浅谈如何在数学教学中通过解题发展学生的数学思维

张 华（河北省秦皇岛市山海关第一中学066200）

浅谈如何在数学教学中通过解题发展学生的数学思维

张 华（河北省秦皇岛市山海关第一中学066200）

数学解题在学习高度抽象与严谨的数学理论中，起到了理论联系实际的作用，通过数学解题可以实现数学思维的发散、与收敛；培养学生的联想思维、逻辑思维与归纳思维；优化学生的思维结构，提升思维品质。本文主要从下几个方面阐述了如何通过数学解题发展学生的数学思维：一、精心选择习题进行解题教学；二、注重审题和解题思路的探索过程，培养学生的联想思维与逻辑思维；三、注重“一题多解”“一题多变”“多解归一”，优化学生的知识结构，发散学生的数学思维；四、强化学生的解题反思，优化学生的思维结构，提升思维品质。

数学解题数学思维

解题是中学生数学学习的主要活动，合理的数学解题活动有助于加深对基础知识的理解与巩固，有助于形成和完善合理的数学认知结构，从而提高学生的思维品质和数学能力。然而，解题是学好数学的必要条件，但绝对不是充分条件。解题的数量与学习的质量不成正比，与成绩也不是绝对的相关，有时甚至起反作用。那么，如何在教学过程中开展解题活动，既能发挥解题的巨大作用，又能避免解题带来的消极影响呢？下面是我以一个题目的解题教学为例，介绍一下我在教学实践中积累的一些不成熟的做法。

题目：在锐角△ABC中内角A，B，C所对的边分别是a，b，c。已知A=60°，a=6，b+c=8求△ABC的面积。

首先，精心选择习题进行解题教学。

解题的数量与学习的质量并不成正比，课堂中的习题量过大，将会使学生忙于应付，而无暇分析、总结解题方法和题目中涉及的知识点，以及许多题目中存在的本质思想，并不利于学生对知识的消化吸收。因此，在解题教学中要精心选择题目让学生进行解答，只有精心选择的问题，才能够起到事半功倍的效果。

上面的题目是2013年浙江（文）第18题的第二问，该题目既可以利用正弦定理也可以利用余弦定理进行求解，而且，通过对题目的合理变式，可以引导学生发现解三角形的本质。因此，在解三角形的教学中我选择了这个题目进行教学。

其次，注重审题和解题思路的探索过程，培养学生的联想思维与逻辑思维。

审题是解题的开始，认真、仔细的审题，能够有效地挖掘题目中蕴涵的信息，提高解题的正确率和速度。寻找解题思路是解题活动中关键的一步，它直接关系到能否完成解题活动。通过审题和解题思路的探索，建立起已知、未知与已掌握知识之间的连接，发现解题途径，提高解题能力。引导学生探索解题思路有利于培养学生的联想思维与逻辑思维。那么，我们应该如何引导学生进行审题和探索解题思路呢？我进行了以下两点的尝试，取得了很好的效果。

一、引导学生发现题目中显见的信息和隐藏的信息有哪些？

如：题目中显见的信息为已知的三个条件。

隐含的信息为：1.cosA＞0，cosB＞0，cosC＞0；

2.A+B＞90°，A+C＞90°则30°＜B＜90°，30°＜C＜90°。

二、引导学生思考题目中的信息能够给我们带来哪些联想？

1.【题目】中的A=60°，a=6会让我们联想到解三角形的余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，将A= 60°，a=6代入，可得到一个关于b，c的方程，再结合已知条件b+c=8，利用方程思想可解得b，c，从而此三角形可解，自然可求得S△ABC。

在审题与探索思路的过程中不仅渗透了方程思想的应用，而且培养了学生的联想思维和逻辑思维。

再次，注重“一题多解”“一题多变”“多解归一”，发散学生的数学思维，优化学生的知识结构。

对于同一个题目，教师有意识地激发学生从不同的角度、不同的结构形式去思考，用不同的思路去解答同一个问题，可以提高学生思维的创造性、灵活性，使学生在积极主动的状态下探索，为学生的思维发散提供情景、条件和机会。

对于上面的【题目】，学生通过审题分析，给出了如下的两种方法:

方法1：在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA有b2+c2-bc=36①，

在授课时，学生都觉得思路易理解但是过程太繁琐，于是，有了下面的改进方法。

将这两种方法进行对比，可以明显看出，方法二中利用了“整体思想”只需求出bc即可，而不需要分别求出b，c的值。而且，在计算过程中，分析到了b2+c2与b+c的关系：b2+c2=（b+c）2-2bc，然后将b+c整体代入进行求解，大大简化了运算量。

学生对于这几种方法表示认同，但是，在学生的脑海里这些知识仍然是零散的，这时，进行“多解归一”的启发和引导就显得非常必要。

对于第一种方法，是将已知条件转换为关于b，c的方程，再进一步求出面积。本题也可以借助于正弦定理和方程思想求解。这两种方法均体现了方程思想。而且，从解答的结果分析，我们可以求出这个三角形的b，c，∠B，∠C，S△ABC，即此三角形可解。在教学过程中，我进行了如下追问：“若将结论与b+c=8互换，其他条件不变，能否求解呢？”学生快速地给出了答案。我继续追问：“若用A=60°与结论对调呢？”，“若用a=6与结论对调呢？”这时学生很快意识到了问题的本质，对于一个三角形，若已知三个不同的条件（至少一个条件指向边），则此三角形可解。学生都为这一发现而兴奋，学生的知识结构也同时得到了优化。但是，如果我们在这里浅尝辄止，那么，这个题目的作用还没有完全发挥出来，有种“不够劲儿”的感觉。于是我又进行了下面的追问：“如果我将条件中的b+c=8去掉，那么三角形还能解么？”，答案当然是否定的，这时三角形不唯一。我继续追问：“那么，我们能否求出三角形面积的最大值呢？”（这时，我们就将这个问题变式为了2013新课标Ⅱ（理）第17题第2问的高考题）。

学生通过认真思考和小组合作，给出了如下作答：

我继续追问：若保留条件能否求出的最大值呢？（就转化为了2009年福建（理）第18题第2问的类型）学生的思维被完全激活了，很快就给出了答案。

通过对题目的变式，学生发现，对于一个三角形来说，如果我们只知道三角形的两个条件，那么这样的三角形是不确定的，我们只能得到三角形的部分信息。

由此可见，在整个过程中采用“一题多解”“一题多变”“多解归一”的教学不仅使学生认识到了如何利用正弦定理和余弦定理解三角形，而且，在解题的过程中，发现了问题的本质。这对于优化学生的知识结构，提高思维的灵活性，提升学生的思维品质，有重要的意义，可以使学生的思维既能散的开，又能聚得拢。

最后，强化学生的解题反思，优化学生的思维结构。

数学是一门逻辑性很强的学科，知识之间有着紧密的内在联系，这种联系是否能够在学生的数学认知结构中建立起来，解题反思是有效地途径之一。我们知道，知识之间的有效连接在其数学认知结构中越多，越有利于进一步学习，当然也越有利于知识的提取、迁移、举一反三。培养学生养成解题反思的好习惯，经常对解题进行研究，有利于帮助学生将所学的知识在其数学认知结构中建立起网络连接，从而使数学认知结构更加完善。

在教学过程中，我主要从以下两个方面引导学生进行解题反思：

1.对解题过程进行反思。通过对解题过程的反思，能够将所用到的知识连接起来，通过对问题多种解法的探讨，将更多的知识建立起联系。

2.对知识与思想方法的反思。数学思想方法对数学知识的学习、理论的掌握、问题的解决起着指导作用，因此，在解题反思中，对问题解决过程中用到的思想方法进行反思回顾无疑是有重要意义的。在题目中方程思想的应用可使学生从整体上把握这道题，迅速形成解决这一问题的思路与方法。

波利亚曾在《数学解题》中强调指出：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练”，“掌握数学就意味着善于解题”。数学教学的本质是数学思维活动的教学，如何在解题过程中发展学生的数学思维，是我一直在教学实践中探索、钻研的课题，深知自己的做法还有很多不足和需要完善的地方，我会继续探索，也非常期待同行们的指导！

[1]马波.中学数学解题研究[M].北京师范大学出版社，2013.

[2]周春荔.数学思维概论[M].北京师范大学出版社，2012.

（责编 赵建荣）