考虑细观裂纹分形扩展的损伤多尺度分析★

李 杰 李兆霞 赵超凡

(东南大学，江苏 南京 210096)

·结构·抗震·

考虑细观裂纹分形扩展的损伤多尺度分析★

李 杰 李兆霞 赵超凡

(东南大学，江苏 南京 210096)

依据焊接区细观裂纹扩展形态的分形特征，建立了分形损伤变量，推导了应变—损伤耦合本构方程，结合多尺度数值分析模型，研究了焊接构件从细观裂纹开始到构件断裂的跨尺度损伤演化过程，结构表明：数值模拟结果与实验观测相一致，分形损伤变量具有正确性和合理性。

焊接构件，细观裂纹，分形维数，损伤变量

在大型钢结构中，钢结构部件之间的连接形式中以焊接为主。受焊接工艺的影响，焊接区存在细观孔洞、细观裂纹、应力集中、残余应力等先天缺陷，这使得焊接区成为结构中最薄弱的区域[1]。在结构服役过程中，结构裂化与材料损伤共存，结构的损伤分析往往涉及到从细观到宏观的多个尺度量级[2，3]。已有实验观测研究发现：焊接区缺陷主要包括细观裂纹和细观孔洞，细观裂纹的跨尺度演化是焊接构件发生宏观断裂的主导因素。细观裂纹在扩展形态上有很好的分形特征，近年来，国内外学者基于分形理论对不同材料的破坏过程研究有了进一步的探索和实践[4-6]。本文基于细观裂纹扩展形态的分形特征，建立了分形损伤变量，推导了焊接结构损伤区材料损伤本构关系。模拟并分析了焊接构件从细观裂纹开始到构件断裂的跨尺度损伤演化过程。

1 焊接区的细观裂纹扩展形态的分形度量

细观裂纹扩展过程中的分形维数使用盒维数法来定义。盒维数计算方法如下：

(1)

其中，δ为正方形盒子边长尺码；N(δ)为相应正方形盒子边长尺码下盒子数目。已有实验数据[7]表明：细观裂纹的扩展形态具有显著的分形特征，能够用分形维数来度量，且分形维数与累积塑性应变之间具有很好的线性关系。综上，可以基于细观损伤力学的思想，将细观裂纹的分形维数作为损伤参量，根据力学平均化方法，求得材料变形和损伤过程与细观损伤参数之间的关联。

2 焊接区材料损伤本构模型

2.1 分形损伤变量的建立

在焊接金属结构焊接损伤区，细观裂纹为损伤的主要形式。如上文所述，分形维数可以很好的反映细观裂纹的扩展形态，且与材料变形有良好的关联，因此可以作为损伤参数。现将分形维数作为损伤度量，并将其无量纲化，得到损伤变量的形式如下：

(2)

其中，df为细观裂纹形成宏观裂纹导致结构失效时的分形维数。

细观裂纹扩展形态的分形维数与损伤区累积塑性应变之间有显著的线性关系：

d=d0+k·p

(3)

其中，d0为损伤初始时刻细观裂纹的分形维数；p为焊接损伤区累积塑性应变；k为分形维数与累积塑性应变之间的线性系数。因此，规格化后的损伤变量可以写成如下形式：

(4)

初始状态时，d=d0，D=D0=0，表示焊接区域内分布的细观裂纹引起的损伤初始状态，损伤没有开始演化；材料失效时，d=df，D=1；在材料受载荷作用变形过程中，伴随细观裂纹的扩展、贯通，d0

分形维数是一个跨细观、宏观的多尺度变量，因此此处建立的分形损伤变量能够适用于以细观裂纹分形扩展为主导的损伤跨尺度演化分析。

2.2 应变—损伤耦合本构方程

损伤的作用通过Lemaitre应变—损伤耦合的方法来表现，即考虑弹性模量随损伤的演化而逐渐退化：

(5)

当损伤发生时，根据有效应力[8]的概念和应变等效原理[9]，塑性屈服函数可以写成如下形式：

(6)

其中，σij′为Cauchy应力偏张量分量；Xij′为背应力张量分量；σy+R为考虑各项同性强化时的后继屈服应力。

耦合损伤后的塑性耗散势函数如下：

(7)

考虑各项同性强化为线性可向同性强化，Hi为线性各项同性强化系数，则有：

(8)

采用Prager线性随动强化准则[10]，Hk为随动强化系数：

(9)

其中，M为混合强化系数，取值在0～0.2之间[11]，M=0，1分别对应随动强化和各项同性强化。

3 焊接损伤跨尺度演化的数值分析方法

3.1 多尺度数值分析模型的建立

在焊接结构或构件中，针对焊区材料和母材需要采用不同的材料模型。焊接区内部存在细观裂纹的演化，需要考虑该区域材料的细观力学行为，采用细观建模的方式，材料采用上文建立的损伤本构关系；母材受焊接区损伤演化的影响材料应力水平普遍较低，内部即使有损伤也不演化或演化程度较低，因此采用宏观建模的方式，材料采用一般弹塑性材料本构关系。以单轴拉伸焊接构件为例，由于焊接区体积较大的宏观孔洞对细观裂纹出现的位置以及扩展方向有着重要的影响，因此根据实验CT电镜对焊接构件试样的观测结果，在焊接构件模型中建立初始宏观孔洞缺陷，如图1所示。

在焊接构件三维有限元模型中，综合考虑计算量和计算收敛性，焊接区中间层采用C3D4单元，其他部分采用C3D8I单元。

3.2 焊接区材料本构损伤关系的数值实现方法

以增量的形式改写了焊接区材料损伤本构关系，并基于ABAQUS/standard求解器，用Fortran语言编写了材料损伤本构模型UMAT子程序。在调用材料用户子程序UMAT过程中，定义材料的损伤本构关系以及相关算法。在编写材料损伤本构模型UMAT子程序时，采用基于完全隐式向后Euler法的径向返回算法实现应力增量和相关状态变量的求解和更新，并通过Newton-Raphson方法提高局部状态变量求解的收敛速度和进度。在UMAT中，可通过调用子程序UHARD来实现后屈服特性R的定义。

4 焊接损伤跨尺度演化致构件断裂分析

焊接区材料损伤模型中的材料参数通过UMAT中的材料性能定义：随动强化模量HK=1 100MPa，混合强化参数M=0.2，分形维数与累积塑性应变之间的关系由试验数据拟合得到，如下式：

d=1.195p+1.176

(10)

对焊接构件单轴拉伸模拟后发现，损伤最大值出现在椭球形孔洞上下边缘，达到0.97。选取图1中椭球孔洞所在截面，截面不同位置损伤演化趋势如图2所示。结果表明随着载荷、变形的不断增加，结构服役过程中应力在分布上呈现不均匀性，细观裂纹的演化也将出现相对较密集和疏松的区域，而分形维数具有表征裂纹密集程度的物理意义，因此在裂纹演化密集区域表现为分形损伤变量值较大，损伤在此区域更容易进一步演化，导致细观裂纹扩展形态的分形损伤变量值继续增大。综合以上对损伤演化过程的多尺度分析，并将有限元模拟结果与试验结果对比，表明本文建立的分形损伤变量具有合理性和正确性。

传统损伤宏观唯象理论中，通过材料受损后的有效承载面积来定义损伤。由于测定有效承载面积具有一定的困难，通过测量材料受损后的卸载弹性模量来标定损伤：

(11)

通过已有的实验数据，采集卸载弹性模量计算得到宏观损伤值，焊接构件跨尺度损伤演化过程中的分形损伤值与宏观损伤值对比结果如图3所示。

分形损伤值是一个多尺度损伤表征变量，与宏观损伤值之间吻合较好。对于金属材料而言，损伤起始于细观裂纹，终止于宏观裂纹扩展致材料断裂。因此，分形损伤变量能够更好地描述从细观至宏观的跨尺度损伤演化过程。

5 结语

1)本文基于细观力学思想，以分形维数为基础建立了分形损伤变量，推导了基于分形损伤变量的材料损伤本构关系。2)针对焊接区损伤跨尺度演化，给出了其数值分析方法。焊材采用上文建立的材料损伤本构关系。母材采用一般的弹塑性材料本构关系。并基于商用有限元软件ABAQUS给出了焊接区材料损伤本构关系的数值实现方法。3)通过对焊接构件单轴拉伸模拟发现，焊接损伤区从细观裂纹开始至构件断裂的跨尺度损伤演化过程与实验观测现象基本符合，表明分形损伤变量以及基于该损伤变量的材料损伤本构模型具有合理性和正确性。4)数值模拟得到的分形损伤值与实验测得宏观损伤值吻合较好。由于分形维数是一个多尺度变量，因此分形损伤变量能够更好的描述从细观裂纹开始到构件宏观断裂的跨尺度损伤演化过程。

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The damage multi-scale analysis considering the microcosmic cracks fractal extension★

Li Jie Li Zhaoxia Zhao Chaofan

(SoutheastUniversity，Nanjing210096，China)

According to the fractal characteristics of microcosmic cracks extension form in welding area,this paper established the fractal damage variables,deduced the strain-damage coupled constitutive equation,combining with the multi-scale numerical analysis model,researched the span scale damage evolution process of welding components from microcosmic cracks to component fracture,the results showed that the numerical simulation result was consistent with the experimental observation,the fractal damage variable had correctness and rationality.

welding component,microcosmic crack,fractal dimension,damage variable

2015-10-16 ★：国家自然科学基金资助项目(项目编号：11072060)

李 杰(1992- )，男，在读硕士；李兆霞，女，博士，博士生导师，教授

1009-6825(2015)36-0024-03

O346.5 < class="emphasis_bold">文献标识码：A

A