不确定条件下的生产外包时机研究

摘 要：不确定条件下的生产外包具有期权特征。考虑价格与成本都具有不确定性，借助实物期权方法建立了生产外包决策模型，对外包时机进行了研究，得到了期权价值与外包阈值公式。通过数值模拟，分析了相关系数、波动率对阈值及波动率对期权价值的影响。

关键词： 外包;实物期权;不确定性;外包时机

中图分类号：F272   文献标识码： A    文章编号：1003-7217（2015）01-0059-05

一、引言

在全球范围内，外包已经越来越占主导地位，因为它能给企业带来竞争优势^[1]。Shy和Stenbacka通过不同行业的大量例子说明外包的意义^[2]。外包的优势主要有：降低成本，提高质量，提高生产率，减少产品设计时间^[3]。

Jeffery和Leliveld指出，大部分企业分析外包合同时，考虑净现值方法^[4]。净现值方法说明，只要外包比自制产生更大的收益时，企业应该外包。例如，Dayanand和Padman利用传统净现值方法研究外包合同的付款问题^[5]。

然而，生产外包作为企业的一项战略决策，具有外包成本的不可逆性、未来收益的不确定性和外包时机的可延迟性等特征。因为市场环境的不确定导致了收益的不确定;不可逆指的是外包的成本大部分不可回收，属于沉没成本;外包时机的可延迟性指企业根据市场环境，可以选择是否外包，何时外包等等，这赋予了企业选择外包时机以最大化企业价值的柔性决策权利。对于生产外包上述特征，实物期权方法提供了一种很好的解决方案，弥补了传统净现值方法在市场不确定及经营柔性上的不足。

近年来，实物期权方法得到了广泛的应用。Dixit和Pindyck在市场环境不确定和投资不可逆的情况下，运用实物期权方法讨论了项目的最优投资时机^[6]。谷晓燕等基于实物期权理论， 考虑到研发项目投资的灵活性， 结合研发项目的阶段性特征，构建了风险条件下研发项目多阶段评价模型^[7]。戴晓凤和李检华引入Schwarz 的连续型实物期权模型，对中国软件开发板块的高科技上市公司进行价值评估，研究发现， 实物期权模型能较好地对高科技企业进行价值评估^[8]。

国内外学者分析外包时，主要分为从企业和供应商的角度出发，运用实物期权方法来考虑使自身价值达到最大的外包决策问题。

从企业的角度，许民利等将实物期权方法应用到国际生产外包决策中，假设汇率、产品价格、市场需求等服从几何布朗运动，运用蒙特卡罗模拟求解模型^[9]; Yao等假设产品生产成本服从几何布朗运动，分析了外包时机选择问题^[10];Moon假设企业拥有外包的期权，外包前企业自制，企业寻找供应商的努力程度与外包后企业的利润有关，分析了部分外包的时机选择问题^[11];Benaroch等考虑服务外包的成本最小化问题，假设服务的需求量服从几何布朗运动，企业拥有服务外包的期权，分析了服务外包的期权价值和外包时机选择^[12]。从供应商的角度，Moon等供应商考虑了成本不确定情况下的外包合同的执行时间问题^[13]。

本文从企业角度出发，考虑现实中价格和成本都具有不确定性，并将参数对外包时机的影响进行分析。

二、问题描述及模型假设

考虑生产同质产品的两个企业。其中一个企业，拥有将产品生产移交给另一企业（供应商）生产的期权。也就是说，企业拥有外包的期权，是否外包、何时外包由企业决定。假设企业时刻t生产单位产品的价格Pt和生产单位产品的成本Ct分别服从几何布朗运动，如下所示：

dPt=μpPtdt+σpPtdZp

dCt=μcCtdt+σcCtdZc

初始单位产品价格、成本分别为P0=P，C0=C。其中μp，μc为漂移率，分别表示价格和成本变化的趋势，σp，σc为波动率，分别表示价格和成本的不确定性，Zp，Zc为标准维纳过程，且E（dZpdZc）=αdt。折现率为ρ，假设ρ>μp，ρ>μc。

因为供应商具有专业化、规模经济、劳动力成本优势等原因，供应商生产该产品具有生产成本的优势，时刻t生产单位产品所需的成本为λCt，其中0<λ<1，它反映了两个企业的单位产品成本的差异程度，λ越小，说明供应商的成本优势越明显。

与吴庆等类似，假设企业和供应商采用收入共享、成本共担合同^[14]，企业外包后，将与供应商共享收入、共担成本。为了激励供应商，企业除了支付给供应商该产品的部分生产成本外，还给予供应商分享收入的权利。这样，企业与供应商都有动力去执行外包合同。企业外包后，所得收益为SPt-mλCt，其中，S（0

财经理论与实践（双月刊）2015年第1期2015年第1期（总第193期）陈丹梅：不确定条件下的生产外包时机研究

三、企业外包的实物期权模型

企业在时刻τ（τ≥0）外包，外包前自制，令V（P，C）表示企业的价值，则：

V（P，C）=supτ {E（p，c）[∫τ0e-ρt（Pt-

Ct）dt+∫∞τe-ρt（SPt-mλCt）dt]}=

supτE（P，C）{∫∞0e-pt（Pt-Ct）dt+

∫∞τe-ρt[（1-mλ）Ct-（1-S）Pt]dt}=

pρ-μp-cρ-μc+supτE（P，C）∫∞τe-ρt[（1-

mλ）Ct-（1-S）Pt]dt=pρ-μp-cρ-μc+

supτE（P，C）e-ρτ（1-mλ）Cτρ-μc-（1-S）pτp-μp（1）

式（1）中，pρ-μp-cρ-μc表示不实施外包的情况下的企业价值;supτE（P，C）e-ρτ（1-mλ）Cτρ-μc-（1-S）pτp-μp表示，企业因为拥有外包的权利，给企业带来的额外收益，即企业外包的期权价值，记作F（P，C）。于是， F（P，C）=supτE（P，C）e-ρτ（1-mλ）Cτρ-μc-（1-S）pτp-μp企业外包的期权F（P，C）是永久美式交换期权，它是一个看涨期权，企业在最优外包时刻，用自制收益去交换外包收益。因此，企业选择最优的外包时机，使得其外包期权价值达到最大的同时，也使得其价值达到最大。

如Dixit和Pindyck^[6]所示，连续区域的贝尔曼方程为：

ρF（P，C）dt=E（dF）  （2）

利用伊藤引理，将上式中的dF展开，整理后得到下面微分方程：

ρF=μpPδFδP+μcCδFδC+

12σ2pP2δ2FδP2+2ασpσcPCδ2FδPδC+σ2cC2δ2FδC2（3）

式（3）是关于P，C 的一阶齐次方程，于是，企业的最优外包时机仅取决于单位产品成本与价格的比值。

令X=CP′ 可得：

F（P，C）=PF（1，CP）=Pf（X）（4）

将（4）代入（3），得到：

12σ2X2f″（X）+（μC-μP）Xf′（X）+

（μP-ρ）f（X）=0 （5）

其中，σ2=σ2C-2ασPσC+σ2P。

外包的最优时机是Xt=CtPt首次达到或超过阈值的时刻，即存在一个外包阈值，当Xt≥X*时实施外包。故最优外包时机t*=inf{t≥0;Xt≥X*}，其中X*表示外包阈值。当单位产品成本Ct与单位产品价格Pt之比上升到X*时，为了利用供应商的成本优势，企业应该外包。

方程（5）解的形式为：

f（X）=A1Xβi+A2Xβ2（6）

其中，β1，β2分别为方程12β（β-1）σ2+β（μC-μP）+μp-P=0的两根，

β1=12-μC-μPσ2+

μC-μPσ2-122+2（ρ-μP）σ2>1 （7）

β2=12-μC-μPσ2+

μC-μPσ2-122+2（ρ-μP）σ2<1 （8）

f（X）满足下面条件：

limX0f（0）=0 （9）

式（9）表示，当X很小时，企业外包的期权价值为0。

于是，根据（6）与（9），得到

f（X）=A1Xβ1 （10）

此外，f（X）还满足条件：

f（X*）=（1-mλ）X*p-μC-1-Sp-μP （11）

f′（X*）=1-mλρ-μC （12）

式（11）是价值匹配条件，表示在阈值X*处的期权价值，等于实施外包的期望收益;式（12）是平滑粘结条件，函数在阈值处连续且平滑，说明在阈值处外包，企业的期权价值达到最大。

由式（10）～（12）得出，外包阈值与外包的期权价值分别为：

X*=β1β1-1×ρ-μCρ-μP×1-S1-mλ （13）

F（P，C）=A1P1-β1Cβ1CP

（1-mλ）Cρ-μC-（1-S）Pρ-μPCP≥X* （14）

其中，A1=1-mλβ1（ρ-μc）X*1-β1。

四、模型结论分析

结论1：当单位产品成本Ct与单位产品价格Pt之比上升到X*时，企业应该立即外包;否则，企业应该等待更好的外包时机。

结论2：X*σ>0， X*α<0。

证明：因为X*σ>0， X*α<0（证明见[6]或直接求偏导数均可），所以X*σ>0。当σC>ασP时，σσC>0，所以X*σC=X*β1×β1σ×σσC>0; 当σC>ασP时，σσC<0，所以X*σC=X*β1×β1σ×σσC<0 。同理，当σP>ασC时，X*σP>0，当σP>ασC时，X*σP<0

。因为σα<0，所以X*α=X*β1×β1σ×σσC<0。

从结论2看出，X*σ>0，σ越大，综合风险越大，阈值X*上升的空间越大，为了提高企业价值，企业更愿意在较大的阈值处外包。σC>ασP时，外包阈值随σC的增大而增大;当σC<ασp时，外包阈值随σC的增大而减小。当σP<ασC时，外包阈值随σP的增大而增大;当σP<ασC时，外包阈值随σP的增大而减小。价格与成本的相关系数越大，使得综合风险降低，企业更愿意在较小的阈值处外包。

结论3：X*S<0，X*m>0，X*λ>0。