化归与转化法在高中数学中的应用探究

林隽

摘 要：化归与转化法是高中数学的一个常用思想方法，用化归与转化法可以让问题更容易得到解决，或者让解决问题的过程更加简便。通过该方法的学习，可以建立学生学习数学的自信，因此它在高中数学中有着极其重要的意义及作用。本文试就化归与转化法在高中数学中的应用做一个总结和归纳。

关键词：化归；转化；方法；应用

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）24-291-02

现代各门应用科学中广泛使用“数学模型方法”，化归转化方法就是其中的一种，在高中数学中也有着十分广泛应用。

一、化归与转化法的内涵

化归与转化法是分析处理数学问题的一种普遍方法，在数学解题，论证和应用中有着多方面的作用。化归与转化法的根本思想就是通过适当的方法把原问题不断的转化，最终转化为已解决或易于解决的问题。在应用化归与转化法解题时，应遵循化繁为简、化难为易的原则，应注意转化前后是否等价，如果不是等价转化，那么利用这样的化归与转化法解题后，须注意做一些弥补工作。

二、化归与转化法在高中数学中的应用

1、代数换元法。换元的常用方法有：三角换元、局部换元等。其中局部换元是学生们十分熟悉的方法，主要通过引进新的变量，从而简化问题的运算，或让问题易于解决。在解方程、不等式、函数等诸多问题中都可见到换元法的使用。

而三角换元，其基本原则就是利用三角函数的定义及有关三角公式，从而把原问题转化为三角函数问题，继而通过解决三角恒等变换、解三角方程等问题，完成原问题的解答[1]。

例1已知 求证：

分析：这是证明不等式的问题，用代数方法较为繁杂，如果注意到代数中 的取值范围与正，余弦函数取值范围的一致性，根号式的中的结构与三角公式相吻合，则可将原问题转化为三角问题。

证明：令

于是有：

=

= =

即 ，命题得证。

上面我们通过三角换元的方法，使得原来用代数方法解答较为复杂的问题，变得简便，从而体现了化归与转化法的优越性。三角换元法适用于降次、去根号，或者转化为三角形式易求的问题，主要借助已知代数式与三角知识之间的联系进行换元。

2、复数替换法。复数有代数式，向量式，三角式，指数式等多种表达方式。复数的多种表达形式，决定了复数应用的广泛性和灵活性，既可用来解答几何问题，也可用来解答代数，三角问题[1]。例如：

例2求函数 的最大值。

分析：本题是函数求值，若用代数方法无从下手，经观察发现解析式中的两个根式都是某个复数的模，可以利用复数模的性质来解。

解：构造复数 ，

所以

故所求函数的最大值为

由于复数与代数、三角、几何中一些知识有密切的联系，所以通过复数可以沟通多方面的知识，使得许多问题得到较好的解决。

3、转换运算法。当原式的运算比较繁杂或难以入手时，我们通常考虑利用化归与转化法将复杂的运算进行转化，使问题易于运算或解决，这类转化常用于指、对数函数之间的变换。

例3已知 为自然数的底，且有 ，求证：

分析：如果从一般的不等式证明方法，此题很难入手。但是我们注意到题中有出现自然数的底 ，且已知代数式为指数形式，化为对数运算起来更为方便，所以可将原问题进行对数函数变换。

证明：对不等式 两边取自然对数，有

又有 ，构造函数：

，

从而对 ，即得到 ，命题得证。

方程两边同取对数的方法，是解决庞大数式的开方、乘方计算问题或证明问题时常用的方法，它可以使运算过程得到简化。

4、函数与方程。函数与方程之间有着密不可分的联系，在解决方程问题时，我们常通过构造一个函数（有时需要先移项），把方程问题转化为函数零点的问题，或者借助函数图象来解决。同样，解决函数的问题也常需要方程的帮助。

例4已知一元二次方程 在区间 内恰有两个不相等的实根 、 ，求实数 的取值范围、

分析：该问题为一元二次方程根的分布问题，我们可借助数与形的转化，借助函数的图象列出与题设等价的不等式组。

解：根据函数 的图象（如图1），得不等式组：

解得实数 的取值范围为 图1

此方法还常用于判断方程根的个数，以及根所在区间的问题。

5、函数与不等式。学习导数以后，函数与不等式的关系愈加密切了，我们一般可将不等关系化为最值（值域）问题，从而求出参变量的范围。不等式的问题也常借助于化归与转化法，利用函数将问题化繁为简。

例5已知函数 在区间（0，1]上为单调递增函数，求实数a的取值范围、

分析：由于导函数与原函数之间存在的联系，我们常把已知原函数单调区间的问题转化为不等式恒成立的问题，进而求出参数的取值范围，使问题易于解决。

解：∵ 在区间（0，1]上为单调增函数、

∴ ≥0在（0，1]上恒成立、即： 在（0，1]上恒成立，

令 ，则函数 在（0，1]上为单调递减，

∴ ∴当 时， 在区间（0，1]上为单调增数由于转化前后并非等价，所以应用时要注意检验等号是否成立。

6、向量法。向量是有方向的线段，因此很多几何问题在利用向量作为工具来解决时，会收到无法想象的奇效。比如，向量的数量积常用于解决与向量垂直、平行、射影、夹角等有关的问题。更重要的是，如果利用空间向量的知识，再结合向量坐标来解决立体几何问题，给很多迷茫的学生带来了希望。

例6证明：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它与这条斜线垂直。

分析：由于相互垂直的向量数量积是0，所以我们考虑以向量为工具，在空间直线上取某一向量，作为方向向量，将空间直线之间的关系化归转化为向量之间的关系，利用向量运算，得到相应结论。

证明：如图，直线 是斜线 在平面 上的射影， 为平面 上的直线， 。

分别在直线 上取方向向量 和 ，

则：

由已知 ，所以 ，

又 ，由向量数量和性质得 ，

所以 ，即

该方法还适用于余弦定理、积化和差等诸多公式的证明。

7、命题的否定（对立事件法）。如果正面解决某些问题存在困难，而原问题的否定（概率问题中的对立事件）比较好解决，则采用该方法。在解题中，可把原问题的结果看成一个集合 ，问题的总体类比成集合 ，原问题的否定（概率问题中的对立事件）看作集合 的补集，因而又称补集法，也是我们常说的正难则反。

例7已知三个一元二次函数： ， ， 中至少有一个函数有零点，求实数 的取值范围、

分析：本题若从正面解决，则需分多种情况进行讨论，繁不堪言，但若从它的否定“三个函数都没有零点”入手，先求出 的集合，再求其补集，就简便多了。

解：令 ，由 ，解得 ，

∴满足题意的 的取值范围是 或 .

一个题目若从正面需要讨论多种情况，则反面对应的情况一般较少，从反面考虑就会比较容易，此方法在概率问题中也有较多的应用。

8、逆否命题法（等价法）。由于互为逆否命题的两个命题真假性相同，所以在数学上，由于一些问题从正面解决比较繁杂或无从入手，我们常常考虑把它变化一下形式，利用它的逆否命题达到化归转化的目的。通过逆否命题的解决，从而使得原命题立即得到解决或得证。

例8命题 ： 或 ，命题 ： ，则 是 的什么条件。

分析：由于本题直接判断命题 与命题 的关系，须分多种情况考虑，存在一定的难度。我们可以从逆否命题出发，判断 是 的什么条件。命题 ： ， ： 且 ， 是 的必要不充分条件，所以则 是 的必要不充分条件。

9、坐标法。解决平面几何问题时，建立适当的坐标系，用坐标表示点，用方程表达曲线，以达到用代数方法解决平面几何问题的目的，这也是解析几何根本思想。此方法最典型的就是在直线与圆锥曲线中的应用，但是，我们在使用坐标法的时候，还是要注意结合平面几何的性质。

10、三维变二维。立体几何问题对学生的空间想象能力提出了很高的要求，如果加强化归与转化思想的把握和运用，可以帮助很多文科学生建立对立体几何信心。在解题过程中，我们常借助线段平移、做截面以及侧面展开等方法，把复杂立体几何问题转化为平面几何问题，借助学生相对比较熟悉、也比较容易掌握的平面几何知识来解题，也就是把三维降成二维。

11、线性规划问题。线性规划在现实生活中有着十分广泛的运用，是高考常考的考点，解决此类问题，首先就是要充分理解目标函数的几何意义。通过化归与转化法，把目标函数转化为两点间的距离问题、截距问题、斜率问题或者点到直线的距离问题等等具有几何意义的量的问题，以达到数与形之间的转化，从而找出最优解，使问题得到解决。

三、化归与转化法应用中的注意事项

在化归与转化法应用中，多数是等价转化。如果利用不等价的转化进行解题时，必须再做一些必要的弥补工作和调整。

如例1中，由于 ， ，所以在换元时需要对 的取值范围进行规定， ， .又如，

例9解方程：

分析：我们可以令 ，应注意 ，所以在求出 的解后需要把增根去掉。我们解得 ， ，其中 为增根，所以得 .

以上我们归纳总结了化归与转化法在高中数学中的简单应用，为该方法在高中数学中的应用提供了一些方向。由于化归与转化法的灵活性与多样性，在使用时又没有统一套路可用，所以我们应当利用动态的思维，探索出使得问题易于解决的变换，这样可以拓宽学生的解题思路，简化解决问题的过程，这对数学知识的学习、掌握以及灵活运用都是大有裨益的。

参考文献：

[1] 何华兴.RMI方法在代数中的应用[J].数学教学通讯：中教版，2006（4）：62-64.江苏：江苏省无锡高等师范学校，2006.