基于三维线形坐标系的轨道静态平顺性数据处理方法研究

孙海丽　姚连璧，2　王　璇　周跃寅(.同济大学测绘与地理信息学院，上海　200092；2.现代工程测量国家测绘局重点实验室，上海　200092)Study on Data Processing Methodof Track Static Regularities Based on 3D Linear Coordinate SystemSUN Haili　YAO Lianbi,2　WANG Xuan　ZHOU Yueyin

基于三维线形坐标系的轨道静态平顺性数据处理方法研究

孙海丽1姚连璧1，2王璇1周跃寅1(1.同济大学测绘与地理信息学院，上海200092；2.现代工程测量国家测绘局重点实验室，上海200092)Study on Data Processing Methodof Track Static Regularities Based on 3D Linear Coordinate SystemSUN Haili1YAO Lianbi1,2WANG Xuan1ZHOU Yueyin1

摘要采用三维线形坐标系统作为轨道静态平顺性评价的坐标基础，研究基于三维线形坐标系的轨道静态平顺性检测数据处理方法，主要包括工程坐标系与三维线形坐标系的转换方法、三维线形坐标系下轨道几何参数偏差计算方法以及基于三维线形坐标偏差的轨向与高低不平顺值计算方法。并通过实例计算，验证了方法精度和可行性。

关键词轨道静态平顺性三维线形坐标系偏距轨向高低

高速铁路和城市轨道交通以其载客量高、输送能力强、速度较快、安全性好、正点率高、舒适方便等优点，受到广大旅客的钟爱，已经成为出行的首选。高速铁路和城市轨道交通列车安全运行具有重大意义。列车速度的大幅提高、高速铁路和城市轨道交通大规模的网络化发展对轨道平顺性提出了更高的要求，轨道平顺与否关系到列车运行的安全和旅客的舒适度。轨道不平顺引起机车车辆产生振动，是导致轮轨作用力增大的主要原因[1-3]，也是线路方面直接限制列车速度的主要因素[1，5-6]。轨道几何形位的平顺状态直接影响轮轨系统的运行安全、平稳舒适、部件寿命、环境噪声等[7-9]。只有提高和长久保持轨道结构的强度和轨道状态的平顺性，才能满足列车快速、平稳、舒适、安全的运输要求[10-11]。

为保证轨道高平顺性，需要具备能够准确测量轨道状态的平顺性检测方法以及科学的轨道平顺性检测数据处理方法。轨道平顺性数据处理主要是对轨道几何参数偏差进行计算并与现有规范中规定限差进行比较和分析，包括轨距、水平(超高)、轨向、高低、扭曲(三角坑)，以及轨道的中线、左右轨平面坐标和高程等[12-16]。

静态不平顺是在无列车荷载时，真实完整轨道不平顺的部分、不确定的表象。动态平顺性则可以反映荷载作用下的变形及振动特性。轨道动态平顺性是线路在机车荷重和动态作用力的作用下轮轨系统的复合状态。本文主要针对轨道静态平顺性数据处理方法进行研究。

现有轨道平顺性数据处理方法是以工程坐标系为基础。在工程坐标系下，轨道的三维坐标，尤其是平面坐标含义以及轨道坐标与轨道几何参数(横向偏差、轨向、高低等)间的关系并不直观，通过轨道三维坐标进行轨道轨向和高低的计算方法也较为繁琐。本文拟采用三维线形坐标系统作为高速铁路轨道静态平顺性评价的坐标基础，即建立以线路设计中心线任一点为坐标原点，以线路设计中心线的水平投影为坐标横轴，线路在水平面上与中心线的垂直距离为纵轴，高程与工程坐标系一致的三维线形坐标系统，可以方便地描述高速铁路轨道的空间线形以及轨道上点位间的关系，易于表达复杂线形，同时易于进行轨道几何参数偏差计算和轨道静态平顺性的评价。

1三维线形坐标系下轨道静态平顺性检测数据处理方法

1.1　三维线形坐标系统的定义

原有的高速铁路坐标系统中使用工程坐标系表示轨道位置，轨道中线及左右轨坐标形式为(X，Y，Z)，其中(X，Y)为工程坐标系下平面坐标，Z为工程坐标系下的高程。三维线形坐标系的三个坐标分别为里程、偏距和高程。以工程坐标系中点P(XP，YP，ZP)为例，可以通过平面坐标(XP，YP)计算出该点里程LP及对应设计中线偏距DP，高程坐标使用原工程坐标系下的高程Z并用HP表示，并规定P点在设计中线沿里程增大方向的左边时，DP为负，在右边时，DP为正。为此，实现了P点三维线形坐标的表示，即三维线形坐标为(LP，DP，HP)，下面将对三维线形坐标建立方法进行介绍。

1.2　工程坐标系与三维线形坐标系的转换

进行工程坐标系到三维线形坐标系的转换时，三维线形坐标系中高程坐标使用原工程坐标系下的高程。在此主要对三维线形坐标系中里程和偏距计算方法进行介绍。参考李全信关于线路测量正反算一文的方法[17]，研究工程坐标与三维线形坐标的转换方法。

如图1轨道点P，P点对应的中线点P′，AB为轨道中线上的一段，A、B为P点所对应一段平曲线的起止点。l为该曲线区段上起点A的里程差。为计算P点的里程，需已知下列参数：曲线元起点A的曲率KA，终点B的曲率KB，曲线元的弧长LS，曲线元起点A在线路坐标系中的坐标值XA，YA，起点A在线路坐标系中的切线方位角αA，表示曲线元偏向的符号函数a=±1，表示边桩点P边向的符号函数b=±1。它们的取值规定如下：当曲线元左偏时a取-1，当曲线元右偏时a取+1；当边桩点位于曲线元坐标计算方向左边时b取-1，位于右边时b取+1。

应用数值积分的Gauss-Legendre 公式给出了曲线元上任意点P′的坐标计算公式及其切线方位角计算通式，如式 (1)、式(2)、式(3)

(1)

(2)

(3)

其中，KAB=KA-KB，Ri及Vi为常数，其值为：R1=R4=0.173 927 422 6，R2=R3=0.326 072 577 4，

V1=0.069 431 844 2，V2=0.330 009 478 2,

V3=0.669 990 521 8，V1=0.930 568 155 8

已知l，D，计算P点坐标的统一数学模型为

(4)

(5)

通过曲线元上的法线有无数多个，但通过P点曲线的法线是惟一的。根据这一特性解求P点的弧长l和偏距D。首先在A与P′点间取一近似点，通过判断P点到该点法线的垂距是否为0，来确定又一近似点的位置；再判断P点到该新近似点法线的垂距是否为0。通过类似的循环，即可解求出弧长l，并求得偏距D，从而计算轨道点在中线投影点的坐标和投影点处轨向。

先由下式求得P点到起点A法线垂距的绝对值d1

(6)

以d1作为l的初值，即以d1代替式(1)和(2)中的l，可求得曲线元上一点P1的坐标(XP1，YP1)；由式(7)求得P点到P1点法线的垂距d2

(7)

以(d1+d2)作为l的新值，即可由式(1)和(2)又求得曲线元上更接近P′点的新点P2的坐标(XP2，YP2)；用XP2，YP2及(d1+d2)分别替代式(7)中的XP1，YP1及d1，即可又算得P点到P2点法线的垂距d3。

由l并按式(1)和(2)算得P′(XP′，YP′)偏距D可由式(8)求得

(8)

根据D的正负依据“左负右正”规则可判断出P点相对于曲线元的边向，即可以判断轨道点是左轨还是右轨。在已知P点与P′点坐标情况下不用距离反算公式求D，而用式(8)求D是因为使用式(8)可同时判断出P点的边向。

经过以上步骤的计算，可得到轨道点对应的里程、偏距，里程对应的中线点坐标，该中线点对应的轨向方位角。

1.3　轨道几何参数偏差计算方法

为了进行轨道静态平顺性评价和轨道调整量计算，需要进行轨道横向偏差、高程偏差、超高偏差的计算，轨道中线、左右轨横向偏差可以通过公式(9)计算

(9)

中线、左右轨高程偏差可以通过公式(10)计算

(10)

超高偏差可以通过公式(11)计算

(11)

那么就需要进行测量数据对应的设计偏距、设计高程和设计超高的反算。中线设计偏距为0，设计超高基准为1 500 mm，则左右轨设计偏距分别为-0.75 m和0.75 m。

由于设计偏距是一常数，从横向偏差的计算中可以看出，三维线形坐标系中的偏距可以直接反应轨道的横向偏差，能够通过实测偏距直观获得轨道铺设的平面偏差。

1.4　基于三维线形坐标偏差的轨向和高低不平顺值计算方法

轨向是衡量轨道中心线在水平面上的平顺性指标，分左右轨两种，曲线上也称为正矢，本文中一律称为轨向。高低是衡量轨道在竖直平面内的不平顺，也分为左右轨两种。轨向和高低不平顺计算方法类似，区别只是对应轨道的不同维度。我国高速铁路无砟轨道几何形位静态验收标准中，高低和方向不平顺主要检测方法为：短波不平顺检测法、中波不平顺检测法和长波不平顺检测法[15]。短波基线长为10 m，中波基线长为30 m或48a(m)(a为轨枕/扣件间距，一般为0.625 m)，长波基线长为300 m或480a(m)。

目前轨道轨向和高低不平顺主要利用采集的左右轨三维坐标推算得出。在轨道实际精调中，只能在线路横向和垂向进行调整，需要根据实测数据、线路设计线形和调整量相对关系计算调整后各钢轨三维坐标，再计算轨道轨向和高低不平顺值，这不仅增加了计算难度，即需要将调整量转化为大地坐标分量，而且不能直观判断调整量与轨道高低和轨向不平顺的关系。为此需要进行轨道轨向和高低不平顺值计算方法的研究，为无砟轨道精调提供理论指导。参考全顺喜等基于工程坐标系下轨道几何参数偏差的中波和长波轨向和高低不平顺值计算方法[18-19]，研究基于三维线形坐标系下轨道几何参数偏差的轨道短波、中波、长波轨向和高低不平顺值计算。

首先给出在三维线形坐标系下轨道轨向和高低矢高计算方法。轨道中线坐标、左右轨坐标测量结果在统一的三维线形坐标系下。该三维线形坐标系以该区段设计中线桩点起点为原点，以设计中线的水平投影为坐标横轴，以设计中线平面法向方向为纵轴，高程与工程坐标系一致。设计左右轨上任一点都可以在此三维线形坐标系下表达为(里程，偏距，高程)。所以左右轨横向偏差可以通过公式 (9)计算，左右轨高程偏差可以通过公式(10)计算，并规定：当实测轨道计算点在设计轨道沿里程增大方向的左侧时，横向偏差为负，反之为正；当实测轨道计算点在设计轨道上方时，高程偏差为正，反之为负。

为计算方便，可以做以下假设[18]：①起点和终点轨道高程和横向偏差差值相对于弦长来说很小；②设计线形为圆曲线时，弦长所对应圆心角很小；③线路纵断面最大坡度很小。

(1)短波不平顺

轨道短波不平顺值的计算方法参考三维坐标法计算，即原计算方法中使用平面坐标和高程，本文使用三维线形坐标。

轨向实测矢高：如图2所示，将实测点向对应的实测基线(即10 m弦线上)投影，即将实测点C点向A和B连线投影，C到投影点的距离也就是图中的hi的长度即为C的实测矢高。

理论矢高：根据实测点C的坐标，计算出C所在的里程，在设计曲线上找到对应C里程的点，将此对应点按照实测矢高的计算方法计算其在设计曲线上的投影，并计算其与投影点间的距离，即C对应的理论矢高。

计算轨向时，使用里程和偏距坐标。高低不平顺计算方法中，矢高的计算需要首先计算检测点的里程，并将里程和高程作为检测或计算点的坐标，此时可将里程当做横坐标，高程当做纵坐标，类比轨向不平顺计算中的平面坐标进行对应矢高的计算即可。

采用坐标法计算短波轨向和高低，计算区间起点A和终点B连线的直线方程为y=kx+b，计算点C到该直线的距离di，可表示为式(12)

(12)

计算轨向和高低不平顺值时，规定轨向的符号定义为沿里程增大方向，向左为负，向右为正；规定高低的符号定义为向上为正，向下为负。

(2)中长波不平顺

设计线形为直线：

中长波轨向和高低不平顺实质是30 m、300 m弦范围内，间隔5 m、150 m两测点矢高偏差(设计矢高与实测矢高之差)的差值，如中长波轨道不平顺值分别表示为式(13)和式(14)

(13)

(14)

当设计线形为直线时，30 m弦各测点方向矢高偏差计算，各测点高低矢高偏差计算见图3。

假设测点j为拉弦起点，则测点j+48为拉弦终点，图3、图4中pi(i、j表示测点号，j≤i≤j+48)为各测点横向偏差和高程偏差。其中高程偏差为实测点在竖向到设计线形的距离；横向偏差为实测点到设计线形的垂直距离。由图3、图4可知：不管设计线形在竖向是否有坡度，由于直线上各测点设计矢高为0，故AC为测点i轨向和高低矢高偏差。由1.4节假设①和③可知，∠BAC很小，则有AC≈AB，则各测点高低和轨向矢高偏差可表示成式(15)

Δpi=AC≈AB=AG-BG=

(15)

由于需要间隔5 m测点矢高偏差的差值，故一次拉弦可得测点j+1～j+39矢高偏差的差值，下一弦线从已检测的最后一点j+39开始。测点i与测点i+8矢高偏差的差值可表示为式(16)

(16)

设计线形为曲线：

当设计线形为圆曲线时，30 m弦各测点方向矢高偏差见图5。

由图5可知：对于拉弦起点j和拉弦终点j+48之间任意一测点i，设计矢高为GE。由1.4节假设②可知∠EGF很小，则有GE≈GF；实测矢高为AC，由假设①和假设②可知∠BAC很小，则有AC≈AB，可以证明BF≈DE，且由于MN≈pj，WV≈pj+48，故DE可由拉弦起点和终点横向偏差值表示，各测点方向矢高偏差表示为式(17)

Δpi=AC-GE≈AG-BF≈AG-DE=

(17)

当设计线形为圆曲线时，各测点高低矢高偏差的计算如图6所示。由图6可知：对于拉弦起点j和拉弦终点j+48之间任意一测点i，设计矢高为GF，实测矢高为AC，由假设①可知∠BAC很小，有AB≈AC，所以各测点高低矢高偏差为式(18)

Δpi=AC-GE≈AB-GF=AG-BF≈

(18)

由式(15)、(17)、(18)可知，不管设计线形是直线还是圆曲线，由各测点高程和横向偏差来计算矢高偏差差值的方法一致。

同理，利用轨道平面和高程绝对偏差计算轨道长波轨向和高低不平顺可采用类似方法，长波轨向和高低不平顺可表示为式(19)

(19)

根据以上推导，也验证了与全顺喜等[18-19]关于轨向和高低计算方法一文公式的一致性。

考虑到实际轨道测量数据特点，即不局限于轨枕处的测量，所以本文在计算中波和长波不平顺时，采用里程间隔标识不同的点。为此，对中波和长波轨向和高低计算公式分别如式(20)和式(21)所示

(20)

(21)

由上述分析可知：无论设计线形是直线还是曲线，用各测点平面和高程偏差值计算其轨向和高低不平顺方法一致。

2计算验证

2.1　工程坐标系与三维线形坐标系的转换精度验证

按照本文介绍的工程坐标系与三维线形坐标系转换方法，选择上海地铁某区段设计数据(如表1)进行工程坐标与三维线形坐标转换方法验证。该段数据包含了圆曲线、缓和曲线和直线，里程区间为8 300~8 850 m，区间长度为550 m。使用该区段设计左轨、右轨和中线数据进行里程计算，并对比设计里程，验证里程和偏距计算方法。

轨道施工精调后施工方给出了设计数据，包括里程、中线坐标、左右轨坐标，考虑到工程实际需要，工程施工方给出的里程和中线、左右轨坐标一般都精确到0.1 mm。为了进行三维线形坐标建立方法验证，首先利用设计方给出的中线坐标和左右轨坐标计算里程，并根据计算里程反算中线坐标、左右轨坐标，再根据反算的坐标结果进行三维线形坐标的计算，并对比正反算里程、中线坐标和左右轨坐标，并将设计数据给出里程与计算里程进行对比。表2～表5分别给出了设计中线、设计左轨、设计右轨工程坐标与线形三维坐标正反算坐标结果偏差，以及设计中线、设计左轨、设计右轨里程正反算偏差。

计算结果显示，里程和坐标正反算结果较好，里程正反算偏差都在0.000 2 mm以下；偏距正反算偏差在0.003 mm以下；坐标X正反算偏差在0.003 mm以下，坐标Y正反算偏差基本为0。因为设计数据里程精确到亚毫米级，设计中线和左右轨坐标精确到亚毫米级，所以设计里程与计算里程偏差理论应该在0.2 mm以内，表5给出的设计里程与计算里程偏差，通过计算结果显示，该计算里程与设计里程偏差均在0.2 mm以内，验证了施工方给定的设计数据的精度，也说明了本文给出的三维线形坐标系建立方法具有较高精度。

2.2　基于三维线形坐标偏差的轨向和高低不平顺值计算方法验证

1.4节探讨的基于三维线形坐标偏差的轨向和高低不平顺值计算方法存在假设条件，与用三维坐标计算结果存在偏差。为验证该方法可行性，选取一区段地铁实测轨道数据，里程区间为8 402.615~8 716.145 m，该区间包含多段缓和曲线、圆曲线和直线，分别用该方法和三维坐标计算各测点高低和轨向不平顺，并对比二者计算结果。考虑到不同测量任务或不同测量系统轨道测量数据结果特点，即轨道测量数据点位密度可能并不局限于轨枕处的数据，为此将测量数据最终内插为1 cm里程间隔数据，再进行轨向和高低不平顺值的对比计算。

两种方法短波、中波、长波轨向和高低不平顺偏差对比结果如表6～表8所示，可知基于三维线形坐标偏差的轨向和高低不平顺值计算方法与三维坐标法计算的结果基本一致，最大不平顺偏差也小于0.005 mm。

3结论

介绍了基于三维线形坐标系的轨道静态平顺性检测数据处理方法，给出三维线形坐标系的定义和建立方法，然后介绍了工程坐标系与三维线形坐标系的转换方法，阐述了在三维线形坐标的基础上进行轨道几何参数及其偏差计算方法和轨道静态平顺值计算方法，水平、高低、轨向、轨距等轨道静态平顺性几何参数都可以通过三维线形坐标系统中轨道测量结果进行计算，并通过计算，验证了基于三维线形坐标的轨向和高低不平顺值计算方法的等效性。基于三维线形坐标系的轨道静态平顺性检测数据处理方法中，三维线形坐标(里程，偏距，高)针对轨道线形分布特征定义，更具直观的几何意义，方便轨道几何参数和偏差的计算以及轨道静态平顺性评价。

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中图分类号：U211

文献标识码：A

文章编号：1672-7479(2015)06-0019-06

作者简介：第一孙海丽(1986—)，博士研究生。

基金项目：测绘地理信息公益性行业科研专项经费资助(HY14122136)；上海市自然科学基金项目(15ZR1443700)。

收稿日期：2015-11-16