在玻色-爱因斯坦凝聚态中类Dicke模型的相变

赵秀琴

(太原师范学院 物理系，山西 太原 030031)

在玻色-爱因斯坦凝聚态中类Dicke模型的相变

赵秀琴

(太原师范学院 物理系，山西 太原 030031)

自旋和轨道耦合为中性的超冷原子在玻色-爱因斯坦凝聚态(BEC)中的玻色系统提供了研究的机会．文章研究此类系统的相变和基态性质．首先将它映射到著名的量子光学中的Dicke模型,Dicke模型描述了一个原子系综和单模光场之间的相互作用．Dicke模型的中心问题是预测了超辐射相和一个正常相之间的量子相变．我们研究在自旋和轨道耦合中的类似Dicke模型的量子相变．采用平均场自旋相干态法,特别是考虑原子之间的相互作用,计算出描述系统的相变点和基态性质的物理量如平均光子数,平均基态能量、两种自旋激化等物理量的解析表达式,得到在相变前后物理量变化的趋势图并与实验结果相比较．

自旋和轨道耦合;相变;基态特性

自旋和轨道耦合是量子粒子的自旋和它的动量的一种相互作用,在物理系统中是普遍存在的．在玻色-爱因斯坦凝聚态系统中,实验可以精确地控制超冷原子来研究自旋和轨道耦合相互作用量子多体系统．提出了在玻色-爱因斯坦凝聚态中用中性原子通过控制外场激光场来实现不同类型的自旋轨道耦合[1]．NIST的I. B. Spellman 小组通过一对耦合的激光在超冷87Rb原子实现了Rashba 和Dresselhaus自旋轨道耦合[2].在玻色-爱因斯坦凝聚态中,所有的原子都占据同一个量子态,因此基态性质具有特殊性,许多不曾发现过的多体现象有可能发生．例如,在上述自旋和轨道耦合下,玻色-爱因斯坦凝聚态通过调节由两组不同动量的非正交原子缀饰自旋态之间的相互作用,可以实现从自旋相分离态(简写为SP)到单个最小值相(简写为SMP)之间的量子相变[3-5]．潘建伟小组在2012年通过测量自旋和动量振荡的振幅比从实验上观察到了理论所预测的量子相变[6]．

在本文中,首先,根据实验,获得类似于Dicke模型的哈密顿量．通过改变拉曼耦合强度,系统可以从一个自旋极化相,发生了非零准动量SP,与零准动量自旋平衡相SMP的量子相变,类似于在Dicke模型中从超辐射过渡到正常相的量子相变．利用平均场自旋相干态法,计算相变点,每个物理量在基态时的解析表达式,并研究物理量的变化趋势．

1 冷原子系统中的自旋轨道模型

(1)

在方程(1)中,ψ=(ψ↑,ψ↓)T表示在缀饰态表象中的一对正交波函数．

(2)

(3)

(4)

该系统的性质可以用单模Dicke类型哈密顿量来描述,取自然单位ħ=1,

(5)

2 类似于Dicke模型的量子相变

用平均场理论来求相变的关键点,假设基态波函数为[9-11]

|φ〉=|θ〉⊗|α〉

(6)

这里定义相干态a|α〉=α|α〉,自旋相干态定义为

|θ〉=eiθJy|j,-j〉

(7)

对于自旋为1/2的原子j=N/2和θ∈[0,2π]

对于原子的平均值

(8)

方程(5)的哈密顿量的基态能量

(9)

u和v分别是α的实部和虚部．对应于E(θ,α)的最小值,分别对u和v求偏微分,并令其为零,可得

(10)

(11)

将(10)式和(11)式代入(9)式得,每个原子的平均基态能量变为

(12)

对于E(θ)最小值有

(13)

可得cosθ=0,

(14)

(15)

定义Ωc=γ2-q可得两个不同的区域．

1)Ω>Ωc,平均场能量只有一个最小值,属于单个最小值相SMP区域．

cosθ=0,sinθ=-1,

(16)

这时,光子数np=v2=0．

(17)

(18)

2)Ω<Ωc,能量最小值对应于(15)式,对应的有两个可能带入取得,对应于自旋相分离态SP范围．

(19)

对应于凝聚态会有两个最小值的带．

(20)

在图2中当有效的自旋轨道耦合强度 (a)γ2=1.8EL(b) γ2=2.6EL是定值时,相变点是一条直线,超辐射相的区域与原子间相互作用力有关,当原子间的相互作用力是排斥力时,即q>0时,区域将减少,当原子间的相互作用力是吸引力即q<0,超辐射的区域增加,并随着有效的自旋轨道耦合强度γ2的增大,如图2(b)相变点向右移．

3 类Dicke模型的基态性质

3.1基态能量的二阶导数和每个原子的平均基态能量

(21)

(22)

在图3中取γ2=1.8EL(a)可看出基态能量的分布随着有效的Rabi频率Ω的增加而增加．基态能量随着有效的原子之间的相互作用q的增大而增大．当q>0时基态能量较高,当q<0,基态能量较低,在有效的Rabi频率Ω较大时基态能量不受影响．(b)基态能量的泛函的二阶导数在两个区域内都是大于零,说明在这两个区域都是稳定态．

(23)

(24)

在图4中 取γ2=2.6EL(a)中〈Jx〉/N随Ω的变化,并且随着γ2的增大,相变点向右移,特别是在(b)中〈Jz〉/N有两个可能值,对应于凝聚态中的两个最小值．

总之,我们将凝聚态中的自旋和轨道相互作用中的量子相变和标准的Dicke模型中的量子相变相类比,得出了一维自旋和轨道相互作用,特别是考虑原子之间的相互作用时,用平均场理论可得出类似于标准Dicke模型的量子相变点,光子数分布,基态能量分布和自旋极化的分布情况,并用图表示出来,这种方法非常简洁明了,这与参考文献[10]是一致的．当然我们还有待于考虑失谐的情况,类似于参考文献[12]．

[1] LIN Y J,GARCIA K J, SPIELMAN I B.Spin-orbit coupled Bose-Einstein condensates[J].Nature,20114,71:83-86

[2] KATO Y K,MYERS R C,GOSSARD A C,et al.Observation of the spin Hall effect in semi-conductors[J].Science,2004,306,1910-1913

[3] GALITSKI V,SPIELMAN I B.Spin{orbit coupling in quantum gases[J].Nature,2013,494:11841

[4] JI S C, ZHANG Jinyi, ZHANG Long,et al.Experimental determination of the finite temperature phase diagram of a spin-orbit coupled Bose gas[J].Nat.Phys,2014(10):314

[5] HO T L,ZHANG S Z.Bose-Einstein condensates with spin-orbit interaction[J].Phys. Rev.Lett,2011,107:150403

[6] ZHOU X F,LI Y,CAI Z,et al.Unconventional states of bosons with the synthetic spin-orbit coupling[J].J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys,2013,46:134001

[7] LIAN Jinling,ZHANG Yuanwei,LIANG J Q,et al.Thermodynamics of spin-orbit coupled Bose-Einstein condensates[J].Phys.Rev.A,2012,86:063620

[8] DICKE R H.Coherence in Spontaneous Radiation Processes[J].Phys.Rev,1954,93:99

[9] ZHANG J Y,JI S C,CHEN Z,ZHANG L,et al.Collective Dipole Oscillations of a Spin-Orbit Coupled Bose-Einstein Condensate[J].Phys.Rev.Lett,2012,109:115301

[10] CHRIS Hamner, QU Chunlei, ZHANG Yongping,et al.Dicke-type phase transition in a spin-orbit-coupled Bose-Einstein condensate[J].Ncomms,2014,5023:1-8

[11] ALVERMANN L,ALVERMANN,FEHSKE A,Quantum H.phase transition in the Dicke model with critical and non-critical entanglement[J].Phys.Rev.A,2012,85:043821

[12] ZHAO X Q,LIU N,LIANG J Q.Nonlinear atom-photon-interaction-induced population inversion and inverted quantum phase transition of Bose-Einstein condensate in an optical cavity[J].Phys.Rev.A,2014,90:023622

Dicke-Type Phase Transition in Bose—Einstein Condensate

ZHAO Xiuqin

(Department of Physics,Taiyuan Normal University, Taiyuan 030031, China)

Spin-orbit coupling(SOC) in ultra cold neutral atoms provides the opportunity to study such phenomena in bosonic systems, Here we study the ground state properties of such a system using the field coherent state and show that it can be mapped to the well-known Dike model in quantum optics, which describes the interactions between an ensemble of atoms and an optical field. A central prediction of the Dicke model is a quantum phase transition between a superradiant phase and a normal phase. used the average field spin coherent state method, especially considering the interaction between the atoms, calculated the analytical expressions of the phase transition point and physical quantities which describe ground-state properties of the system such as the average number of photons, the mean energy of the ground state, two spin intensification, obtained the changing figures of physical quantities in the phase transition before and after and the compared with experimental results.

spin-orbit-coupled; phase transition; ground-state properties

2015-07-20

赵秀琴(1966-),女,硕士,太原师范学院物理系讲师,主要从事物理教学和凝聚态物理中量子相变的研究．

1672-2027(2015)03-0058-05

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