1.6π,半径ρ1=0.25,ρ2取一系列值时的横向光强分布曲线图。由图6可看出,半径ρ2在一定范围内取值时,依据这些参数设计的光瞳滤波器可以实现较好的横向超分辨,并且其超分辨能力很稳定,基本是保持不变的。

图6 ρ2取一系列值,横向光强分布曲线

总体看来,此类光瞳滤波器在实现超分辨的同时提高了旁瓣强度,但旁瓣能量并不是很高。这样在成像系统中,不会对成像对比度造成很大的影响。由上面的分析我们还可以看到,此类光瞳滤波器的设计对相对半径的要求不是很高,这样对实际制作时相对半径误差要求就不高,相对容易制作。人们可以根据光学系统的实际需要,对其他的参数取值进行取舍,设计各方面都符合需求的超分辨光瞳滤波器。

3 结 论

本文在超分辨光瞳滤波理论的基础上,设计了一类基于特殊函数的(Bessel函数)的位相型超分辨光瞳滤波器。精确分析了各个参数(参数a、b,相对半径ρ1、ρ2)的改变对光瞳滤波器超分辨性能参量(光斑压缩比G、斯特尔比S、旁瓣因子M)的影响,结果表明这类光瞳滤波器具有横向超分辨能力,并且具有比较高的斯特尔比。研究结果还可以理解为,如果该滤波器是三个区域对应的位相为(0,π,0)的光瞳滤波器,入射光束为径向零阶贝塞尔函数分布波面,则也可以实现较好的超分辨效果。该研究结果将对超分辨光瞳滤波器的设计优化、光瞳滤波器在相关领域的应用起到一定的理论指导作用。

[1] 徐丹,朱化凤,云茂金,等.基于贝塞尔函数的振幅型系列超分辨光瞳滤波器的设计[J].激光与光电子学进展,2011,48(8):2201- 2206.

[2] SALEL T R M, MORRIS G M. Axial super-resolution with phase-only pupil filters[J]. Opt Commun, 1998,156(1):227- 230.

[3] 南玉杰,朱化凤,徐丹,等.两区复振幅光瞳滤波器的优化设计研究[J].光子学报,2011,40(S1):41- 45.

[4] 云茂金,刘立人,孙剑锋,等.复振幅光瞳滤波器的三维超分辨性能研究[J].光学学报,2005,25(4):475- 478.

[5] ZHU H F, GAN H J, GAO H Y, et al. A new design of adjustable superresolving filters based on birefringent crystal[J]. Appl Opt, 2006,45(1):104-109.

[责任编辑] 李冬梅

2014-12-30

中央高校基本科研业务费专项(12CX06089A);山东省自然科学基金项目(Y2008A34);国家自然科学基金项目(10904080)

南玉杰(1985—),女,山东冠县人,中国石油大学胜利学院基础科学学院助教,硕士,主要从事信息光学及应用研究。

10.3969/j.issn.1673-5935.2015.01.013

O439

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1673-5935(2015)01- 0041- 04