基于稀疏贝叶斯学习的无源雷达高分辨成像

王天云于小飞陈卫东*丁 丽陈 畅

①（中国科学技术大学电磁空间信息重点实验室 合肥 230027）

②（中国卫星海上测控部 江阴 214431）

基于稀疏贝叶斯学习的无源雷达高分辨成像

王天云①②于小飞①陈卫东*①丁 丽①陈 畅①

①（中国科学技术大学电磁空间信息重点实验室 合肥 230027）

②（中国卫星海上测控部 江阴 214431）

针对无源雷达压缩感知成像，该文提出一种基于稀疏贝叶斯学习的高分辨成像算法。基于一次快拍模式下的无源雷达回波模型，文中首先考虑目标散射系数的统计特性及其对微波频率的依赖关系，将无源雷达成像转化为MMV（Multiple M easurement Vector）联合稀疏优化问题；然后对目标建立了级联形式的稀疏先验模型，并利用稀疏贝叶斯学习技术进行求解。相比之前基于目标确定性假设的稀疏恢复方法，所提算法更好地利用了目标的统计先验信息，具有能够自适应调整参数（目标模型参数和未知噪声功率）和高分辨反演目标等优点。仿真结果验证了该算法的有效性。

无源雷达；高分辨率成像；稀疏贝叶斯学习；联合稀疏优化

1 引言

无源雷达是一种利用外辐射源发射电磁波信号对目标进行探测或成像的双/多基地雷达，具有优越的“四抗”性能，一直是雷达界的研究热点。随着通信、导航等新兴技术的发展，存在于空间中的电磁波信号种类越来越丰富，目前被证实可用的外辐射源包括调频广播（FM）［1］，数字地面电视（DVB-T）［2］，中国移动多媒体广播（CMMB）［3］，全球导航卫星系统（GNSS）［4］等。

作为传统雷达成像（SAR， ISAR）技术的有益补充，近年来无源雷达成像得到世界各国的普遍重视，已成为雷达成像的重要研究领域［512］-。其中，文献［5］利用目标散射系数和接收回波的傅里叶变换关系，提出了极坐标形式下基于单频信号的无源雷达逐点匹配成像方法。文献［6］提出了一种基于单频连续波的无源雷达成像时域算法，利用信号匹配矩阵和回波信号矩阵的Hadamard积在时间维求和实现目标聚焦，避免频域的插值处理。文献［7］从电磁场模型出发，提出了基于滤波反投影思想的多孔径无源雷达成像方法，不需预先知道发射机位置或者波形信息。以上几种方法致力于解决外辐射源带宽较窄时的成像问题，通常需要较多数目的发射机或者接收机才能获得较好的成像性能。文献［8］开展了利用全球导航卫星系统（GNSS）为照射源、地面站接收的Space-Su rface SAR（SS-SAR）成像技术，虽然充分利用了带宽信息，但是为了获得方位维的高分辨，需要构造大的合成孔径，因而成像时间较长。文献［9］提出了P-ISAR成像方法，将无源探测结果利用ISAR技术实现目标聚焦，但实测结果表明P-ISAR得到的成像分辨率较低。

随着人们对高分辨率雷达图像的需求越来越迫切，上述以奈奎斯特采样定理为基础的雷达信号处理技术对数据采样及处理速率的要求也越来越高。近年来，压缩感知（Com pressive Sensing， CS）理论利用目标稀疏先验信息，在远低于奈奎斯特采样速率情形下，只需少量观测样本即可重构原始信号，可以有效减少雷达数据量及节省信号带宽，为一次快拍下的目标成像提供了可能［13］。目前CS已广泛应用于SAR成像［14］、ISAR成像［15］、M IMO雷达成像［13］以及无源雷达成像［1012］-等领域。文献［10］将正交匹配追踪（OMP）方法应用于多发多收单频连续波无源成像。文献［11］基于相同的信号模型，提出了ESPRIT的高分辨率无源成像方法，但在快拍数较少或者SNR较低时成像效果往往较差。文献［12］虽然在推导无源雷达稀疏成像模型时考虑了带宽因素，但文中假定目标散射系数是确定未知，并未考虑目标RCS起伏特性。本文在已有研究［12］的基础上，利用目标散射系数在不同频率下的统计特性［16］，提出了基于Lap lace先验的稀疏贝叶斯学习成像算法（Lap lace-SBL）。文中首先建立了一次快拍下的无源成像模型，随后考虑散射系数的统计特性及其对微波频率的依赖关系［16］，选取了级联形式的目标稀疏先验模型，再基于稀疏贝叶斯学习理论［17］将无源成像转化为MMV联合稀疏优化问题［18］的求解。与无源雷达CS成像已有的稀疏恢复方法［1012］-不同（针对SMV问题，基于确定性重构技术），Laplace-SBL引入了统计学习的思想，能够获得较好的成像效果。

2 信号模型

本文研究的无源雷达成像模型如图1所示，假定外辐射源阵列、接收雷达阵列与成像区域位于同一平面内。以目标中心所在位置作为坐标原点，第i个外辐射源位置为（ri，θi），其中i=1，2，…，I， ri为第i个外辐射源到原点的距离，θi为第i个外辐射源与x轴正向的夹角。同理，第j个接收雷达位置为（rj，θj），这里j=1，2，…，J，另外目标任一散射点位置用极坐标（r，θ）表示。

图1 无源雷达2维成像构型

设外辐射源i发射信号为

其中u（t）为信号复包络，Bi为信号带宽，fi为信号载频，φi为初相。

无源雷达的接收机一般设置两个接收天线，一个用来接收直达波，一个用来接收目标回波。接收机j获取外辐射源i的直达波可以表示为

同理，接收机j收到外辐射源i对目标所有散射点的回波信号为

其中σ（x，y）为目标散射系数，τij=（rik+rkj）/c对应辐射源i发射的信号经散射点k反射后到达接收机j的总时延。rik表示辐射源i到散射点k的距离，rkj表示散射点k到接收机j的距离。

将直达波式（2）与目标回波式（3）分别去载频之后，再对相应的基带信号进行同步和混频处理，可得

式中⊗表示复相关运算，对t进行傅里叶变换，并记Ui（f）=F｛ui（t ）｝， Zij（f）=F｛zij（t ）｝，式（4）转化为

这里f∈（-Bi/2，Bi/2）。实际成像场景通常满足远场近似条件为

其中r=（r，θ）， Ii=ri/ri=（1，θi）， Ij=rj/rj=（1，θj）。

将式（6）代入式（5）经整理后得到

然后设计滤波因子：

对式（7）进行频域滤波，得到相应的回波方程为

定义空间谱［12］：

则发射机i和接收机j构成的接收通道对应的回波方程最终可写为

从式（11）可知目标散射系数与接收回波之间满足傅里叶变换关系。由于增加了带宽信息，式（11）是文献［5，7，10］中回波方程的推广。更进一步，本文拓展已有的研究［12］，考虑目标散射系数的统计特性及对微波频率的依赖关系［16］，即σ（x，y）→σ（x，y，f）。因此第i，j个接收通道对应的回波方程应改写为

需要指出式（12）中f与fi密切相关。将式（12）作离散化处理，设每个收发通道的频率采样点数Fi相同，即Fi≜F。由于常见的外辐射源信号带宽往往较小，但不同发射机的载频可以有较大变化。根据雷达目标特性理论，这里仅需考虑目标散射系数在不同发射机之间是变化的。其中发射机i对应的回波矢量为

接着对成像场景进行网格划分，尺度为U×V，则发射机i对应的目标散射系数矢量为

然后定义：

其中u=1，2，…，U， v=1，2，…，V ，构造发射机i对应的系统观测矩阵为

基于上述分析，一次快拍下的无源雷达回波方程式（12）最终应表示为其中ei为观测噪声。由于实际系统的限制（比如发射机位置和发射信号不可控，接收机数目不能太多等），目标散射系数在空间谱域的填充往往呈现出稀疏且非均匀的特点［12］，导致方程式（17）严重欠定，所以匹配滤波成像结果一般存在主瓣宽、旁瓣高、分辨率低等固有缺点［10］。考虑对空/海目标成像时，散射点在空间上通常满足稀疏分布，因此可以引入CS成像技术获得高分辨率图像。结合式（17），σi中非零元素的位置对于不同的i是一致的，于是无源雷达CS成像最终等效为求解MMV联合稀疏优化问题。与已有文献中采用确定性稀疏恢复方法不同，本文提出了基于Laplace先验的稀疏贝叶斯学习成像算法，不仅能够提供σi的完整后验概率密度函数估计，而且能同时获得目标重构结果及噪声功率等相关参数。具体过程见下节所示。

3 基于稀疏贝叶斯学习的无源雷达高分辨成像

3.1 目标参数稀疏贝叶斯模型

假设观测噪声矢量ei之间独立，且服从复高斯分布CN（0，ηI）。其中η表示噪声功率，为未知确定参数。则回波矢量｛yi｝ 的条件概率密度函数为

文献［19］提供了一种级联形式的稀疏贝叶斯先验模型（如图2所示），相比传统稀疏先验模型（如l1，lp范数约束），能得到对l0范数更好的近似度，具体描述如下：

图2 目标参数稀疏贝叶斯先验模型

首先σi服从均值为零，方差为｛γ1，γ2，…，γUV｝的复高斯分布，定义Ψ=diag｛γ1，γ2，…，γUV｝，则有

其次｛γn｝服从伽马（Gamm a）分布：

最后｛λn｝服从伽马（Gamm a）分布：

由式（19）及式（20）可以得到σi关于｛λn｝满足拉普拉斯（Lap lace）分布，即

从式（22）可知，图2对应的目标三级稀疏模型可以用式（22），式（21）两级稀疏模型代替。因此在不影响目标稀疏重构性能的前提下，为进一步降低运算复杂度，本文选择了后者用于下面成像算法的推导。

3.2 基于Lap lace先验的稀疏贝叶斯学习（Laplace-SBL）成像算法

根据式（17），式（18），式（21）和式（22），目标散射系数矢量及噪声功率等系统参数对应的联合概率密度函数可表示为

下面基于最大后验（Maximum A Posteriori，MAP）准则求解联合概率密度函数的最大值。通过对σi，λn，β，α，η交替迭代优化，最终实现无源雷达高分辨成像。由式（23）及MAP方法

令g=-lg p（｛yi｝，｛λn｝，α，β，η）。整理并略去常数项，式（24）对应的代价函数简化为

接着Laplace-SBL采用循环最小化（Cyclic M inim ization，CM）准则［18］迭代求解式（25），具体步骤如下：

其中m为内部循环迭代次数，当m=0时，Wi（l，0）=Wi（l）。由于Ηi的行数远小于列数，为降低计算复杂度，利用矩阵求逆引理重写式（28）：

更进一步，可采用文献［17］中的共轭梯度最小二乘算法加速式（29）的求逆运算，从而实现的快速收敛。

步骤3 固定其他参数，求解λn（l+1），其等价于最小化式（30）的代价函数：

令∂G2/∂λn=0可得

步骤4 固定其他参数，求解α（l+1），其等价于最小化式（32）的代价函数

步骤5 固定其他参数，求解β（l+1），其等价于最小化式（34）的代价函数：

步骤6 固定其他参数，求解η（l+1），其等价于最小化式（36）的代价函数：

与文献［18］类似，Laplace-SBL算法基于CM迭代求解，其代价函数g随着迭代次数的增加是逐渐减小的。仿真表明当迭代次数达到15次时就能取得较好的成像结果。

3.3 与已有方法对比

已有的无源雷达成像方法主要分为两大类，一类是基于奈奎斯特采样定理的成像算法［5-9］，从本质上讲可归结于匹配滤波方法，在系统受限情形下获取的目标空间分辨率较低；另一类是基于CS理论的高分辨成像算法［10-12］，之前的研究主要集中在确定性稀疏反演方法。本文提出了一种基于稀疏贝叶斯学习的高分辨成像方法，充分利用了目标的统计先验信息，可以获得稳健的成像结果。

注意到本文的回波模型式（17）与宽带信号源的DOA估计相似，文献［18］提出了两种基于MAP准则的稀疏贝叶斯学习反演算法：W B-SLIM-0/1。通过对比各自的代价函数，可以看出Laplace-SBL是WB-SLIM-0/1的推广。另外，在目标稀疏反演步骤，WB-SLIM-0/1是求解关于σ（l+1）的l范数优化问题；i2而根据式（26）可知，Laplace-SBL则是求解关于σ（l+1）的reweighted l范数优化问题，因而具有更好i1的稀疏重构效果［20］。

4 仿真结果与分析

下面通过仿真来验证Laplace-SBL算法应用至无源雷达CS成像的有效性，并将成像结果和匹配滤波成像方法（MF）、传统CS成像方法（FOCUSS［21］，BCS［19］， SLIM［17］）以及文献［18］中两种成像方法（WB-SLIM-0/1）进行对比，进而阐述本文算法的优越性。

本文仿真是针对对空或者对海目标（如飞机、导弹等）在一次快拍情形下进行的无源成像。假定无源雷达收发单元与目标成像区域位于同一平面，以成像场景中心为参考点，成像区域大小设为20 m× 20 m，对应的可分辨单元为1 m×0.5 m，故x维的网格数U=21， y维的网格数V=41。另外选取4个发射机和8个接收机（即I = 4， J = 8），它们与x轴的夹角可任意设置，文中θi∈（π/10， 2π/10， 5π/10，6π/10），θj在（90π/180， 150π/180）内均匀分布。这里选用文献［3］中的CMMB基站作为外辐射源：信号带宽为8 MHz，调制方式为OFDM。根据中国电视频道划分和频率配置规定，4个发射机的中心频率依次设定为fi∈（546 MHz，706 MHz，498 MHz， 474 MHz），另外每个收发通道的频率采样点数F=15，此时回波方程式（17）的行数远小于列数，属于欠定形式。

实验1 不同信噪比情形下各方法的成像结果对比 假定原始成像目标由10个强散射点组成，且散射点均位于网格点上。另外设目标满足Swerling I模型，其散射系数随频率发生变化且服从复高斯分布CN（0，1）［16］。为显示方便，将各算法获得的取平均作为成像结果，记为。类似地，为原始目标取平均的成像结果，如图3（b）所示。图3（c）～3（i）是SNR=20 dB时不同方法的成像对比。由图可见，图3（c） MF方法成像结果最差，这是因为MF基于Fourier重构技术，分辨率受限于空间谱填充大小（如图3（a）所示，由于空间谱稀疏且不规则，导致MF具有较高的旁瓣和较宽的主瓣）。图3（d）～3（f）是传统CS方法的反演结果，由于它们没有利用目标散射系数对频率的依赖特性，反演结果中出现了较多的“虚像”。由3.3节可知，本文方法要优于WBSLIM-0/1，因此相比图3（g）～3（h），图3（i）获得了更好的图像重构效果。图4和图5分别是Lap lace-SBL的噪声功率估计值ˆη以及代价函数随迭代次数的变化关系，可以看出该方法具有较高的参数提取精度和较快的收敛速度。

实验2 不同方法的成像误差与SNR及稀疏度之间的关系 定义成像误差为

其中K为蒙特卡洛（Monte Carlo）实验次数，文中设定K=30。为衡量不同稀疏重构方法的反演性能界限，这里增加OSR （Oracle Sparse Recovery）［22］算法，即预先精确已知目标散射点的位置，直接利用最小二乘方法求解散射系数。假设SNR从0 dB至25 dB变化，目标散射点模型与实验1一致，图6展示了不同方法的成像误差随SNR变化曲线图。可见不同SNR下Laplace-SBL算法的成像误差均低于其他稀疏反演方法，其成像性能随着SNR增加逐渐逼近OSR，并在SNR＞5 dB时具有较好的成像效果。图7为不同方法的成像误差随着稀疏度（散射点数目）变化的关系曲线，这里固定SNR=20 dB。由图7可见，FOCUSS成像结果一直较差，与稀疏度的关系不大；其余方法则随着稀疏度的增大，在迭代更新寻找散射点位置信息时出错机率都有一定程度的增加，故成像误差也随之增大。但相比而言，Lap lace-SBL成像误差最小，且限定在一定的范围之内，从而验证了该算法的有效性。

图3 CMMB无源雷达空间谱填充及不同方法成像结果（SNR=20 dB）

图4 噪声功率估计随迭代次数变化关系（SNR=20 dB

图5 代价函数随迭代次数 变化关系（SNR=20 dB）

图6 成像误差随S NR变化关系

图7 成像误差随稀疏度变化关系

5 结论

在已有研究［12］的基础上，本文考虑了目标散射系数对微波频率的依赖关系，将无源雷达CS成像转换为求解MMV联合稀疏优化问题，并提出一种基于稀疏贝叶斯学习的高分辨率成像算法，获得了较好的成像效果。本文的信号建模方法及Laplace-SBL算法虽然以2维成像平面为例，但容易推广至无源雷达3维成像。此外，文中所提的Laplace-SBL算法还可以应用至ISAR成像、M IMO成像等。

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王天云： 男，1986年生，博士生，研究方向为分布式雷达成像、压缩感知.

于小飞： 男，1988年生，硕士生，研究方向为无源雷达信号处理.

陈卫东： 男，1968年生，教授，博士生导师，研究方向为雷达系统理论与技术、微波与毫米波技术.

丁 丽： 女，1985年生，博士生，研究方向为M IMO雷达成像、压缩感知.

陈 畅： 男，1979年生，讲师，研究方向为微波与毫米波技术、无源雷达信号处理.

High-resolution Imaging of Passive Radar Based on Sparse Bayesian Learning

Wang Tian-yun①②Yu Xiao-fei①Chen Wei-dong①Ding Li①Chen Chang①①（Key Laboratory of Electromagnetic Space Information， University of Science and Technology of China， Hefei 230027， China）
②（China Satellite M aritim e Tracking and Contro l Departm en t， Jiangyin 214431， China）

This paper p resents a high-resolution imaging method based on Sparse Bayesian Learning （SBL） for passive radar com pressed sensing imaging. Under the one-snapshot echo model， the p roposed method firstly takes account of the frequency-dependent statistics of the target scattering centers， and changes passive radar imaging into a joint M ultip le M easurement Vector （MMV） sparse op tim ization problem. Further， a hierarchical Bayesian fram ework for sparsity-inducing priori of the target is established， then the MM V problem is efficiently solved by utilizing the SBL theory. Unlike the previous sparse recovery algorithms relying on the determ inistic assump tion of the target， the p roposed method makes a better use of the target p rior information， and has the advantages of adap tively estimating parameters （including the parameters in the priori model of the target， and the unknown noise power） as well as the high-resolution imaging， etc.. Simulation resu lts show the effectiveness of the proposed m ethod.

Passive radar； High-resolution im aging； Sparse Bayesian Learning （SBL）； Joint sparse op tim ization

TN 958.97

： A

：1009-5896（2015）05-1023-08

10.11999/JEIT140899

2014-07-09收到，2014-10-17改回

国家自然科学基金（6117255， 61401140）和国家863计划项目（2012AA122903）资助课题

*通信作者：陈卫东 wdchen@uste.edu.cn