三角函数最值问题总结

李晓芸（甘肃省张掖市第二中学734000）

三角函数最值问题总结

李晓芸（甘肃省张掖市第二中学734000）

三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合运用，是高考的重点内容，同时也是难点。由于三角函数的最值问题涉及的广泛性、综合性、灵活性较强，解决起来往往不是那么容易，针对这类问题，我们只要找到恰当的方法，问题就能迎刃而解，下面就这几类问题介绍几种求三角函数最值问题的方法。

三角函数最值问题转换法

一、前言

三角函数是中学数学的重要内容，同时也是以后的数学学习所必须的内容。由于三角和代数、几何知识的密切联系，它又是研究其他相关知识的重要工具。在复数的三角形式、参数方程、几何计算以及某些代数问题中都有着十分广泛的应用。

三角函数主要体现了等价的数学思想，三角函数问题无论是三角函数的求值题、求最值题、综合题、探索题还是应用题，均以考查三角变换为核心，所以熟练掌握并能灵活应用有关三角函数的公式，掌握变换技巧与方法对高中生来说是很必要的。三角函数的最值问题是历年来高考的必考内容，同时也是难点，如果找不到这类问题求解的“技巧”，遇到这种问题时往往无从下手，本文从基本的方法入手，介绍三角函数的最值问题的求解。

二、三角函数的最值问题

这种题型大致可以分为三类：化为正弦函数或余弦函数，然后利用三角函数的有界性进行求解；换元法求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值；利用一元二次函数的根的判别法求函数的最值。

（一）利用函数的有界性，求三角函数的最值

注：以上介绍的是关于cosx的这类题型的计算，当然，关于的题目，类似的可如法刨制。

（二）换元法求函数最值

基本思想：在仅含有sinx+cosx（或sinxcosx），sinx·cosx的有理式中，设sinx+cosx=t（或sinx-cosx=t），则sinx·cosx=（或sinx·cosx=），原式可化为只含有t的有理式。

例3：求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值。

注：这类题型相对较简单，没有什么难度，同学们只要知道了这个解题的方法，再次遇到这种题时就可很容易的求出函数的最值。

（三）利用基本不等式求函数的最值

基本思想：这里所说的基本不等式用得最多的就是均值不等式，当然，其他常用的不等式也在我们的选择范围之内，在利用基本不等式求最值时，需要考虑到以下三个条件：1.各项都是正值；2.各项之和（或之积）为定值；3.等号能够成立。

不等式的运用不好掌握，到底该选哪个不等式，要具体题目具体分析，选对不等式，也不一定能够做出题目，往往还要结合拆项、添项、凑系数等技巧才能完整的解决所求问题，因此，在求函数最值问题上，同学们一定要练习自己的发散思维，力争做到灵活运用不等式，而不是死记硬背。

（四）利用一元二次函数根的判别法求函数最值

基本思想：其主要思想就是把所求函数的最值问题经过等价变形，化为一元二次函数的形式，然后再利用一元二次函数的判别式进行计算。

（y-1）tan2θ+（y+1）tanθ+y-1=0

（1）当y-1=0时，即y=1时，tanθ=0，∴θ=kπ（k∈Z）

（2）当y-1≠0，即y≠1，由△=(y+1)2-4(y-1)2≥0解得≤y≤3.则由（1）（2）可知所求函数的最大值为3，最小值为

注：此方法运用时应注意分类讨论，原函数化为一元二次函数的形式后，并不一定为一元二次函数，一定要分二次项系数为零和不为零进行讨论。

三、结语

以上四种题型是求函数最值最常用的方法，其中第一种方法较为简单；第三种方法稍有点难度，只要适当的选取不等式就可以解决问题；第二种和第四种方法都用到了分类讨论的思想，做起来稍微有点复杂，但难度不大，只要学生用心，题目都可以做对，当然，函数最值问题还有很多的其他办法，不管哪种办法，学生都要深化为自己的东西，才能灵活的解决此类问题。

[1]吕浦.几种三角函数的最值问题[J].中学生数学，2004（9）.

[2]段刚山.探求一类三角函数的最值问题[J].数学通报，2008（6）.

[3]杨海英.对于三角函数最值问题的几点思考[J].考试周刊，2007（48）.

（责编 赵建荣）