排队论模型在排班管理系统的最优控制

宋加山，李 勇，黄 亭

（1.西南科技大学 经济管理学院，四川 绵阳 621010；2.中国科学技术大学 管理学院，合肥 230026）

1 排队系统组成和特征

排队论最初是在20世纪初由丹麦工程师艾尔郎关于电话交换机的效率研究开始，开创了这门应用学科，以后越来越多的学者开始对排队论进行理论上的研究。费勒在20世纪30年代将生灭过程引入到排队论理论研究过程中，成功地解决了很多的排队论问题。堪道尔在20世纪50年代初将嵌入式入马尔柯夫链来研究排队理论体系，成为了排队论的基础。随着互联网计算机的迅猛发展，排队论在越来越多的领域得到了应用，排队论在理论及实证研究中都得到了快速的发展。

排队指的是在一个或多个服务台前等待提供服务的一列顾客，排队有有形与无形之分，并非一定是服务台前的一列有形的群体。通常认为，服务台就是顾客接收服务的独立场所，任何一个服务系统，其服务资源都是有限的，所以一旦当顾客的服务需求超出了服务台所能提供的服务能力，排队现象就会发生。顾客到达服务台的时间有先后之分，接受服务的时间自然是不同的，需要服务的顾客在服务台都被占用的情况下不能得到及时的服务，所以说排队对于任何一个系统都会不可避免的发生。

排队也就意味着等待，而等待在经济意义上的成本应当从两个方面加以考虑。对公司来讲，使员工等待的成本可以通过薪酬来进行衡量，对于顾客来讲，他们的等待成本则是在这一段时间里可以做其它事情的机会成本，并且等待还会使顾客产生心理反应的成本如焦躁、厌烦等情绪。

在当前竞争激烈的市场中，过长或者预计会很长时间的排队都有会导致失去顾客。所以必须对排队系统进行优化管理，评价一个排队系统的优劣，要从两方面的利益来进行考察。首先，对于顾客来说，他们总是想等待排队的时间尽可能短，而提供服务台的数量尽可能的多；与之相反，公司增加服务台个数就意味着增加人资资本，增加投资，在服务台空闲时就导致了资源的浪费。所以对于企业来说，增加多了服务台会产生浪费，增加少了又会导致失去顾客，两者之间很难进行平衡，所以必须对排队系统进行系统研究。

排队系统具有需求群体、到达过程、排队结构、排队规则、服务过程五个基本特征，这五个特征相互作用构成了排队系统（如图1所示）。

图1 排队系统图解

（1）需求群体：在当今科技的很多领域中，各种各样的关于排队的情形有许多，在这些情形中，不难发现他们都包含需求服务的一面以及提供服务的一面，这些我们都把他们简称为客户服务，对服务有需求的一方组成了需求的群体，而出现排队情形的根本原因就是客户需求的不确定性以及服务场所的限制性。

（2）到达过程：客户从哪里来的以及如何到达的都有着很多的规律性，因此，到达的过程需要三个方面的说明：①构成顾客呼叫到达的整体是无限的也有有限的。②顾客呼叫到达所需要的时间，这之间的间隔是不是相互独立的，连续的时间间隔内到达的可能性，满足概率的分布。据服从到达时间的分布，我们可以把到达过程分为以下几类：定长分布、指数分布（泊松分布）、负指数分布、Erlang分布、几何分布、二项分布以及一般分布。③到达客户来电的种类可以分成单分批到达、按时间到达、转移状态到达等;对于到达规则无特殊说明的都按照单分批到达。

（3）排队结构：顾客在到达后，如果服务台此时处于空闲状态，顾客就可以得到及时的服务，从而使顾客得到满意，但是在客户到达之后，在这个时候服务器是很繁忙的，客户这个时候就应该选择排队，这也就构成了许多不同结构的排队样式。

（4）排队规则：排队的要求具有以下特征，即服务于客户装备的数量和客户所用装备的时间长短，这样的话可以分成等体制、损失制以及混合制。在客户到达后，全部的服务窗口都被使用着，这时候客户就必须来排队，这个就称为等待制。等待制可分为先来先服务、后来先服务、优先服务还有随机服务。如果客户先到达看见服务的装备都被占用着而没有选择余地选择离开，这个就叫做损失制。部分客户排队等候局限于有限的空间资源或环境条件，当超过一定的数量时，后来到达的客户就要必须离开，这个也就构成了混合制。

（5）服务流程：关于服务的流程可以分为下面三个部分：座位数、每个需要的服务的时间所满足的概率分布以及服务方式（串联或并联）。在数量上看，服务机构既可以是一个帮助台，也可以是多个台。从形式上看，当有很多个服务器的系统时，还能够分成平行排列和串联排列。所以，服务台的构成形式有单队的单服务台式；单队的多服务台并联式；多队的多服务台并联式；单队的多服务台串联式；单队的多服务台并串联混合式；多队多服务台并串联混合式等。在服务的过程中，如果队伍移动的速度太慢使顾客等待的时间过长，顾客就会放弃加入队伍，而去寻求其它服务，即使是已经在队伍中的顾客，也有可能因为长时间的等待而在服务接受前退出队伍，这些都会造成顾客的流失。在服务台空闲时，会选择一名顾客进行服务，服务结束后，顾客离开，在今后的一段时间内，顾客有可能继续来接受服务，也有可能再也不需要这个服务。

2 到达间隔和服务时间的分布

通过对排队问题进行求解，可以有效地对排队系统效率进行研究，确定排队系统参数的最优值，从而确定服务系统的合理性，并对其进行改进优化。判断排队系统的优劣性可以用数据指标来衡量。这些数据指标包括：①顾客在单位时间内到达服务系统的数量，也就是平均到达率，记为λ；②单位时间内接受服务顾客的平均离去率，记为μ；③在t时刻排队系统中恰有n个顾客的概率Pn(t)；④服务系统内的平均顾客数量为队长，记为L；⑤等待接受服务的平均顾客数量为等待队长，记为Lq；⑥顾客从进入服务系统到离开的时间，记为W；⑦顾客等候服务的时间，记作Wq。

为了对服务系统进行有效地研究分析，必须要明确此服务系统属于哪一个模型，然后要研究它的服务需求时间及空间的分布情况即其中只有顾客到达的间隔时间分布和服务时间的分布需要实测的数据来确定，其他因素都是出现时给定的。通常应用最多的收集数据的方法就是记录到达的实际次数，将这些数据进行整理可以计算到达服务系统的的时间间隔。一般来说，到达服务系统的间隔时间通常呈定长分布、泊松分布、负指数分布、爱尔朗分布。在排队论的模型中，泊松分布是最基本的模型，即顾客到达流是泊松流（Possion），它具有平稳性、无后效性及普通性的性质：

（1）平稳性：顾客到达服务系统的概率只和时间区间的长度和顾客的个数有关，而和区间的端点无关。也就是说在时间t+△t内，只有△t和n对其概率有影响，时刻起点t对此没有任何影响。

（2）无后效性：指在互不重叠的时间段内，事件的发生是相互独立的。即在时间t+△t内，起始时刻前到达服务系统的顾客数对于到达n个顾客的概率没有影响。

（3）普通性：如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计。即在充分小的△t这个时间间隔内，t+△t内当只有一个客户到达服务器的时候，在t+△t这个时间内就会有两个或者是两个之上的客户到达服务器的概率小之又小，是

在t的时间内到达服务系统n个顾客的概率为：

中国工程机械工业协会会长祁俊在致辞中说，山重建机在继2011年北京工程机械展会上推出节能环保的混合动力挖掘机和电动挖掘机后，今年在上海宝马展上又隆重推出了燃气动力挖掘机等多款创新产品，这充分体现了山重建机在技能环保等方面的研发实力，零排放、零污染的技术变革正改变着工程机械行业发展的格局，进一步拓宽了市场需求。

当t=1时，即单位时间内到达n个顾客的概率为：

其中λ为单位时间内到达系统的顾客的期望值。

Possion分布给出了在t时间内有n位顾客到达的概率，如果给定λ值，则就可以描述到达过程（Possion过程其实是个离散型的概率函数）。

3 排队模型的求解

如果按照排队系统特征的各种可能情形来分类是很多的。但通用的分类方法是Kendall(1953)提出一个分类形式——X/Y/Z，即（1）相继顾客到达间隔时间的分布，记为X；（2）服务时间的分布，记为Y；（3）服务台个数，记为Z。

对于呼叫中心而言，一般采用的是M/M/C/∞/∞这个模型进行管理，假定呼叫中心在一个单位的时间的到达的概率是λ，并是单个列，而且还有C个服务器，并且是服务器是单个进行的，互不影响，并且每个服务台的效率是一样的，假定为μ( )Cμ＞λ，若此时顾客的数量是数不清的，而且将排队的要求规定为等待制。

下面的是服务器的状态的概率和部分主要的进行的指标：

（1）服务器的状态概率

(2)系统的主要运行指标

4 实证分析

某集团公司客服呼叫中心有4台可拨打电话，顾客的到达（信息、咨询、投诉、查询等服务）服从泊松分布规律。呼叫中心平均每个小时可到达12人，并且每人服务时间都服从指数分布，即每台每小时平均服务4人，客户到达后排成一列，依次接受服务。求：①4台电话同时空闲的概率；②计算系统的L、Lq、W、Wq；③顾客到达后必须等待的概率。

该排队系统是M/M/4/∞/∞模型，依题意：

①4台电话同时空闲的概率

②按（4）分别计算L、Lq、W、Wq

③顾客到达后必须等待的概率

5 结论

本文以构建排队的框架模型对呼叫中心的排队管理展开了最优控制研究和探讨，并采取实证分析进行验证，通过这一模型，达到了当处在一定的服务器约束的时候形成的最优排班的管理。以下是本文相关的研究总结：

第一，现代呼叫中心作为信息化时代资源配置和市场竞争的公共通道具有重大的战略意义和经济价值，在呼叫中心行业快速发展的今天，作为呼叫中心的排队功能也在不断进步，任何一个呼叫中心系统都要不断完善和改进该功能。当今的发展来看，我国的呼叫中心早已渐渐地进入到精细化管理的新阶段，所以，不管是从呼叫中心的运行管理这方面还是说从人力资源管理的速度来看，科学的排班管理都会极大地提高其服务水平和运营效率。

第二，本文所提供的排队论模型可以为呼叫中心的劳动力管理提供了有效的定量分析方法和工具，为呼叫中心的迅速提供了适当的参数指标。排队论方法已成为提高呼叫中心管理效益的首选研究工具，排队论模型应用于排班管理，为我们开展服务设计和性能的评价提供了理论依据。通过智能，面向数据的系统工具，对呼叫中心的运行状况进行有力的数字分析，得到呼叫中心各个数量指标，并在此基础上进行系统的优化，能够快速且客观地了解到客服系统的话务情况、座席的工作状态，从而能够较好的控制呼叫人员离职率和损耗训练成本，提高座席利用率，并且有效的减少客户排队等候的时间，减少客户的流失率，增加客户满意度和忠诚度。通过排队论模型在排班管理系统的最优控制研究，使人力资源和顾客需求在一定程度上达到最优配置规模。

第三，本文所提供的排队论模型对于诸如电信、航空、医疗、运输、金融等众多领域的排管管理问题同样具有适用性。通过应用本文提供的排队论模型，对这些领域服务对象到来的时间及服务的时间进行统计研究，得出需要的数量指标，并根据这些数据改进服务体系，这样的话服务体系进行了优化，就可以既满足客户的需求，又能使人力资源配置和顾客到达过程的最优控制，为多领域的数字化管理提供了理论支持和实践参考。

[1]齐驰,侯忠生,贾琰.基于排队长度均衡的交叉口信号配时优化策略[J].控制与决策,2012,(8).

[2]熊德之,曾华.基于排队的分销网络最小成本问题[J].统计与决策，2007,（17）.

[3]陈弘,刘名武,周宗放.基于排队论的库存服务系统最优控制策略[J].运筹与管理,2013,(5).

[4]李雪.基于排队论的AGV利用率控制优化[J].兰州交通大学学报,2012,(6).

[5]马勇慧.商业银行客户等待排队优化及对策[J].时代金融,2013,(7).

[6]谢传柳,王俊峰,夏正洪,牟颖.大型呼叫中心排班算法的研究[J].计算机工程与设计,2010,(23).

[7]程元军,罗利.基于排队论和整数规划的银行柜员弹性排班模型[J].管理学报,2010,(10).

[8]许建国,池宏,祁明亮,潘邦传.机场安检人员上班模式问题研究[J].管理学报,2009,(8).

[9]杨米沙.银行排队系统数据分析及窗口设置优化研究[J].武汉理工大学学报(信息与管理工程版),2008,(4).

[10]王兴贵,焦争昌.基于排队论的银行排队问题研究[J].湘潭师范学院学报(社会科学版),2008,(1).

[11]黎明.公交车辆在中途站点的排队论分析[J].统计研究,2010,(11).